湖南省娄底市2023-2024学年八年级上学期期末数学试题

试卷更新日期：2024-02-22 类型：期末考试

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一、选择题（本大题共12道小题，共36分）

1. 3的算术平方根是（）

A、3 B、 $- \sqrt{3}$ C、 $\sqrt{3}$ D、9

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2. 下列运算中，正确的是（）

A、 $3 a^{2} - a^{2} = 2$ B、 ${(2 a^{2})}^{2} = 2 a^{4}$ C、 $a^{6} \div a^{3} = a^{2}$ D、 $a^{3} \cdot a^{2} = a^{5}$

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3. 下列各式中，是分式的是（）

A、 $\frac{2}{π}$ B、 $\frac{3}{x - 1}$ C、 $\frac{b}{3}$ D、 $\frac{y}{2} + 1$

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4. 分式 $\frac{x + 5}{x - 2}$ 的值是零，则 $x$ 的值为（）

A、5 B、 $- 5$ C、 $- 2$ D、2

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5. 已知某新型感冒病毒的直径约为0.000000823米，将0.000000823用科学记数法表示为（）

A、8.23×10^﹣⁶ B、8.23×10^﹣⁷ C、8.23×10⁶ D、8.23×10⁷

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6. 已知 $a > b$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $- 2 a > - 2 b$ B、 $a + c > b + c$ C、 $3 a < 3 b$ D、 $a c > b c$

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7. 等腰三角形的周长为 $12 c m$ ，其中一边长为 $3 c m$ ，则该等腰三角形的底边长为（）

A、 $3 c m$ B、 $4.5 c m$ C、 $5 c m$ D、 $6 c m$

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8. 如果将分式 $\frac{a}{a + b}$ 中的a、b都扩大2倍，那么分式的值（）

A、不变 B、扩大2倍 C、缩小2倍 D、扩大4倍

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9. 如图，数轴上表示的是下列哪个不等式组的解集（　　）

A、 ${\begin{array}{l} x \geq - 5 \\ x > - 3 \end{array}$ B、 ${\begin{array}{l} x > - 5 \\ x \geq - 3 \end{array}$ C、 ${\begin{array}{l} x < - 5 \\ x < - 3 \end{array}$ D、 ${\begin{array}{l} x < - 5 \\ x > - 3 \end{array}$

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10. 不一定在三角形内部的线段是（　　）

A、三角形的角平分线 B、三角形的中线 C、三角形的高 D、三角形的高和中线

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11. 已知 $y = \sqrt{x - 1} + \sqrt{1 - x} + x - 2$ ，则 $\sqrt{10 x + y}$ 的值为（）

A、5 B、3 C、 $- 3$ D、 $- 5$

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12. 若关于 $x$ 的分式方程 $\frac{m}{x - 3} = \frac{1 - x}{3 - x} - 2$ 有增根，则实数 $m$ 的值是（）

A、 $2$ B、 $- 2$ C、 $1$ D、 $0$

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二、填空题（本大题共6道小题，共18分）

13. 比较大小： $6 \sqrt{3}$ $7 \sqrt{2}$ ．

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14. 将“平行于同一条直线的两条直线平行”改写成“如果……那么……”的形式为.

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15. 如图，已知△ABC≌△ADE ， ∠B＝25°，∠E＝98°，∠EAB＝20°，则∠BAD的度数为．

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16. 如图，Rt△ABC中，∠C=100°，∠B=30°，分别以点A和点B为圆心，大于 $\frac{1}{2}$ AB的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点，作直线MN ，交BC于点D ，连接AD ，则∠CAD的度数是．

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17. 如图，已知 $△ A B C$ 是等边三角形， $A B = 6$ ， $B D ⊥ A C$ ，延长 $B C$ 到点 $E$ ，使 $C E = C D$ ，则 $B E$ 的长为．

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18. 在 $R t △ A B C$ 中， $A B$ 和 $A C$ 是它的两条直角边， $∠ A B C$ 的平分线 $B D$ 与 $△ A B C$ 的外角平分线 $C D$ 交于点D ，则 $∠ D =$

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三、解答题（共66分，19、20题各6分；21、22题各8分；23、24题各9分；25、26题各10分）

19. 解方程： $\frac{x}{x - 2} - 1 = \frac{3}{x (x - 2)}$ ．

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20. 解不等式组 ${\begin{array}{l} 4 (x + 1) \leq 7 x + 7 \\ \frac{x - 1}{2} - \frac{x - 4}{4} < 1 \end{array}$ ，并把所有的整数解写出来．

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21. 计算：

(1)、 $(π - \sqrt{2})^{0} - {(\frac{1}{2})}^{- 2} + \sqrt[3]{- 8} - | 1 - \sqrt{2} |$ ；

(2)、 $(3 + 2 \sqrt{2}) (3 - 2 \sqrt{2}) - \sqrt{54} \div \sqrt{6}$

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22. 先化简，再求值： $(\frac{x^{2} - 4}{x^{2} - 4 x + 4} - \frac{1}{x - 2}) \cdot \frac{x^{2} - 2 x}{x + 1}$ ，其中x=5.

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23. 为支援贫困山区，某学校爱心活动小组准备用筹集的资金购买A、B两种型号的学习用品．已知B型学习用品的单价比A型学习用品的单价多10元，用180元购买B型学习用品与用120元购买A型学习用品的件数相同．

(1)、求A，B两种学习用品的单价各是多少元；

(2)、若购买A、B两种学习用品共100件，且总费用不超过2800元，则最多购买B型学习用品多少件？

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24. 已知：如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ，过点C作 $C D ⊥ A B$ ，垂足为D．在射线 $C D$ 上截取 $C E = C A$ ，过点E作 $E F ⊥ C E$ ，交 $C B$ 的延长线于点F．

(1)、求证： $△ A B C ≌ △ C F E$ ；

(2)、若 $A B = 9$ ， $E F = 4$ ，求 $B F$ 的长．

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25. 阅读材料，回答问题：
观察下列各式

$\sqrt{1 + \frac{1}{1^{2}} + \frac{1}{2^{2}}} =$ 1 $+ \frac{1}{1} - \frac{1}{2} =$ 1 $\frac{1}{2}$ ；

$\sqrt{1 + \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{3^{2}}} = 1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = 1 \frac{1}{6}$ ；

$\sqrt{1 + \frac{1}{3^{2}} + \frac{1}{4^{2}}} = 1 + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} = 1 \frac{1}{12}$ ．

请你根据以上三个等式提供的信息解答下列问题：

(1)、猜想： $\sqrt{1 + \frac{1}{7^{2}} + \frac{1}{8^{2}}} =$ ＝；

(2)、归纳：根据你的观察、猜想，写出一个用n（n为正整数）表示的等式：；

(3)、应用：用上述规律计算 $\sqrt{1 + \frac{1}{1^{2}} + \frac{1}{2^{2}}} + \sqrt{1 + \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{3^{2}}} + \sqrt{1 + \frac{1}{3^{2}} + \frac{1}{4^{2}}} + ... + \sqrt{1 + \frac{1}{9^{2}} + \frac{1}{10^{2}}}$ ．

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26. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = B C = A C = 12 c m$ ，现有两点 $M$ 、 $N$ 分别从点 $A$ 、点 $B$ 同时出发，按箭头方向沿三角形的边运动，已知点 $M$ 的速度为1cm/s，点 $N$ 的速度为2cm/s．当点 $N$ 第一次到达 $B$ 点时，点 $M$ 、 $N$ 同时停止运动．请解答下列问题：

(1)、点 $M$ 、 $N$ 运动几秒后， $M$ 、 $N$ 两点重合？

(2)、点 $M$ 、 $N$ 运动几秒后， $△ A M N$ 为等边三角形？

(3)、当点 $M$ 、 $N$ 在 $B C$ 边上运动时，是否存在以 $M N$ 为底边的等腰 $△ A M N$ ？若存在，请求出此时 $M$ 、 $N$ 运动的时间；若不存在，请说明理由．

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