山东省德州市2023年中考数学真题

试卷更新日期：2024-02-22 类型：中考真卷

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一、选择题:本题共12个小题,每小题4分,满分48分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请将符合题目要求选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上.

1. -5的相反数是（）

A、5 B、 $\frac{1}{5}$ C、 $- \frac{1}{5}$ D、-5

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2. 下列图形，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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3. 今年的政府工作报告中指出：去年脱贫攻坚取得决定性成就，农村贫困人口减少1109万．数字1109万用科学记数法可表示为（）

A、 $1.109 \times 10^{7}$ B、 $1.109 \times 10^{6}$ C、 $0.1109 \times 10^{8}$ D、 $11.09 \times 10^{6}$

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4. 已知关于x的一元二次方程 $x^{2} + b x - 1 = 0$ ，则下列关于该方程根的判断，正确的是（）

A、有两个不相等的实数根 B、有两个相等的实数根 C、没有实数根 D、实数根的个数与实数b的取值有关

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5. 下列运算正确的是（）

A、 $2 a + 3 b = 5 a b$ B、 $a^{3} \cdot a^{2} = a^{5}$ C、 ${(a + b)}^{2} = a^{2} + b^{2}$ D、 ${(a^{2} b)}^{3} = a^{6} b$

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6. 如图，在 $4 \times 5$ 的正方形网格中，每个小正方形的边长都是 $1 ， □ A B C$ 的顶点都在这些小正方形的顶点上，那么 $s i n ∠ A C B$ 的值为（）.

A、 $\frac{3 \sqrt{5}}{5}$ B、 $\frac{\sqrt{17}}{5}$ C、 $\frac{3}{5}$ D、 $\frac{4}{5}$

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7. 下列说法正确的是（）

A、一元一次方程 $\frac{X}{2} - 1 = x$ 的解是 $x = 2$ B、在连续5次数学测试中，两名同学的平均成绩相同，则方差较大的同学的成绩更稳定 C、从5名男生，2名女生中抽取3人参加活动，至少会有1名男生被抽中 D、将一次函数 $y = - 2 x + 5$ 的图象向上平移两个单位，则平移后的函数解析式为 $y = - 2 x + 1$

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8. 《孙子算经》是中国传统数学的重要著作，其中有一道题，原文是：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木头的长，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量木头，则木头还剩余1尺，问木头长多少尺？可设木头长为x尺，绳子长为y尺，则所列方程组正确的是（）

A、 ${\begin{array}{l} y - x = 4.5 \\ 2 x - y = 1 \end{array}$ B、 ${\begin{array}{l} x - y = 4.5 \\ 2 x - y = 1 \end{array}$ C、 ${\begin{array}{l} x - y = 4.5 \\ \frac{y}{2} - x = 1 \end{array}$ D、 ${\begin{array}{l} y - x = 4.5 \\ x - \frac{y}{2} = 1 \end{array}$

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9. 如图，矩形OABC与反比例函数 $y_{1} = \frac{k_{1}}{x} (k_{1}$ 是非零常数， $x > 0)$ 的图象交于点M，N，与反比例函数 $y_{2} = \frac{k_{2}}{x} (k_{2}$ 是非零常数， $x > 0)$ 的图象交于点 $B$ ，连接OM，ON.若四边形OMBN的面积为3，则 $k_{1} - k_{2} = ()$

A、3 B、-3 C、 $\frac{3}{2}$ D、 $- \frac{3}{2}$

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10. 如图，几何体是由六个相同的立方体构成的，则该几何体三视图中面积最大的是（）

A、主视图 B、左视图 C、俯视图 D、主视图和左视图

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11. 已知二次函数 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 的部分图象如图所示，对称轴为 $x = \frac{3}{2}$ ，且经过点 $(- 1 ， 0)$ .下列结论：① $3 a + b = 0$ ；②若点 $(\frac{1}{2} ， y_{1}) ， (3 ， y_{2})$ 是抛物线上的两点，则 $y_{1} < y_{2}$ ；③ $10 b - 3 c = 0$ ；④若 $y \leq c$ ，则 $0 \leq x \leq 3$ .其中正确的有（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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二、填空題:本题共6个小題,每小题4分,共24分,请将答案直接写在答题卡相应位置上。

12. 若二次根式 $\sqrt{3 - 2 x}$ 在实数范围内有意义，则 $x$ 的取值范围为.

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13. 因式分解： $x (x - 2) - x + 2 =$ ．

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14. 如图，已知AB是半圆 $O$ 的直径，弦 $C D / / A B ， C D = 8 . A B = 10$ ，则CD与AB之间的距离是.

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15. 如图，在直角坐标系中，点 $A (1 ， 1)$ ， $B (3 ， 3)$ 是第一象限角平分线上的两点，点C的纵坐标为1，且 $C A = C B$ ，在 $y$ 轴上取一点D，连接 $A C$ ， $B C$ ， $A D$ ， $B D$ ，使得四边形 $A C B D$ 的周长最小，这个最小周长的值为．

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16. 关于x的一元二次方程2x²+4mx+m=0有两个不同的实数根x₁ ， x₂ ，且 $x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = \frac{3}{16}$ ，则m=.

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17. 如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（0，4），P是x轴上一动点，把线段PA绕点P顺时针旋转60°得到线段PF，连接OF，则线段OF长的最小值是．

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三、解答题:本题共7个小题，满分78分。请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。

18.

(1)、先化简再求值： $(m + 2 \cdot \frac{5}{m - 2}) \times \frac{m^{2} - 3 m + 2}{m + 3}$ ，其中 $m = 4$ .

(2)、解不等式组 ${\begin{cases} x + 1 ＜ 2 x - 1 \\ \frac{2 x - 5}{3} \leq 1 . \end{cases}$ 并将解集表示在所给的数轴上.

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19. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，点D为边AB的中点，点O在边BC上，以点O为圆心的圆过顶点C，与边AB交于点D．

(1)、求证：直线AB是⊙O的切线；

(2)、若AC＝ $\sqrt{3}$ ，求图中阴影部分的面积．

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20. 在4月23日“世界读书日”来临之际，某校为了了解学生的课外阅读情况，从全校随机抽取了部分学生，调查了他们平均每周的课外阅读时间t（单位：小时）．把调查结果分为四档，A档： $t < 8$ ；B档： $8 \leq t < 9$ ；C档： $9 \leq t < 10$ ；D档： $t \geq 10$ ．根据调查情况，给出了部分数据信息：
①A档和D档的所有数据是：7，7，7.5，10，7，10，7，7.5，7，7，10.5，10.5；

②图1和图2是两幅不完整的统计图．

根据以上信息解答问题：

(1)、求本次调查的学生人数，并将图2补充完整；

(2)、已知全校共1200名学生，请你估计全校B档的人数；

(3)、学校要从D档的4名学生中随机抽取2名作读书经验分享，已知这4名学生1名来自七年级，1名来自八年级，2名来自九年级，请用列表或画树状图的方法，求抽到的2名学生来自不同年级的概率．

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21. 2022年北京冬奥会的成功举办激发了人们对冰雪运动的热情．如图是某滑雪场的横截面示意图，雪道分为AB，BC两部分，小明同学在C点测得雪道BC的坡度i=1：2.4，在A点测得B点的俯角∠DAB=30°．若雪道AB长为270m，雪道BC长为260m．

(1)、求该滑雪场的高度h；

(2)、据了解，该滑雪场要用两种不同的造雪设备来满足对于雪量和雪质的不同要求，其中甲设备每小时造雪量比乙设备少35m³ ，且甲设备造雪150m³所用的时间与乙设备造雪500m³所用的时间相等．求甲、乙两种设备每小时的造雪量．

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22. 如图1，△ABC是等腰直角三角形，AC=BC=4，∠C=90°，M，N分别是边AC，BC上的点，以CM，CN为邻边作矩形PMCN，交AB于E，F．设CM=a，CN=b，若ab=8．

(1)、判断由线段AE，EF，BF组成的三角形的形状，并说明理由；

(2)、①当a=b时，求∠ECF的度数；
②当a≠b时，①中的结论是否成立？并说明理由．

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23. 在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线 $y = - x^{2} + 2 m x + 3 m$ ，点 $A (3 ， 0)$ .

(1)、当抛物线过点 $A$ 时，求抛物线的解析式；

(2)、证明：无论 $m$ 为何值，抛物线必过定点 $D$ ，并求出点 $D$ 的坐标；

(3)、在(1)的条件下，抛物线与 $y$ 轴交于点 $B$ ，点 $P$ 是抛物线上位于第一象限的点，连接AB，PD交于点M，PD与 $y$ 轴交于点 $N$ .设 $S = S_{△ P A M} - S_{△ B M N}$ ，问是否存在这样的点P，使得S有最大值？若存在，请求出点P的坐标，并求出S的最大值.

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