备考2024年高考数学优生冲刺专题特训：集合与常用逻辑用语

试卷更新日期：2024-02-22 类型：三轮冲刺

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一、解答题

1. 对于正整数集合 $A = {a_{1} ， a_{2} ， \cdot \cdot \cdot ， a_{n}} (n \in N^{*} ， n \geq 3)$ ，如果去掉其中任意一个元素 $a_{i} (i = 1 ， 2 ， \cdot \cdot \cdot ， n)$ 之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合 $A$ 为“和谐集”．

(1)、判断集合 ${1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5}$ 是否为“和谐集”，并说明理由；

(2)、求证：集合 ${1 ， 3 ， 5 ， 7 ， 9 ， 11 ， 13}$ 是“和谐集”；

(3)、求证：若集合 $A$ 是“和谐集”，则集合 $A$ 中元素个数为奇数．

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2. 设 $m ， n \in N^{*}$ ，已知由自然数组成的集合 $S = {a_{1} ， a_{2} ， \cdot \cdot \cdot ， a_{n}} (a_{1} < a_{2} < \cdot \cdot \cdot < a_{n})$ ，集合 $S_{1}$ ， $S_{2}$ ， …， $S_{m}$ 是S的互不相同的非空子集，定义 $n \times m$ 数表：
$χ = (\begin{array}{l} x_{11} & x_{12} & \cdot \cdot \cdot & x_{1 m} \\ x_{21} & x_{22} & \cdot \cdot \cdot & x_{2 m} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ x_{n 1} & x_{n 2} & \cdot \cdot \cdot & x_{n m} \end{array})$ ，其中 $x_{i j} = {\begin{cases} 1 ， a_{i} \in S_{j} \\ 0 ， a_{i} \notin S_{j} \end{cases}$ ，

设 $d (a_{i}) = x_{i 1} + x_{i 2} + \cdot \cdot \cdot + x_{i m} (i = 1 ， 2 ， \cdot \cdot \cdot ， n)$ ，令 $d (S)$ 是 $d (a_{1})$ ， $d (a_{2})$ ， …， $d (a_{n})$ 中的最大值．

(1)、若 $m = 3$ ， $S = {1 ， 2 ， 3}$ ，且 $χ = (\begin{array}{l} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{array})$ ，求 $S_{1}$ ， $S_{2}$ ， $S_{3}$ 及 $d (S)$ ；

(2)、若 $S = {1 ， 2 ， \cdot \cdot \cdot ， n}$ ，集合 $S_{1}$ ， $S_{2}$ ， …， $S_{m}$ 中的元素个数均相同，若 $d (S) = 3$ ，求n的最小值；

(3)、若 $m = 7$ ， $S = {1 ， 2 ， \cdot \cdot \cdot ， 7}$ ，集合 $S_{1}$ ， $S_{2}$ ， …， $S_{7}$ 中的元素个数均为3，且 $S_{i} ∩ S_{j} \neq \emptyset (1 \leq i < j \leq 7)$ ，求证： $d (S)$ 的最小值为3．

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3. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足： $a_{1} \in N^{*} ， a_{1} \leq 24$ ，且 $a_{n + 1} = {\begin{array}{l} 2 a_{n} ， a_{n} \leq 12 ， \\ 2 a_{n} - 24 ， a_{n} > 12 \end{array} (n = 1 ， 2 ， ⋯)$ .记集合 $M = {a_{n} ∣ n \in N^{*}}$ .

(1)、若 $a_{1} = 2$ ，写出集合 $M$ 的所有元素；

(2)、若集合 $M$ 存在一个元素是3的倍数，证明： $M$ 的所有元素都是3的倍数；

(3)、求集合 $M$ 的元素个数的最大值.

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4. 已知 $S = {1 ， 2 ， \cdot \cdot \cdot ， n}$ ， $A \subseteq S$ ， $T = {t_{1} ， t_{2}} \subseteq S$ ，记 $A_{i} = {x | x = a + t_{i} ， a \in A} (i = 1 ， 2)$ ，用 $| X |$ 表示有限集合X的元素个数.

(1)、若 $n = 5$ ， $A = {1 ， 2 ， 5}$ ， $A_{1} ∩ A_{2} = \emptyset$ ，直接写出所有符合要求的集合T；

(2)、若 $n = 7$ ， $| A | = 4$ ，则对于任意的A ，是否都存在 $T$ ，使得 $A_{1} ∩ A_{2} = \emptyset$ ?说明理由；

(3)、若 $| A | = 5$ ，对于任意的A ，都存在T ，使得 $A_{1} ∩ A_{2} = \emptyset$ ，求n的最小值.

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5. 已知集合 $A$ 为非空数集，定义： $S = {x | x = a + b ， a ， b \in A}$ ， $T = {x | x = | a - b | ， a ， b \in A}$ （ $a ， b$ 实数可以相同）

(1)、若集合 $A = {2 ， 5}$ ，直接写出集合 $S$ 、 $T$ ；

(2)、若集合 $A = {x_{1} ， x_{2} ， x_{3} ， x_{4}}$ ， $x_{1} < x_{2} < x_{3} < x_{4}$ ，且 $T = A$ ，求证： $x_{1} + x_{4} = x_{2} + x_{3}$ ；

(3)、若集合 $A \subseteq {x | 0 \leq x \leq 2021 ， x \in N}$ ， $S \cap T = \emptyset$ ，记 $| A |$ 为集合 $A$ 中元素的个数，求 $| A |$ 的最大值.

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6. 已知函数 $y = φ (x)$ 的图象关于点 $P (a ， b)$ 成中心对称图形的充要条件是 $φ (a + x) + φ (a - x) = 2 b$ ．给定函数 $f (x) = x - \frac{6}{x + 1}$ 及其图象的对称中心为 $(- 1 ， c)$ ．

(1)、求c的值；

(2)、判断 $f (x)$ 在区间 $(0 ， + ∞)$ 上的单调性并用定义法证明；

(3)、已知函数 $g (x)$ 的图象关于点 $(1 ， 1)$ 对称，且当 $x \in [0 ， 1]$ 时， $g (x) = x^{2} - m x + m$ ．若对任意 $x_{1} \in [0 ， 2]$ ，总存在 $x_{2} \in [1 ， 5]$ ，使得 $g (x_{1}) = f (x_{2})$ ，求实数m的取值范围．

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7. 已知有限数列 ${a_{n}}$ 共M项 $(M \geq 4)$ ，其任意连续三项均为某等腰三角形的三边长，且这些等腰三角形两两均不全等.将数列 ${a_{n}}$ 的各项和记为 $S$ ．

(1)、若 $a_{n} \in {1 ， 2} (n = 1 ， 2 ， ⋯ ， M)$ ，直接写出 $M ， S$ 的值；

(2)、若 $a_{n} \in {1 ， 2 ， 3} (n = 1 ， 2 ， ⋯ ， M)$ ，求 $M$ 的最大值；

(3)、若 $a_{n} \in N^{*} (n = 1 ， 2 ， ⋯ ， M) ， M = 16$ ，求 $S$ 的最小值

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8. 求证：如果p²＋q²＝2，则p＋q≤2.

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9. 欧拉对函数的发展做出了巨大贡献，除特殊符号，概念名称的界定外，欧拉还基于初等函数研究了抽象函数的性质.例如，欧拉引入倒函数的定义：对于函数 $y = f (x)$ ，如果对于其定义域 $D$ 中任意给定的实数 $x$ ，都有 $- x \in D$ ，并且 $f (x) \cdot f (- x) = 1$ ，就称函数 $y = f (x)$ 为倒函数.

(1)、已知 $f (x) = 2^{x} ， g (x) = \frac{1 + x}{1 - x}$ ，判断 $y = f (x)$ 和 $y = g (x)$ 是否为倒函数；

(2)、若 $y = f (x)$ 是 $R$ 上的倒函数，当 $x \leq 0$ 时， $f (x) = \frac{1}{2^{- x} + x^{2}}$ ，方程 $f (x) = 2023$ 是否有正整数解？并说明理由；

(3)、若 $y = f (x)$ 是 $R$ 上的倒函数，其函数值恒大于0，且在 $R$ 上是增函数.记 $F (x) = f (x) - \frac{1}{f (x)}$ ，证明： $x_{1} + x_{2} > 0$ 是 $F (x_{1}) + F (x_{2}) > 0$ 的充要条件.

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10. 分式线性变换又称为莫比乌斯变换，它是定义在复数集中形如 $w = f (z) = \frac{a z + b}{c z + d} (a d - b c \neq 0)$ 的变换，其中 $w$ 称为 $z$ 的“像”， $z$ 称为 $w$ 的“原像”．

(1)、若 $a = b = c = - d = 1$ ，求 $i$ 的“像”以及 $1 + i$ “原像”；

(2)、若 $a = b = i$ ， $c = - d = - 1$ ，求证： $I m w > 0$ 的充要条件是 $z < 1$ ；

(3)、若 $a = c = 1$ ， $b = - d = - i$ ， $z$ 满足 $0 < I m z < 1$ ，求 $z$ 的“像”在复平面上所构成图形的面积．

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11. 设函数 $y = f (x)$ 的定义域为 $M$ ，且区间 $I \subseteq M$ ，对任意 $x_{1} ， x_{2} \in I$ 且 $x_{1} < x_{2}$ ，记 $Δ x = x_{2} - x_{1}$ ， $Δ y = f (x_{2}) - f (x_{1})$ .若 $Δ y + Δ x > 0$ ，则称 $f (x)$ 在 $I$ 上具有性质 $A$ ；若 $Δ y - Δ x > 0$ ，则称 $f (x)$ 在 $I$ 上具有性质 $B$ ；若 $Δ y \cdot Δ x > 0$ ，则称 $f (x)$ 在 $I$ 上具有性质 $C$ ；若 $\frac{Δ y}{Δ x} > 0$ ，则称 $f (x)$ 在 $I$ 上具有性质 $D$ .

(1)、记：①充分而不必要条件；
②必要而不充分条件；

③充要条件；

④既不充分也不必要条件

则 $f (x)$ 在 $I$ 上具有性质 $A$ 是 $f (x)$ 在 $I$ 上单调递增的（填正确选项的序号）；

$f (x)$ 在 $I$ 上具有性质 $B$ 是 $f (x)$ 在 $I$ 上单调递增的（填正确选项的序号）；

$f (x)$ 在 $I$ 上具有性质 $C$ 是 $f (x)$ 在 $I$ 上单调递增的（填正确选项的序号）；

(2)、若 $f (x) = a x^{2} + 1$ 在 $[1 ， + \infty)$ 满足性质 $B$ ，求实数 $a$ 的取值范围；

(3)、若函数 $g (x) = \frac{1}{| x |}$ 在区间 $[m ， n]$ 上恰满足性质 $A$ ､性质 $B$ ､性质 $C$ ､性质 $D$ 中的一个，直接写出实数 $m$ 的最小值.

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12. 设命题 $p ： \forall x \in (- 1 ， + \infty)$ ，不等式 $\frac{4 x^{2} + 4 x + 9}{x + 1} \geq m^{2} - 3 m + 10$ 恒成立；
命题 $q ： \exists x_{0} \in R$ ，使 ${x_{0}}^{2} - 2 m x_{0} + m^{2} + 4 m - 5 \leq 0$ 成立.

(1)、若p为真命题，求实数m的取值范围；

(2)、若命题p、q至多有一个是真命题，求实数m的取值范围.

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13. 设命题 $p$ ：对任意 $x \in [0 ， 1]$ ，不等式 $2 x - 3 \geq m^{2} - 4 m$ 恒成立，命题 $q$ ：存在 $x \in [- 1 ， 1]$ ，使得不等式 $x^{2} - 2 x + m - 1 \leq 0$ 成立.

(1)、若 $p$ 为真命题，求实数 $m$ 的取值范围；

(2)、若命题 $p$ 与命题 $q$ 一真一假，求实数 $m$ 的取值范围.

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14. 已知函数 $f (x) = x^{2} - 2 a x + 1 - a^{2}$ ．

(1)、若 $f (x)$ 有两个零点 $x_{1}$ 、 $x_{2}$ ，且 $| x_{1} - x_{2} | = 2$ ，求 $a$ 的值；

(2)、若命题“ $\exists x \in R$ ， $f (x) \leq - 7$ ”假命题，求 $a$ 的取值范围．

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15. 已知 $p ：$ 对于函数 $f (x) = a^{2} x - 2 a + 1$ ， $\exists x_{0} \in (0 ， 1)$ ，使 $f (x_{0}) = 0$ ； $q ： \forall x \in R$ ， $x^{2} + a x + 1 > 0$ 恒成立.

(1)、若 $p$ 是真命题，求实数 $a$ 的取值范围；

(2)、若 $p \land q$ 是假命题， $p \lor q$ 是真命题，求实数 $a$ 的取值范围.

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16. 已知 $a \in R$ ，命题 $p ：$ 不等式 $e^{x} + \frac{4}{e^{x}} \geq a$ 的解集为 $R$ ；命题 $q ： f (x) = {\begin{array}{l} (3 a - 1) x + 4 a ， x < 1 \\ - x + 1 ， x \geq 1 \end{array}$ 是定义在 $R$ 上的减函数.若“ $p$ 且 $q$ ”为假命题，“ $p$ 或 $q$ ”为真命题，求 $a$ 的取值范围.

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