备考2024年高考数学提升专题特训：集合与常用逻辑用语

试卷更新日期：2024-02-22 类型：三轮冲刺

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一、解答题

1. 已知集合 $A = {x | x^{2} - a x + b = 0 ， a \in R ， b \in R}$ .

(1)、若 $A = {1}$ ，求 $a$ ， $b$ 的值；

(2)、若 $B = {x \in Z | - 3 < x < 0}$ ，且 $A = B$ ，求 $a$ ， $b$ 的值.

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2. 已知集合 $A = {2 ， 6}$ ．

(1)、若集合 $B = {a + 1 ， a^{2} - 23}$ ，且 $A = B$ ，求a的值；

(2)、若集合 $C = {x | a x^{2} - x + 6 = 0}$ ，且A与C有包含关系，求a的取值范围．

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3. 已知集合 $A = {a_{1} ， a_{2} ， \cdot \cdot \cdot ， a_{n}} (0 \leq a_{1} < a_{2} < \cdot \cdot \cdot < a_{n} ， n \in N^{*} ， n \geq 3)$ 具有性质P：对任意 $i ， j (1 \leq i \leq j \leq m)$ ， $a_{i} + a_{j}$ 与 $a_{j} - a_{i}$ 至少一个属于A ．

(1)、分别判断集合 $M = {0 ， 2 ， 4}$ ，与 $N = {1 ， 2 ， 3}$ 是否具有性质P ，并说明理由；

(2)、证明： $0 \in A$ ；

(3)、 $A = {a_{1} ， a_{2} ， a_{3}}$ 具有性质P ，当 $a_{2} = 4$ 时，求集合A ．

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4. 已知全集 $U = R$ ，集合 $A = {x | - 3 < x < 2}$ ， $B = {\begin{array}{l} x | \frac{2 x - 7}{x - 1} \leq 1 \end{array}}$ ， $C = {x | a - 1 \leq x \leq 2 a + 1}$ .

(1)、求 $A ∩ (∁_{U} B)$ ；

(2)、若 $C \subseteq A \cup B$ ，求实数 $a$ 的取值范围.

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5. 已知 $A = {x | x > - 2}$ ， $B = {x | x < 3}$ ， $P = {x | x > a}$ .

(1)、求 $A \cup B$ ， $A \cap B$ 及 $∁_{R} A$ ；

(2)、若 $A \subseteq P$ ，求 $a$ 的取值范围.

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6. 设 $m$ 为实数， $U = R$ ，集合 $A = {x ∣ l o g_{2} (x - 2) \leq 1}$ ， $B = {x ∣ m \leq x \leq m + 2}$ ．

(1)、若 $m = 1$ ，求 $A \cup B$ ， $∁_{U} (A \cap B)$ ；

(2)、若 $A ∩ B ≠ ∅$ ，求实数 $m$ 的取值范围．

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7. 已知集合 $A = {x ∣ 2 a - 3 < x < a + 2} ， B = {x | \frac{1}{16} < 2^{x} < 4}$ .

(1)、若 $a = 0$ ，求 $∁_{B} A$ ；

(2)、若 $A \cup B = B$ ，求实数 $a$ 的取值范围.

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8. 设集合 $A = {x ∣ | 2 x - 1 | < 3} ， B = {x ∣ x^{2} - (b + 1) x + b \leq 0}$ .

(1)、若 $b = 4$ ，试用区间表示集合 $A ､ B$ ，并求 $A \cup B$ ；

(2)、若 $B = [1 ， 5]$ ，求不等式 $\frac{b x + 1}{x - b} > 0$ 的解集.

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9. 已知A={x|3≤x≤7}，B={x|2a＜x＜a+4}．

(1)、当a=1时，求A∩B和A∪B；

(2)、若A∩B=∅，求实数a的取值范围．

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10. 已知集合A＝{x|ax²﹣3x+1＝0，a∈R}．

(1)、若A是空集，求a的取值范围；

(2)、若A中至多只有一个元素，求a的取值范围．

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11. 已知集合 $A = {x | - 2 < x < 2}$ ， $B = {x | x > 1}$ ．

(1)、求集合 $∁_{R} B$ ；

(2)、设集合 $M = {x | a < x < a + 6}$ ，且 $A \cup M = M$ ，求实数 $a$ 的取值范围．

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12. 命题甲：集合 $M = {x | k x^{2} - 2 k x + 1 = 0}$ 为空集；命题乙：关于 $x$ 的不等式 $x^{2} + (k - 1) x + 4 > 0$ 的解集为 $R$ .

(1)、“ $| k | < 2$ ”是命题乙的什么条件？并证明；

(2)、若命题甲、乙中有且只有一个是真命题，求实数 $k$ 的取值范围.

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13. 已知命题p：关于x的一元二次方程 $x^{2} - 2 \sqrt{3} x + | m - 2 | = 0$ 有两个不相等的实数根；命题q：关于x的一元二次方程 $x^{2} - mx + | a + 1 | + | a - 3 | = 0$ 对于任意实数a都没有实数根．

(1)、若命题p为真命题，求实数m的取值范围；

(2)、若命题p和命题q中有且只有一个为真命题，求实数m的取值范围．

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14. 设命题 $p ：$ 幂函数 $y = x^{a^{2} - a - 2}$ 在 $(0 ， + \infty)$ 上单调递减。命题 $q ：$ $a = - \frac{1}{x^{2}} + \frac{2}{x}$ 在 $(0 ， 3)$ 上有解；
若 $p \land q$ 为假， $p \lor q$ 为真，求 $a$ 的取值范围.

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15. 已知命题：“ $\forall x \in [- 1 ， 3]$ ，都有不等式 $x^{2} - 4 x - m < 0$ 成立”是真命题.

(1)、求实数 $m$ 的取值集合 $A$ ；

(2)、设不等式 $x^{2} - 3 a x + 2 a^{2} \geq 0 (a \neq 0)$ 解集为 $B$ ，若 $x ∈ A$ 是 $x ∈ B$ 的充分条件，求实数 $a$ 的取值范围.

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16. 设不等式 $\frac{2 x - 5}{x - 4} \leq 1$ 的解集为 $A$ ，关于x的不等式 $(x - 2) (x - a) \leq 0$ 的解集为 $B$ ．

(1)、求集合 $A$ ；

(2)、若“ $x ∈ A$ ”是“ $x ∈ B$ ”的必要不充分条件，求实数a的取值范围．

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17.
已知幂函数 $f (x) = (m^{2} - 2 m - 2) x^{m}$ 在 $R$ 上单调递增，函数 $g (x) = x^{- 1} + k$ .

(1)、求 $m$ 的值；

(2)、记 $f (x)$ ， $g (x)$ 在区间 $(1 ， 2)$ 上的值域分别为集合A，B，若 $x \in A$ 是 $x \in B$ 的必要条件，求实数k的取值范围.

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18. 设命题 $p ： \exists x \in R ， x^{2} + 2 a x - (a - 2) \leq 0$ ，命题 $q ： \forall x \in [- 1 ， \frac{5}{2}] ， x^{2} - 2 x \geq a$ .

(1)、若命题p为真命题，求实数 $a$ 的取值范围；

(2)、若命题p，q为一真一假，求实数 $a$ 的取值范围.

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19. 已知命题p： $\frac{x^{2}}{m + 3} + \frac{y^{2}}{7 m - 3} = 1$ 表示焦点在x轴的双曲线，命题q： $f (x) = {(5 - 2 m)}^{x}$ 是增函数，若p或q为真命题，p且q为假命题，求实数m的取值范围．

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20. 集合 $A = {x | \frac{1}{2} \leq x \leq \frac{3}{4}} ， B = {x | \frac{\sqrt{2}}{2} \leq c o s x \leq \frac{\sqrt{3}}{2} ， x \in (0 ， π)}$ ， $C = {x | - 2 a \leq x \leq a - 2}$ .

(1)、求 $(A \cup B) \cap (A \cap B)$

(2)、若“ $\forall x \in C ，$ 则 $x ∈ B$ ”是假命题，求实数a的取值范围；

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