江西省赣州市经开区2022-2023学年九年级上学期期末数学试卷

试卷更新日期：2024-02-22 类型：期末考试

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一、选择题（本大题有6小题，每小题3分，共计18分，每小题只有一个正确答案）

1. 下列汽车标志中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）

A、 B、 C、 D、

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2. 关于x的方程x²+2x﹣m＝0有两个相等的实数根，则m的值是（）

A、m＝1 B、m＝﹣1 C、m＝2 D、m＝﹣2

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3. 在掷一枚质地均匀的硬币的试验中，下列说法正确的是（　　）

A、随着抛掷次数的增加，正面朝上的频率稳定在0.5附近 B、抛掷10次，则必有正面朝上与反面朝上各5次 C、抛掷10次，若前9次正面朝上，则第10次必然是反面朝上 D、抛掷10次，则不可能10次正面朝上

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4. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，若它的一个外角∠DCE＝65°，则∠BOD的度数为（　　）

A、105° B、110° C、120° D、130°

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5. 如图，点A在双曲线y＝ $\frac{4}{x}$ 上，点B在双曲线y＝ $\frac{12}{x}$ 上，且AB∥x轴，点C、D在x轴上，若四边形ABCD为矩形，则它的面积为（　　）

A、4 B、6 C、8 D、12

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6. 抛物线y＝ax²+bx+c（a≠0）的部分图象，如图所示，与x轴的一个交点为（3，0），对称轴为直线x＝1，有下列四个结论：①abc＞0；②2a+b＝0；③若点（x₁ ， y₁）和点（x₂ ， y₂）在抛物线图象上，那么当﹣2＜x₁＜﹣1，2＜x₂＜3时，y₁＜y₂；④3a+c＝0，其中正确的结论个数有（　　）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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二、填空题（本大题有6小题，每小题3分，共计18分）

7. 点A（1，﹣2）关于原点对称的点A^'的坐标为．

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8. 如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，且∠P＝60°，若PA＝2，则AB＝．

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9. 某公司5月份的营业额为25万，7月份的营业额为36万，已知5、6月的增长率相同，则增长率为．

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10. 已知圆锥的高为8cm，母线长为10cm，则其侧面展开图的面积为 cm² ．（结果保留π）

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11. 如图，已知抛物线y＝ax²与直线y＝bx+c的两个交点坐标分别为A（﹣2，4）、B（1，1），则关于x的不等式ax²≤bx+c的解集是．

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12. 如图，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜360°），得到矩形AEFG．当α＝时，GC＝GB．

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三、解答题（本大题有5小题，每题6分，共计30分）

13. 用适当的方法解下列方程：

(1)、x²﹣2x﹣3＝0；

(2)、（x﹣2）²＝3（x﹣2）．

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14. 请在如图坐标系中直接描点，画出函数 $y = - \frac{1}{2} (x + 1)^{2} - 1$ 的图象，并回答下列问题：

(1)、抛物线的开口方向为；

(2)、抛物线的对称轴是直线；

(3)、若将抛物线 $y = - \frac{1}{2} (x + 1)^{2} - 1$ 的图象向上平移1个单位，再向右平移2个单位，则解析式为．

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15. 目前新型冠状病毒变种奥密克戎，仍在全世界范围肆虐．在出行时，仍需要采取以下防护措施：戴口罩；勤洗手；少聚集；重隔离；打疫苗等．赣州市某学校为了解学生对防护措施的了解程度（包括不了解、了解很少、基本了解和很了解）进行调查．

(1)、若调查一名同学，该同学对防护措施很了解是事件（随机、必然、不可能）；

(2)、在调查中，发现有4名同学对防护措施“很了解”，其中有3名男同学、1名女同学，若准备从他们中随机抽取2名，让其在班上普及防护措施，用画树状图或列表法求恰好抽中一男一女的概率（要求画出树状图或列出表格）．

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16. 如图，以AD为直径的半圆O经过Rt△ABC斜边AB的两个端点，交直角边AC于点E，B、E是半圆弧的三等分点．请你仅用无刻度的直尺：

(1)、请在图①中画出一条BC的平行线；

(2)、请在图②中画出一条直线平分Rt△ABC面积．

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17. 如图，正比例函数y＝x的图象与反比例函数y＝ $\frac{k}{x}$ （x＞0）的图象交于点A（1，a），在△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，点C坐标为（﹣2，0）．

(1)、求k的值；

(2)、求AB所在直线的解析式．

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四、解答题（本题有3小题，每题8分，共计24分）

18. 如图，在5×4网格中（每个小正方形的边长都是1），线段AB的两个端点都在格点上，A（1，4），B（3，1），将线段AB绕点B顺时针旋转90°，得到线段BC．

(1)、旋转过程中点A运动的路径长为；

(2)、在网格中用无刻度直尺作图：（不写作法，保留作图痕迹）
①画出线段BC，则点C的坐标为 ▲ ；
②作出△ABC的外心O．

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19. 如图1，将一长方体放置于一水平玻璃桌面上，按不同的方式摆放，记录桌面所受压强与受力面积的关系如下表所示：
桌面所受压强p（Pa）
400
500
800
1000
1250
受力面积S（m²）
0.5
0.4
a
0.2
0.16

(1)、根据表中数据，求出压强p（Pa）关于受力面积S（m²）的函数表达式及a的值．

(2)、如图2，将另一长，宽，高分别为60cm，20cm，10cm，且与原长方体相同重量的长方体放置于该水平玻璃桌面上．若玻璃桌面能承受的最大压强为2000Pa，问：这种摆放方式是否安全？请判断并说明理由．

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20. 如图，△ABD是⊙O的内接三角形，E是弦BD的中点，点C是⊙O外一点且∠DBC=∠A，连接OE延长与圆相交于点F，与BC相交于点C．

(1)、求证：BC是⊙O的切线；

(2)、若⊙O的半径为6，BC=8，求弦BD的长．

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五、解答题（本题有2小题，每题9分，共计18分）

21. 如图，甲地、乙地分别是小雨和小新两家的自留地，他们两家都用来种西瓜，两块地的四周都是宽度相同的田埂，甲地的面积是240m² ．

(1)、若小新家的地比小雨家的地多了50%，则小新家地的面积是 m²；

(2)、在（1）的条件下，求田埂的宽度．

(3)、小雨家今年的西瓜大丰收，若种西瓜的成本是0.5元/斤，以2元/斤进行销售时，每天可销售50斤西瓜，经调查发现：每斤西瓜隆价0.1元，每天就可多销售10斤西瓜，市场规定售价不得低于每斤1.5元，问定价为多少元时，每天获得的利润最大．

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22. 如图

(1)、观察发现：
如图1，△ABC和△CDE都是等边三角形，且点B、C、E在一条直线上，连接BD和AE相交于点P，填空：
①线段BD与AE的数量关系是；
②∠DPE的度数为．

(2)、深入探究：
如图2，将△CDE绕点C逆时针旋转一定的角度，其他条件与（1）中相同，（1）中的结论是否仍然成立，请说明理由．

(3)、拓展应用：
如图3，四边形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝60°，∠ADC＝30°，AD＝6，BD＝10，求边CD的长度．

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六、解答题（本题12分）

23. 在平面直角坐标系xOy中，等腰直角△ABC的直角顶点C在y轴上，另两个顶点A，B在x轴上，AB＝4，抛物线经过A，B，C三点，如图1所示．

(1)、求抛物线所表示的二次函数表达式．

(2)、过原点任作直线l交抛物线于M，N两点，如图2所示．
①求△CMN面积的最小值．
②已知 $Q (1 ， - \frac{3}{2})$ 物线上一定点，问抛物线上是否存在点P，使得点P与点Q关于直线l对称，若存在，请直接写出点P的坐标及直线l的解析式；若不存在，请说明理由．

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桌面所受压强p（Pa）	400	500	800	1000	1250
受力面积S（m²）	0.5	0.4	a	0.2	0.16