备考2024年高考数学优生冲刺专题特训：等式与不等式

试卷更新日期：2024-02-22 类型：三轮冲刺

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一、解答题

1. [选修4-5：不等式选讲]
已知函数 $f (x) = m - | x - 2 | ， m \in$ R，且 $f (x + 2) \geq 0$ 的解集为[-1，1].

(1)、求m的值；

(2)、若 $a ， b ， c \in (0 ， + \infty)$ ，且 $\frac{1}{a} + \frac{1}{2 b} + \frac{1}{3 c} = m$ ，求证： $a + 2 b + 3 c \geq 9$

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2. 已知 $a \geq 0 ， b \geq 0$ 且 $a^{2} + b^{2} - a b = 1$ ，记 $m$ 为 $a + b$ 的最大值，记 $n$ 为 $a b$ 的最大值．

(1)、求 $m ， n$ 的值 $；$

(2)、若 $a \neq 0$ ，且对任意 $x \in R$ ， $x + 1 \leq a x^{2} + b x + c \leq x^{2} - n x + m$ 恒成立，求 $b c + 3 a$ 的最大值．

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3. 设数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{n} = {2 a}_{n} - 2^{n + 1}$ ，数列 $\{b_{n}\}$ 满足 $b_{n} = {l o g}_{2} \frac{a_{n}}{n + 1}$ ，其中 $n \in N^{*}$ .

(1)、证明 $\{\frac{a_{n}}{2^{n}}\}$ 为等差数列，并求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式：

(2)、求数列 $\{\frac{（ n + 3 ）}{（ n + 1 ） a_{n + 1}}\}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ；

(3)、求使不等式 $(1 + \frac{1}{b_{1}}) ∙ (1 + \frac{1}{b_{3}}) \dots (1 + \frac{1}{b_{2 n +}}) \geq m \sqrt{b_{2 n + 1}}$ ，对任意正整数 $n$ 都成立的最大实数 $m$ 的值.

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4. 已知某产品在过去的32天内的日销售量 $Q (x)$ （单位：万件）与第 $x$ 天之间的函数关系为① $Q (x) = a (x - 8)^{2} + b$ ；② $Q (x) = \frac{k}{x} + m$ 这两种函数模型中的一个，且部分数据如下表：
$x$ （天）
2
4
10
20
$Q (x)$ （万件）
12
11
10.4
10.2

(1)、请确定 $Q (x)$ 的解析式，并说明理由；

(2)、若第 $x$ 天的每件产品的销售价格均为 $P (x)$ （单位：元），且 $P (x) = 60 - | x - 20 |$ ，求该产品在过去32天内的第 $x$ 天的销售额 $f (x)$ （单位：万元）的解析式及 $f (x)$ 的最小值.

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5. 已知抛物线 $C ： y^{2} = 4 x$ 的焦点为 $F$ ，过 $F$ 的直线 $l$ 交 $C$ 于 $A ， B$ 两点，过 $F$ 与 $l$ 垂直的直线交 $C$ 于 $D ， E$ 两点，其中 $B ， D$ 在 $x$ 轴上方， $M ， N$ 分别为 $A B ， D E$ 的中点．

(1)、证明：直线 $M N$ 过定点；

(2)、设 $G$ 为直线 $A E$ 与直线 $B D$ 的交点，求 $△ G M N$ 面积的最小值．

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6. 在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，面积为 $S$ ，在下列三个条件中任选一个，解答下面的问题．① $b = \sqrt{2} c s i n (A + \frac{π}{4})$ ， ② $S = \frac{1}{4} (a^{2} + b^{2} - c^{2})$ ， ③ $b = a s i n C + c c o s A$ ．

(1)、求角 $C$ 的大小；

(2)、若 $△ A B C$ 外接圆的面积为 $2 π$ ，求 $S$ 的最大值．

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7. 设函数 $f (x) = (a x^{2} + b x + 1) l n x (a ， b \in R)$ .

(1)、当 $a = 1$ ， $b = 4$ 时，
①求 $y = f (x)$ 在 $(1 ， f (1))$ 处的切线方程；
②求证：当 $x \in (0 ， 1]$ 时， $f (x) \leq 3 x^{2} - 3$ ；

(2)、当 $a = 0$ 时，已知 $x_{1} ， x_{2} (0 < x_{1} < 1 < x_{2})$ 为函数 $g (x) = x - f^{'} (x) + b$ 的两个零点（ $f^{'} (x)$ 为 $f (x)$ 的导数），求证： $x_{2} - x_{1} > \sqrt{{(4 - 3 b)}^{2} - 4}$ .

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8. 已知关于 $x$ 的不等式 $2 a x^{2} - 8 x - 3 a^{2} < 0$ 的解集为 ${x | - 1 < x < b}$ .

(1)、求实数 $a$ ， $b$ 的值；

(2)、当 $x > 0$ ， $y > 0$ ，且满足 $\frac{a}{x} + \frac{b}{y} = 1$ 时，求 $3 x + 2 y$ 的最小值.

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9. 关于 $x$ 的一元二次方 $x^{2} + m x + n = 0$ 恒有两个实数根 $x_{1} ， x_{2}$ .

(1)、当 $n = 3 - m$ 且两个根皆为负时，求实数 $m$ 的取值范围.

(2)、不等式 $t \leq {(m - 1)}^{2} + {(n - 1)}^{2} + {(m - n)}^{2}$ 恒成立，求实数 $t$ 的最大值.

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10. 现代城市大多是棋盘式布局（如北京道路几乎都是东西和南北走向）.在这样的城市中，我们说的两点间的距离往往不是指两点间的直线距离（位移），而是实际路程（如图）.在直角坐标平面内，我们定义 $A (x_{1} ， y_{1})$ ， $B (x_{2} ， y_{2})$ 两点间的“直角距离”为： $D_{(A B)} = | x_{1} - x_{2} | + | y_{1} - y_{2} |$ .

(1)、在平面直角坐标系中，写出所有满足到原点的“直角距离”为2的“格点”的坐标.（格点指横、纵坐标均为整数的点）

(2)、求到两定点 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ 的“直角距离”和为定值 $2 a (a > 0)$ 的动点轨迹方程，并在直角坐标系内作出该动点的轨迹.（在以下三个条件中任选一个做答）
① $F_{1} (- 1 ， 0)$ ， $F_{2} (1 ， 0)$ ， $a = 2$ ；

② $F_{1} (- 1 ， - 1)$ ， $F_{2} (1 ， 1)$ ， $a = 2$ ；

③ $F_{1} (- 1 ， - 1)$ ， $F_{2} (1 ， 1)$ ， $a = 4$ .

(3)、写出同时满足以下两个条件的“格点”的坐标，并说明理由（格点指横、纵坐标均为整数的点）.
①到 $A (- 1 ， - 1)$ ， $B (1 ， 1)$ 两点“直角距离”相等；

②到 $C (- 2 ， - 2)$ ， $D (2 ， 2)$ 两点“直角距离”和最小.

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11. 画出不等式组 ${\begin{cases} x - y - 2 \leq 0 ， \\ x + y + 3 \leq 0 ， \\ 1 \leq | x + 3 | \leq 2 \end{cases}$ 表示的平面区域，并求其面积．

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12. 已知甲、乙两煤矿每年的产量分别为200万吨和260万吨，需经过东车站和西车站两个车站运往外地．东车站每年最多能运280万吨煤，西车站毎年最多能运360万吨煤，甲煤矿运往东车站和西车站的运费价格分别为1元/t和1.5元/t，乙煤矿运往东车站和西车站的运费价格分别为0.8元/t和1.6元/t．煤矿应怎样编制调运方案，能使总运费最少？

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13. 已知函数 $f (x) = x l n x$

(1)、求函数 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、若 $a \leq - 2$ ，证明： $f (x) \geq a x - e^{- 3}$ 在 $(0 ， + \infty)$ 上恒成立；

(3)、若方程 $f (x) = b$ 有两个实数根 $x_{1} ， x_{2}$ ，且 $x_{1} < x_{2}$ ，求证： $b e + 1 < x_{2} - x_{1} < \frac{e^{- 3} + 2 + 3 b}{2}$ .

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14. 已知函数 $f (x) = x^{2} - a x + b ， a ， b \in R$ ．

(1)、若函数 $f (x)$ 在区间 $(- \frac{1}{2} ， + \infty)$ 单调递增，求实数 $a$ 的取值范围；

(2)、若不等式 $f (x) < x - 1$ 的解集为 $(- 3 ， 2)$ ，求关于 $x$ 的不等式 $\frac{5 + a x}{2 x - b} < 0$ 的解集．

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15. 已知 $f (x) = | x - a | + \frac{a}{x} | x - 2 | (a ≥ 2)$ ．

(1)、当 $a = 2$ 时，解不等式 $f (x) \geq 0$ ；

(2)、若 $g (x) = x \cdot f (x)$ ，且函数 $y = g (x)$ 的图像与直线 $y = 2$ 有3个不同的交点，求实数a的取值范围．

(3)、在（2）的条件下，假设3个交点的横坐标分别为 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3}$ ，且 $x_{1} < x_{2} < x_{3}$ ，若 $\frac{x_{2} x_{3}}{x_{1}} > t$ 恒成立，求实数t的取值范围．

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16. 对于函数 $f (x)$ ，若在其定义域内存在实数 $x_{0}$ ，使得 $f (x_{0} + 1) = f (x_{0}) + f (1)$ 成立，则称 $f (x)$ 有“漂移点” $x_{0}$ ．

(1)、判断函数 $f (x) = x^{2} + 2^{x}$ 在 $[0 ， 1]$ 上是否有“漂移点”，并说明理由；

(2)、若函数 $f (x) = \lg (\frac{a}{x^{2} + 1})$ 在 $(0 ， + \infty)$ 上有“漂移点”，求正实数 $a$ 的取值范围．

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17. 已知函数 $f (x) = a x^{2} - (a + 2) x + 2$ ， $a \in R$ ．

(1)、当 $a > 0$ 时，求不等式 $f (x) \geq 0$ 的解集；

(2)、若存在 $m > 0$ 使关于 $x$ 的方程 $f (| x |) = m + \frac{1}{m} + 1$ 有四个不同的实根，求实数 $a$ 的取值范围．

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18. 已知函数 $f (x) = l o g_{3} (1 + a x) ， g (x) = l o g_{3} [(2 a - 1) x^{2} + (3 a - 2) x] ， a \in R$ .

(1)、若 $a = 2$ ，求不等式 $f (2 x + 1) > f (x)$ 的解集；

(2)、已知函数 $h (x) = f (x) - g (x)$ ，且方程 $h (x) = 0$ 有唯一实数解，求实数 $a$ 的取值范围.

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19. 已知函数 $f (x) = x^{2} + 2^{x} + a (x > 0)$ 满足 $f (l o g_{2} a) = f (2 - l o g_{2} b)$ ，函数 $g (x) = l o g_{2} (2^{x} - 4) \cdot l o g_{b} (x^{2} - 1)$ ，其中 $a ， b \in R$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的值域（用 $a$ 表示）；

(2)、求 $a + b$ 的取值范围；

(3)、若存在实数 $b$ ，使得 $g (f (x)) - 3 l o g_{b} a \geq 3$ 有解，求 $a$ 的取值范围．

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20. 已知函数 $f (x) = - a x^{2} + b x + a | x - a |$ .
（Ⅰ）若 $b = 3$ ，且 $f (x)$ 在 $(- \infty ， a)$ 上递减，求a的取值范围；

（Ⅱ）设 $a \in [1 ， 2]$ ， $f (x) \geq 0$ 对任意 $x \in [1 ， 2]$ 恒成立，求 $5 a - 2 b$ 的最大值.

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21. 如图，有一块边长为1（百米）的正方形区域ABCD，在点A处有一个可转动的探照灯，其照射角 $∠ P A Q$ 始终为 $45^{\circ}$ （其中点P，Q分别在边BC，CD上），设 $∠ P A B = θ ， \tan θ = t$ ．

（Ⅰ）用t表示出PQ的长度，并探求 $Δ C P Q$ 的周长l是否为定值；

（Ⅱ）问探照灯照射在正方形ABCD内部区域阴影部分的面积S最大为多少（平方百米）?

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22. 已知函数与（其中）在上的单调性正好相反，回答下列问题：

(1)、对于，，不等式恒成立，求实数的取值范围；

(2)、令，两正实数、满足，求证： .

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$x$ （天）	2	4	10	20
$Q (x)$ （万件）	12	11	10.4	10.2