湖南省岳阳市通海路中学金凤桥校区2023-2024学年九年级上学期第三次月考数学试题

试卷更新日期：2024-02-22 类型：月考试卷

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一、选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）

1. 下列方程中，关于 $x$ 的一元二次方程是（）

A、 $x - \frac{1}{x} + 2 = 0$ B、 $x^{2} + 2 x + y = 0$ C、 $a x^{2} + b x + c = 0$ D、 $x^{2} - x + 1 = 0$

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2. 下列各组中的四条线段成比例的是（）

A、 $1 c m$ ， $2 c m$ ， $3 c m$ ， $4 c m$ B、 $1 c m$ ， $2 c m$ ， $20 c m$ ， $40 c m$ C、 $4 c m$ ， $2 c m$ ， $5 c m$ ， $3 c m$ D、 $5 c m$ ， $10 c m$ ， $15 c m$ ， $20 c m$

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3. 已知反比例函数 $y = - \frac{4}{x}$ ，则下列描述正确的是（）

A、图象位于第一、三象限 B、图象不可能与坐标轴相交 C、 $y$ 随 $x$ 的增大而增大 D、图象必经过点 $(\frac{3}{2} ， \frac{8}{3})$

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4. 如图，平面直角坐标系内有一点 $P (3 ， 4)$ ，连接 $O P$ ，则 $O P$ 与 $x$ 轴正方向所夹锐角 $α$ 的余弦值是（）

A、 $\frac{3}{4}$ B、 $\frac{4}{3}$ C、 $\frac{3}{5}$ D、 $\frac{4}{5}$

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5. 甲、乙两人在相同条件下，各射击10次，经计算，甲射击成绩的平均数是8环，方差是1.2环；乙射击成绩的平均数是8环，方差是1.6环．下列说法不一定正确的是（）

A、甲、乙成绩的总环数相同 B、甲的成绩比乙的成绩稳定 C、甲、乙成绩的中位数可能相同 D、甲、乙成绩的众数一定相同

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6. 若 $a$ ， $b$ 是方程 $x^{2} + 2 x - 2024 = 0$ 的两个实数根，则 $a^{2} + 3 a + b$ 的值是（）

A、 $2021$ B、 $2022$ C、 $2023$ D、 $2024$

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7. 如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，DE∥BC，BE与CD相交于F，则下列结论一定正确的是（）．

A、 $\frac{A D}{B D} = \frac{D E}{B C}$ B、 $\frac{A D}{A B} = \frac{A E}{A C}$ C、 $\frac{D F}{F C} = \frac{A E}{E C}$ D、 $\frac{D F}{B F} = \frac{E F}{F C}$

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8. 在一次同学聚会上，大家一见面就相互握手（每两人只握一次）．大家共握了21次手．设参加这次聚会的同学共有x人，根据题意，可列方程为（）

A、 $x (x + 1) = 21$ B、 $\frac{1}{2} x (x + 1) = 21$ C、 $x (x - 1) = 21$ D、 $\frac{1}{2} x (x - 1) = 21$

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9. 如图，在平行匹边形 $A B C D$ 中， $A C$ ， $B D$ 相交于点 $O$ ，点 $E$ 是 $O A$ 的中点，连接 $B E$ 并延长交 $A D$ 于点 $F$ ，已知 $△ A E F$ 的面积 $= 1$ ，则平行四边形 $A B C D$ 的面积是（）

A、24 B、18 C、12 D、9

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10. 如图，已知：在直角坐标系中，有菱形 $O A B C$ ， $A$ 点的坐标为 $(10 ， 0)$ ，对角线 $O B$ 、 $A C$ 相交于 $D$ 点，双曲线 $y = \frac{k}{x} (x > 0)$ 经过 $D$ 点，交 $B C$ 的延长线于 $E$ 点，且 $O B \cdot A C = 160$ ，有下列四个结论：
①双曲线的解析式为 $y = \frac{40}{x} (x > 0)$ ；② $E$ 点的坐标是 $(5 ， 8)$ ；③ $s i n ∠ C O A = \frac{4}{5}$ ；④ $A C + O B = 12 \sqrt{5}$ ．其中正确的结论有（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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二、填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）

11. 已知 $\frac{a}{3} = \frac{b}{4} = \frac{c}{5} \neq 0$ ，则 $\frac{b + c}{a}$ 的值为．

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12. 若点 $A (- 2 ， y_{1})$ 和点 $B (- 1 ， y_{2})$ 都在反比例函数 $y = \frac{2}{x}$ 的图象上，则 $y_{1}$ $y_{2}$ ．（用“＜”“＞”或“＝”填空）

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13. 如图，在高楼前 $D$ 点测得楼顶的仰角为 $30 °$ ，向高楼前进 $a$ 米到 $C$ 点，又测得仰角为 $60 °$ ，已知该高楼的高度为 $15 \sqrt{3}$ 米，则 $a =$ 米．

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14. 关于 $x$ 的方程 $x^{2} - 2 (k - 1) x + k^{2} = 0$ 的两个实数根 $x_{1}$ 、 $x_{2}$ 满足 $x_{1} + x_{2} = 1 - x_{1} x_{2}$ ，则 $k$ 的值为．

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15. 公元三世纪，我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”如图所示，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．如果大正方形的面积是125，小正方形面积是25，则 ${(s i n θ - c o s θ)}^{2} =$ ．

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16. 如图，在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 3$ ， $A D = 9$ ，点 $E$ ， $F$ 分别在边 $A D$ ， $B C$ 上，且 $A E = 2$ ，沿直线 $E F$ 翻折，点 $A$ 的对应点 $A^{'}$ 恰好落在对角线 $A C$ 上，点 $B$ 的对应点为 $B^{'}$ ，分别在线段 $E F$ ， $A^{'} B^{'}$ 上取点 $M$ ， $N$ ，沿直线 $M N$ 二次翻折，使点 $F$ 与点 $E$ 重合，则线段 $M N$ 的长为．

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三、解答题（共9小题，满分72分）

17. 计算： $\sqrt[3]{8} + {(\frac{1}{3})}^{- 1} - 2 c o s 30 ° + | 1 - \sqrt{3} |$ ．

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18. 如图， $△ A B C$ 中，点 $D$ 、 $E$ 分别在边 $A C$ 、 $A B$ 上， $A G$ 平分 $∠ B A C$ ，交 $D E$ 、 $B C$ 于点 $F$ 、 $G$ ，且 $A D \cdot A C = A E \cdot A B$ ．

(1)、求证： $△ A D E ∽ △ A B C$ ；

(2)、若 $△ A D E$ 与 $△ A B C$ 的周长之比是 $1 ： 2$ ， $A G = 10$ ，求 $A F$ 的值．

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19. 为了深化课程改革，某校积极开展校本课程建设，计划开设“趣味数学”“国际象棋”“手工”和“书法”等拓展课，要求每位学生都自主选择其中一种拓展课，为此，随机调查了本校部分学生选择拓展课的意向，并将调查结果绘制成如下统计图表（不完整）：
组别
拓展课
频数
频率
$A$
趣味数学
$a$
0.20
$B$
国际象棋
52

$C$
手工
48
$b$
$D$
书法
42

$E$
其他

0.09

(1)、表中， $a =$ ， $b =$ ；

(2)、补全条形统计图；

(3)、全校共有学生1500名，请估计拓展课选择“国际象棋”的人数．

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20. 定义新运算“ $\oplus$ ”：对于实数 $m$ ， $n$ ， $p$ ， $q$ ，有 $[m ， p] \oplus [q ， n] = m n + p q$ ，其中等式的右边是通常的加法和乘法运算．例如： $[2 ， 3] \oplus [4 ， 5] = 2 \times 5 + 3 \times 4 = 22$ ．

(1)、求关于 $x$ 的方程 $[x^{2} ， x - 1] \oplus [3 ， 1] = 0$ 的根；

(2)、若关于 $x$ 的方程 $[x^{2} + 1 ， x] \oplus [1 - 2 k ， k] = 0$ 有两个实数根，求 $k$ 的取值范围．

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21. 如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，直线 $A B$ ： $y = x - 4$ 与反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图象交于 $A$ 、 $B$ 两点，与 $x$ 轴相交于点 $C$ ，已知点 $A$ ， $B$ 的坐标分别为 $(6 n ， 2 n)$ 和 $(m ， - 6)$ ．

(1)、求反比例函数的解析式；

(2)、直接写出不等式 $x - 4 > \frac{k}{x}$ 的解集；

(3)、点 $P$ 为反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 图象上任意一点，若 $S_{△ P O C} = 2 S_{△ A O C}$ ，求点 $P$ 的坐标．

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22. 在国家积极政策的鼓励下，环保意识日渐深入人心，新能源汽车的市场需求逐年上升．

(1)、某汽车企业2020年到2022年这两年新能源汽车的销售总量增长了96%．求该汽车企业这两年新能源汽车销售总量的平均年增长率；

(2)、某汽车企业下属的一个专卖店经销一款进价为15万元/辆的新能源汽车，经销一段时间后发现：当该款汽车售价定为25万元/辆时，平均每周售出8辆；售价每降低0.5万元，平均每周多售出1辆．若该店计划下调售价使平均每周的销售利润为96万元，并且尽量让利于顾客，求下调后每辆汽车的售价．

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23. 如图，在河流两边有甲、乙两座山，现在从甲山 $A$ 处的位置向乙山 $B$ 处拉电线.已知甲山上 $A$ 点到河边 $C$ 的距离 $A C = 130$ 米，点 $A$ 到 $C D$ 的垂直高度为120米；乙山 $B D$ 的坡比为 $4 ： 3$ ，乙山上 $B$ 点到河边 $D$ 的距离 $B D = 450$ 米，从 $B$ 处看 $A$ 处的俯角为25°（参考值： $s i n 25 ° \approx 0.423$ ， $c o s 25 ° \approx 0.906$ ， $t a n 25 ° \approx 0.466$ ）

(1)、求乙山 $B$ 处到河边 $C D$ 的垂直距离；

(2)、求河 $C D$ 的宽度.（结果保留整数）

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24. 如图
图1 图2

(1)、[基础巩固]如图1，正方形 $A B C D$ 和正方形 $B H G F$ ，其中 $D$ ， $G$ ， $F$ 三点共线，延长 $B G$ 交 $C D$ 于 $E$ ，连结 $A H$ ．
①求证： $△ E D G ∽ △ E B D$ ；
②不难证明： $△ B H A ∽ △ B G D$ ，因此 $\frac{D G}{A H}$ 的值为 ▲ ；

(2)、[尝试应用]在（1）的条件下，如图1，若 $C E = 1$ ， $D E = 3$ ，求正方形 $B H G F$ 的边长；

(3)、[拓展提高]如图2，正方形 $A B C D$ 和正方形 $B H G F$ ， $P$ 是 $A B$ 中点，连结 $C P$ ， $F$ 恰在 $C P$ 上，连结 $D G$ ， $A G$ ，若 $A B = 4$ ，求 $A G$ 的最小值．

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25. 如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，直线 $l ： y = \frac{3}{4} x + b$ 与 $x$ 轴、 $y$ 轴分别交于点 $A$ 、 $B$ ，与双曲线 $H ： y = \frac{k}{x}$ 交于点 $P (2 ， \frac{9}{2})$ ，直线 $x = m$ 分别与直线和双曲线 $H$ 交于点 $E$ 、 $D$ ．

(1)、求 $k$ 和 $b$ 的值；

(2)、当点 $E$ 在线段 $A B$ 上时，如果 $E D = B O$ ，求 $m$ 的值；

(3)、点 $C$ 是 $y$ 轴上一点，如果四边形 $B C D E$ 是菱形，求点 $C$ 的坐标．

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组别	拓展课	频数	频率
$A$	趣味数学	$a$	0.20
$B$	国际象棋	52
$C$	手工	48	$b$
$D$	书法	42
$E$	其他		0.09