备考2024年高考数学优生冲刺专题特训：幂函数、指数函数、对数函数

试卷更新日期：2024-02-22 类型：三轮冲刺

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一、解答题

1. 已知函数 $f (x) = \frac{2^{x} - 1}{2^{x} + 1}$ ， $g (x) = \frac{3}{2^{x}}$ ，

(1)、若 $a > 0$ ，记函数 $f (x)$ 在 $[- a ， a]$ 上最大值为 $M$ ，最小值为 $m$ ，求 $M + m$ ；

(2)、若存在实数 $x_{1}$ ， $x_{2} \in [- 2 ， + \infty)$ ，且 $x_{1} < x_{2}$ ，使得 $f (x)$ 在 $[x_{1} ， x_{2}]$ 上的值域为 $[k g (x_{1}) ， k g (x_{2})]$ ，求实数 $k$ 的取值范围．

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2. 已知幂函数 $f (x) = x^{- m^{2} + 2 m + 3}$ ( $m \in Z$ )为偶函数，且在 $(0 ， + \infty)$ 是单调增函数.

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、求 $a \frac{f (x)}{x^{2}} - (2 a + 1) \frac{f (x)}{x^{3}} + 2 \geq 0$ 解集.

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3. 设幂函数 $f (x) = (m^{2} - 3 m - 3) x^{m - 2}$ 在 $(0 ， + \infty)$ 单调递增，

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、设不等式 $f (x) \leq 4 x + 5$ 的解集为函数 $g (x) = 2 f (x) + a [f (x + 1) - f (x)]$ 的定义域，记 $g (x)$ 的最小值为 $h (a)$ ，求 $h (a)$ 的解析式.

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4. 已知幂函数 $f (x) = (p^{2} - 3 p + 3) x^{p^{2} - \frac{3}{2} p - \frac{1}{2}} (p \in R)$ 满足 $f (2) < f (4)$ .

(1)、求函数的解析式；

(2)、若函数 $g (x) = {[f (x)]}^{2} + m f (x)$ ， $x \in [1, 9]$ ，且 $g (x)$ 的最小值为0，求实数 $m$ 的值.

(3)、若函数 $h (x) = n - f (x + 3)$ ，是否存在实数 $a, b (a < b)$ ，使函数 $h (x)$ 在 $[a, b]$ 上的值域为 $[a, b]$ ？若存在，求出实数 $n$ 的取值范围，若不存在，请说明理由.

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5. 已知函数 $f (x) = \frac{m - 3^{x}}{1 + 3^{x}}$ 是奇函数.

(1)、求实数 $m$ 的值；

(2)、若对任意的 $t \in [0 ， 5]$ ，不等式 $f (t^{2} + 2 t + k) + f (- 2 t^{2} + 2 t - 5) > 0$ 恒成立，求实数 $k$ 的取值范围.

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6. 已知定义在 $R$ 上的函数 $f (x) = m \cdot 4^{x} - 2^{x + 1} + 1 - m (m \in R)$ ．

(1)、已知当 $m > 0$ 时，函数 $f (x)$ 在 $[0，2]$ 上的最大值为8，求实数 $m$ 的值；

(2)、若函数 $y = g (x)$ 的定义域内存在 $x_{0}$ ，使得 $g (a + x_{0}) + g (a - x_{0}) = 2 b$ 成立，则称 $g (x)$ 为局部对称函数，其中 $(a ， b)$ 为函数 $g (x)$ 的局部对称点．若 $(1 ， 0)$ 是 $f (x)$ 的局部对称点，求实数 $m$ 的取值范围．

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7. 已知 $g (x)$ 为过点 $(2 ， 9)$ 的指数函数， $f (x) = \frac{m - g (x)}{1 + g (x)}$ 为定义域为R的奇函数.

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、若对任意的 $t \in [0 ， 5]$ ，不等式 $f (t^{2} + 2 t + k) + f (- 2 t^{2} + 2 t - 5) > 0$ 恒成立，求实数k的取值范围.

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8. 已知函数 $y = a^{x - 1} - 1 (a > 0 ， a \neq 1)$ 过定点 $A$ ，且点 $A$ 在函数 $f (x) = l n (x + t) (t \in R)$ 的图象上， $g (x) = x^{2} - 2 e^{f (x)}$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、若定义在区间 $(1 ， 2)$ 上的函数 $y = f (x) + l n (2 x - k)$ 有零点，求整数 $k$ 的值；

(3)、设 $m > 0$ ，若对于任意 $x \in [\frac{1}{m} ， m]$ ，都有 $g (x) < - l n (m - 1)$ ，求 $m$ 的取值范围．

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9. 已知函数 $f (x) = l n (2 - x) + l n (2 + x)$ .

(1)、写出函数 $f (x)$ 的定义域并判断其奇偶性；

(2)、若 $f (2 m + 1) > l n 3$ ，求实数 $m$ 的取值范围.

(3)、若存在 $x$ 使得不等式 $f (x) \geq m - 1$ 成立，求实数 $m$ 的最大值.

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10. 已知函数 $f (x) = l o g_{4} (4^{x} + 1) + k x$ 与 $g (x) = l o g_{4} (a \cdot 2^{x} - \frac{4}{3} a)$ ，其中 $f (x)$ 是偶函数．

(1)、求函数 $g (x)$ 的定义域；

(2)、求实数 $k$ 的值；

(3)、若函数 $F (x) = f (x) - g (x)$ 只有一个零点，求实数 $a$ 的取值范围．

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11. 已知函数 $y = f (x)$ 的图象与 $g (x) = l o g_{a} x$ （ $a > 0$ ，且 $a \neq 1$ ）的图象关于直线 $y = x$ 对称，且 $g (x)$ 的图象过点 $(\frac{1}{9} ， 2)$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、若 $g (3 x - 1) > g (- x + 5)$ 成立，求 $x$ 的取值范围；

(3)、若对 $\forall x \in (1 ， + \infty)$ ， $g (x + 2) < m$ 恒成立，求实数 $m$ 的取值范围．

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12.
已知函数 $f (x) = l o g_{a} (x - 2 a) + l o g_{a} (x - 3 a) ， (a > 0$ ，且 $a \neq 1)$

(1)、当 $a = \frac{1}{2}$ 时，求 $f (2)$ 的值；

(2)、当 $a = \frac{1}{2}$ 时，若方程 $f (x) = l o g_{\frac{1}{2}} (p - x)$ 在 $(3 ， 4)$ 上有解，求实数 $p$ 的取值范围；

(3)、若 $f (x) \leq 1$ 在 $[a + 3 ， a + 4]$ 上恒成立，求实数 $a$ 的取值范围.

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13. 已知函数 $f (x) = | l o g_{2} x |$ ．

(1)、求 $f (x)$ 在 $[\frac{1}{2} ， a]$ 上的最大值；

(2)、设函数 $f (x)$ 的定义域为 $I$ ，若存在区间 $A \subseteq I$ ，满足：对任意 $x_{1} \in A$ ，都存在 $x_{2} \in ∁_{I} A$ 使得 $f (x_{1}) = f (x_{2})$ ，则称区间 $A$ 为 $f (x)$ 的“ $Γ$ 区间” $.$ 已知 $f (x) = | l o g_{2} x | ， x \in [\frac{1}{2} ， 2]$ ，若 $A = [\frac{1}{2} ， a)$ 为函数 $f (x)$ 的“ $Γ$ 区间”，求 $a$ 的最大值．

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14. 为提倡节能减排，同时减轻居民负担，广州市积极推进“一户一表”工程．非一户一表用户电费采用“合表电价”收费标准：0.65元/度．“一户一表”用户电费采用阶梯电价收取，其11月到次年4月起执行非夏季标准如下：

第一档

第二档

第三档

每户每月用电量

(单位：度)

[0，200]

(200，400]

(400，＋∞)

电价(单位：元/度)

0.61

0.66

0.91

例如：某用户11月用电410度，采用合表电价收费标准，应交电费410×0.65＝266.5(元)，若采用阶梯电价收费标准，应交电费200×0.61＋(400－200)×0.66＋(410－400)×0.91＝263.1(元)．

为调查阶梯电价是否能取到“减轻居民负担”的效果，随机调查了该市100户居民的11月用电量，工作人员已经将90户的月用电量填在下面的频率分布表中，最后10户的月用电量(单位：度)为88、268、370、140、440、420、520、320、230、380.

组别	月用电量	频数统计	频数	频率
①	[0，100]
②	(100，200]
③	(200，300]
④	(300，400]
⑤	(400，500]
⑥	(500，600]
合计

(1)、完成频率分布表，并绘制频率分布直方图；

(2)、根据已有信息，试估计全市住户11月的平均用电量(同一组数据用该区间的中点值作代表)；

(3)、设某用户11月用电量为x度(x∈N)，按照合表电价收费标准应交y₁元，按照阶梯电价收费标准应交y₂元，请用x表示y₁和y₂ ，并求当y₂≤y₁时，x的最大值，同时根据频率分布直方图估计“阶梯电价”能否给不低于75%的用户带来实惠？

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15. 设平面向量 $\vec{a}$ 、 $\vec{b}$ 的夹角为 $θ$ ， $\vec{a} \otimes \vec{b} = | \vec{a} | \cdot | \vec{b} | s i n θ$ ．已知 $\vec{a} = (s i n x ， 1)$ ， $\vec{b} = (c o s x ， 1)$ ， $f (x) = \vec{a} \otimes \vec{b} (0 \leq x < \frac{3 π}{4})$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、若 $f (x) g (x) = - c o s 2 x$ ﹐证明：不等式 $e^{f (x)} + f^{2} (x) + f (x) > 2 + 2 l n g (x)$ 在 $[\frac{π}{2} ， \frac{3 π}{4})$ 上恒成立．

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16. 已知定义在 $[- 4 ， 4]$ 上的奇函数 $f (x)$ ，当 $x \in [- 4 ， 0]$ 时， $f (x) = \frac{1}{4^{x}} + \frac{a}{3^{x}}$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、若 $\exists x \in [- 2 ， - 1]$ ，使得不等式 $f (x) \leq \frac{m}{2^{x}} - \frac{1}{3^{x - 1}}$ 成立，求实数m的取值范围．

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17. 已知函数 $f (x) = 2 s i n x c o s x + 2 \sqrt{3} s i n^{2} x - \sqrt{3}$

(1)、求函数 $f (x)$ 的最小正周期､单调递增区间及最值；

(2)、若 $A$ 为锐角 $△ A B C$ 的内角且 $f (A) = \sqrt{3} ， a = 2 \sqrt{3}$ ，求 $△ A B C$ 面积的最大值．

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18. 若函数 $f (x)$ 满足：对任意 $x \in R ， f (x) = f (\frac{3 π}{2} - x) = f (\frac{3 π}{2} + x)$ ，则称 $f (x)$ 为“ $M$ 函数”．

(1)、判断 $f_{1} (x) = s i n (\frac{4}{3} x + \frac{π}{2}) ， f_{2} (x) = | t a n \frac{2}{3} x |$ 是不是 $M$ 函数（直接写出结论）；

(2)、已在函数 $f (x)$ 是 $M$ 函数，且当 $x \in [0 ， \frac{3 π}{4}]$ 时， $f (x) = s i n x$ ．求 $f (x)$ 在 $[\frac{3}{2} π ， 3 π]$ 的解析式；

(3)、在（2）的条件下， $x \in [0 ， 6 π]$ 时，关于 $x$ 的方程 $f (x) = a$ （ $a$ 为常数）有解，求该方程所有解的和 $S$ ．

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19. 已知函数 $f (x) = l o g_{4} (4^{x} + 1) - k (x + 1)$ 过原点且 $g (x) = f (x) + \frac{1}{2}$ ．

(1)、求k值并证明 $g (x)$ 为偶函数；

(2)、若方程 $g (x) = l o g_{4} (a \cdot 2^{x} - \frac{4}{3} a)$ 有且只有一个解，求实数a的取值范围．

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20. 某公司计划在报刊与网络媒体上共投放30万元的广告费，根据计划，报刊与网络媒体至少要投资4万元．根据市场前期调研可知，在报刊上投放广告的收益 $P$ 与广告费 $x$ 满足 $P = 2 \sqrt{2 x} - 4$ ，在网络媒体上投放广告的收益 $Q$ 与广告费 $x$ 满足 $Q = \frac{1}{2} x + 2$ ，设在报刊上投放的广告费为 $x$ (单位：万元)，总收益为 $f (x)$ (单位：万元).

(1)、当在报刊上投放的广告费是18万元时，求此时公司总收益；

(2)、试问如何安排报刊、网络媒体的广告投资费，才能使总收益最大?

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21. 定义：若函数 $y = f (x)$ 在某一区间 $D$ 上任取两个实数 $x_{1} ， x_{2}$ $(x_{1} \neq x_{2})$ ，都有 $\frac{f (x_{1}) + f (x_{2})}{2} > f (\frac{x_{1} + x_{2}}{2})$ ，则称函数 $y = f (x)$ 在区间 $D$ 上具有性质 $T$ .

(1)、试判断下列函数中哪些函数具有性质 $T$ （给出结论即可）
① $f (x) = x$ ；② $g (x) = x^{2}$ ；③ $h (x) = - x^{2}$ ；④ $m (x) = x + \frac{1}{x} (x > 0)$ .

(2)、从（1）中选择一个具有性质 $T$ 的函数，用所给定义证明你的结论.

(3)、若函数 $φ (x) = \frac{1}{x} + a x^{2}$ 在区间 $(1 ， + \infty)$ 上具有性质 $T$ ，求实数 $a$ 的取值范围.

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22. 已知函数 $f (x) = - x^{2} + 3 x - m$ ，且 $f (- 1) = - 5$ .

(1)、求不等式 $f (x) > - 1$ 的解集；

(2)、求 $f (x)$ 在 $[- 2, 4]$ 上的最值。

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