备考2024年高考数学提升专题特训：三角函数

试卷更新日期：2024-02-22 类型：三轮冲刺

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一、解答题

1. 已知一个扇形的周长为14，圆心角的弧度数为 $\frac{3}{2}$ .

(1)、求这个扇形的半径；

(2)、求这个扇形的面积.

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2. 在 $Δ A B C$ 中，角A ， B ， C所对的边分别为a ， b ， c ，且 $\frac{t a n B}{t a n A} + 1 = \frac{2 c}{a}$ .

(1)、求B；

(2)、若 $a = 3 ， b = 3 \sqrt{7} ，$ 求 $Δ A B C$ 的面积.

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3. 若 $α = k \cdot 360^{\circ} + 24^{\circ}$ ， $k \in Z$ ，试确定 $2 α$ ， $\frac{α}{2}$ 分别是第几象限角．

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4.

(1)、已知点 $P (- 3 ， a)$ 为角 $α$ 终边上一点，且 $t a n α = - \frac{4}{3}$ ，求 $c o s (π + α)$ 的值；

(2)、若 $t a n (β + \frac{π}{4}) = \frac{1}{3}$ ，求 $s i n 2 β + 2 c o s^{2} β$ 的值.

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5. 观察以下等式：
① $s i n^{2} 75 ° + c o s^{2} 75 ° - s i n 75 ° c o s 75 °$
② $s i n^{2} 60 ° + c o s^{2} 90 ° - s i n 60 ° c o s 90 °$
③ $s i n^{2} 30 ° + c o s^{2} 120 ° - s i n 30 ° c o s 120 °$
④ $s i n^{2} 45 ° + c o s^{2} 105 ° - s i n 45 ° c o s 105 °$
⑤ $s i n^{2} (- 15 °) + c o s^{2} 16 5^{∘} - s i n (- 15 °) c o s 165 °$

(1)、对①②③进行化简求值，并猜想出④⑤式子的值；

(2)、根据上述各式的共同特点，写出一条能反映一般规律的等式，并对等式的正确性作出证明．

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6. 已知 $α \in (0 ， π)$ ．

(1)、若 $s i n α + c o s α = \frac{2}{5}$ ，求 $s i n α c o s α$ 的值；

(2)、求 $y = s i n α c o s α + s i n α + c o s α$ 的值域．

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7. 已知 $△ A B C$ 的内角 $A ， B ， C$ 的对边分别为 $a ， b ， c$ ，面积为 $S ， 2 S = \sqrt{3} \vec{A B} \cdot \vec{A C}$ .

(1)、求 $A$ ；

(2)、若 $△ A B C$ 的周长为20，面积为 $10 \sqrt{3}$ ，求 $a$ .

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8. 已知角 $α$ 的集合为 $M = {α | α = 30 ° + k \cdot 90 ° ， k \in Z}$ ，回答下列问题：

(1)、集合M中有几类终边不相同的角？

(2)、集合M中大于－360°且小于360°的角是哪几个？

(3)、求集合M中的第二象限角 $β$ ．

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9. 已知函数 $f (x) = \vec{a} \cdot \vec{b}$ ，其中向量 $\vec{a} = (m ， c o s 2 x) ， \vec{b} = (1 + s i n 2 x ， 1)$ ，且函数 $y = f (x)$ 的图象经过点 $(\frac{π}{4} ， 2)$ ．

(1)、求实数 $m$ 的值；

(2)、求函数 $f (x)$ 的最小值及此时x的取值集合．

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10. 已知函数 $f (x) = c o s (ω x + φ) (ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示．

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、若 $g (x) = s i n (2 x + \frac{π}{4})$ ，是否存在实数 $λ$ ， $\forall x_{1} \in [- \frac{π}{3} ， \frac{π}{3}]$ ， $\exists x_{2} \in [- \frac{11 π}{24} ， \frac{5 π}{24}]$ ，使得 $λ - f (x_{1}) = g (x_{2})$ 成立?若存在．求出 $λ$ 的取值范围；若不存在，请说明理内．

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11. 在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ､ $B$ ､ $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ， $\frac{t a n B}{t a n C} = \frac{2 a - c}{c}$ .

(1)、求角 $B$ 的大小；

(2)、求函数 $f (x) = c o s x \cdot c o s (x + B) (x \in [0 ， \frac{π}{2}])$ 的值域.

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12. 已知点 $A (x_{1} ， f (x_{1}))$ ， $B (x_{2} ， f (x_{2}))$ 是函数 $f (x) = \sqrt{2} s i n (ω x + φ) (ω > 0 ， 0 < φ < \frac{π}{2})$ 图象上的任意两点， $f (0) = 1$ ，且当 $| f (x_{1}) - f (x_{2}) | = 2 \sqrt{2}$ 时， $| x_{1} - x_{2} |$ 的最小值为 $\frac{π}{2}$ .

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、当 $x \in [- \frac{π}{8} ， \frac{π}{8}]$ 时， $[f (x)]^{2} - m f (x) - m \leq 0$ 恒成立，求实数 $m$ 的取值范围.

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13. 已知 $△ A B C$ 的三个内角分别为 $A$ ， $B$ ， $C$ ，且满足 $s i n^{2} (A + C) = \sqrt{3} s i n B c o s B$ ， $c o s (C - A) = - 2 c o s 2 A$ .

(1)、试判断 $△ A B C$ 的形状；

(2)、已知函数 $f (x) = s i n x - \sqrt{3} c o s x (x \in R)$ ，求 $f (A + 45 °)$ 的值．

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14. 在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，向量 $\vec{m} = (c o s (A - B) ， s i n (A - B))$ ， $\vec{n} = (c o s B ， - s i n B)$ ，且 $\vec{m} \cdot \vec{n} = - \frac{3}{5}$ ．

(1)、求 $s i n A$ 的值；

(2)、若 $a = 4 \sqrt{2}$ ， $b = 5$ ，求 $△ A B C$ 的面积．

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15. $△ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ .已知 ${(s i n B + s i n C)}^{2} = s i n^{2} A + s i n B s i n C$ .

(1)、求 $A$ ；

(2)、若 $\sqrt{3} a - 2 b = c$ ，求 $B$ .

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16. 筒车是我国古代发明的一种灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用（图1）.如图2，现有一个半径为4米的筒车按逆时针方向每分钟匀速旋转1圈，筒车的轴心 $O$ 距离水面的高度为2米，若以盛水筒 $P$ 刚浮出水面在点 $A$ 处时为初始时刻，设经过 $t$ 秒后盛水筒 $P$ 到水面的距离为 $f (t)$ （单位：米）（在水面下则 $f (t)$ 为负数）.筒车上均匀分布着12个盛水筒，假设盛水筒在最高处时把水倾倒到水槽上.

(1)、求函数 $f (t)$ 的表达式；

(2)、求第一筒水倾倒的时刻 $t$ 和相邻两个盛水筒倾倒的时间差；

(3)、若某一稻田灌溉需水量为100立方米，一个盛水筒倾倒到水槽的水约为0.01立方米，求需要多少小时才能完成该稻田的浇灌.（精确到0.1小时）

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17. 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，所以至今还在农业生产中被使用.如图，假定在水流稳定的情况下，一个直径为10米的筒车开启后按逆时针方向匀速旋转，转一周需要1分钟，筒车的轴心O距离水面的高度为 $\frac{5}{2}$ 米.以盛水筒P刚浮出水面时开始计算时间，设筒车开始旋转t秒后盛水筒P到水面的距离为h米（规定：若盛水筒P在水面下，则h为负数）.

(1)、写出h（单位：米）关于t（单位：秒）的函数解析式 $h (t) = A s i n (ω t + φ) + B$ （其中 $A > 0$ ， $ω > 0$ ， $| ϕ | < \frac{π}{2}$ ）；

(2)、若盛水筒P在 $t_{1}$ ， $t_{2}$ 时刻距离水面的高度相等，求 $t_{1} + t_{2}$ 的最小值.

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18. 如图，某地一天从4~18时的温度变化曲线近似满足函数 $y = A c o s (ω x + ϕ) + b ， 0 < ϕ < π$ ．

(1)、求A，b， $ω$ ， $ϕ$ ；

(2)、为响应国家节能减排的号召，建议室温室25℃以上才开空调，求在 $[0 ， 24]$ 内，该地适宜开空调的时间段．

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19. 已知函数 $f (x) = \sqrt{3} s i n (ω x + \frac{π}{6}) + 2 s i n^{2} (\frac{ω x}{2} + \frac{π}{12}) - 1 (ω > 0)$ 的相邻两对称轴间的距离为 $\frac{π}{2}$ .

(1)、求 $f (x)$ 的解析式.

(2)、将函数 $f (x)$ 的图象向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度，再把横坐标缩小为原来的 $\frac{1}{2}$ （纵坐标变），得到函数 $y = g (x)$ 的图象，当 $x \in [- \frac{π}{12} ， \frac{π}{6}]$ 时，求函数 $g (x)$ 的值域.

(3)、对于第（2）问中的函数 $g (x)$ ，记方程 $g (x) = m (m \in R)$ 在 $x \in [\frac{π}{6} ， \frac{4 π}{3}]$ 上的根从小到依次为 $x_{1} < x_{2} < x_{3} < x_{4} < x_{5}$ ，求 $m + x_{1} + 2 x_{2} + 2 x_{3} + 2 x_{1} + x_{5}$ 的值域.

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20. 某地种植大棚蔬菜，已知大棚内一天的温度（单位：℃）随时间t（单位：h）的变化近似满足函数关系： $f (t) = 12 - 3 s i n (\frac{π}{12} t + \frac{π}{3})$ ， $t \in [0 ， 24)$ ．

(1)、求实验室这一天的最大温差；

(2)、若某种蔬菜的生长要求温度不高于10.5℃，若种植这种蔬菜，则在哪段时间大棚需要降温？

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