云南省昆明市盘龙区2023-2024学年八年级上学期期末数学试题

试卷更新日期：2024-02-22 类型：期末考试

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一、选择题（本大题共15个小题，每小题只有一个正确选项，每小题2分，满分30分）

1. 我们生活在一个充满对称的世界中，许多建筑都具有对称性，艺术作品的创作也从对称角度考虑，自然界的许多动植物也具有对称性，中国的方块字中有些也具有对称性，对称给我们带来美的感受！这是生活之美，也是数学之美！下列现实世界中的“回收”、“节水”、“绿色食品”、“低碳”四个标志图案，是轴对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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2. 我国建造的港珠澳大桥全长55公里，集桥、岛、隧于一体，是世界最长的跨海大桥．如图，这是港珠澳大桥的斜拉索，它能拉住桥面，并将桥面向下的力通过钢索传给索塔，确保桥面的稳定性和安全性．那么港珠澳大桥斜拉索建设运用的数学原理是（）

A、三角形的不稳定性 B、三角形的稳定性 C、四边形的不稳定性 D、四边形的稳定性

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3. “白日不到处，青春恰自来．苔花如米小，也学牡丹开．”这是清朝袁枚所写五言绝句《苔》，这首咏物诗启示我们身处逆境也要努力绽放自己，要和苔花一样尽自己所能实现人生价值．苔花也被称为“坚韧之花”．袁枚所写的“苔花”很可能是苔类孢子体的苍蒴，某孢子体的苍蒴直径约为 $0.0000084 m$ ，将数据0.0000084用科学记数法表示为 $8.4 \times 1 0^{n}$ ，则的值是（）

A、6 B、 $- 7$ C、 $- 5$ D、 $- 6$

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4. 在平面直角坐标系中，点 $P (7 ， - 3)$ 关于 $y$ 轴对称的点的坐标是（）

A、 $(- 7 ， - 3)$ B、 $(7 ， - 3)$ C、 $(- 7 ， 3)$ D、 $(7 ， 3)$

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5. 下列运算正确的是（）

A、 ${(- a b)}^{3} = a^{3} b^{3}$ B、 $a^{3} \cdot a^{4} = a^{7}$ C、 ${(a^{3})}^{2} = a^{5}$ D、 $a^{6} \div a^{2} = a^{3}$

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6. 下列各式由左到右的变形中，属于因式分解的是（）

A、 $x^{2} - x = x (x - 1)$ B、 $a (m + n) = a m + a n$ C、 ${(a + b)}^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$ D、 $x^{2} - 16 + 6 x = (x + 4) (x - 4) + 6 x$

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7. 如图， $C D$ ， $C E$ ， $C F$ 分别是 $△ A B C$ 的高、角平分线、中线，则下列结论错误的是（）

A、 $S_{△ A C F} = S_{△ B C F}$ B、 $∠ A C E = \frac{1}{2} ∠ A C B$ C、 $A B = 2 B E$ D、 $C D ⊥ B E$

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8. 如图，一副三角板拼成如图所示图形，则 $∠ B A C$ 的度数为（）

A、120° B、60° C、105° D、75°

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9. 下列各图中，OP 是∠MON 的平分线，点E，F，G 分别在射线OM，ON，OP 上，则可以解释定理“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”的图形是（）

A、 B、 C、 D、

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10. 分式 $\frac{| x | - 4}{x - 4}$ 的值为0，则的值是（）

A、0 B、 $- 4$ C、4 D、 $- 4$ 或4

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11. 如图，一块三角形的玻璃被打碎成三块，小云同学现要配一块与原来形状完全相同的玻璃，则（）

A、只带①去 B、只带③去 C、只带②去 D、带②和③去

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12. 我国著名院士袁隆平被誉为“杂交水稻之父”，他在杂交水稻事业方面取得了巨大成就．某水稻研究基地统计，杂交水稻的亩产量比传统水稻的亩产量多400公斤，总产量同为3000公斤的杂交水稻种植面积比传统水稻种植面积少2亩．若设传统水稻亩产量为公斤，则下列方程正确的是（）

A、 $\frac{3000}{x + 400} = \frac{3000}{x} + 2$ B、 $\frac{3000}{x + 400} = \frac{3000}{x} - 2$ C、 $\frac{3000}{x + 2} = \frac{3000}{x} - 400$ D、 $\frac{3000}{x + 2} = \frac{3000}{x} + 400$

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13. 如图，用不同的代数式表示图中阴影部分的面积，可得等式（）

A、 ${(a + b)}^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$ B、 ${(a - b)}^{2} = a^{2} + 2 a b - b^{2}$ C、 $(a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}$ D、 ${(a - b)}^{2} = a^{2} - 2 a b + b^{2}$

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14. 如图，点 $C$ ， $A$ 在 $∠ B O P$ 的边 $O P$ 上．小龙同学现进行如下操作：
①以点 $O$ 为圆心， $O C$ 长为半径画弧，交 $O B$ 于点 $D$ ，连接 $C D$ ；②以点 $A$ 为圆心， $O C$ 长为半径画弧，交 $O A$ 于点 $M$ ；③以点 $M$ 为圆心， $C D$ 长为半径画弧，交②中所画的弧于点 $E$ ，作射线 $A E$ ，连接 $M E$ ．根据上述操作，不成立的结论是（）

A、 $O D = A E$ B、 $∠ D O C = ∠ E A M$ C、 $O C = M C$ D、 $O B ∥ A E$

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15. 如图，在 $△ A B C$ 中， $D E$ 垂直平分 $A B$ ，分别交 $A B$ 、 $B C$ 于点 $D$ 、 $E$ ， $A E$ 平分 $∠ B A C$ ， $∠ B = 30 °$ ， $D E = 2$ ，则 $B C$ 的长为（）

A、 $2 \sqrt{3} + 2$ B、 $4 \sqrt{3}$ C、4 D、6

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二、填空题（本大题共4小题，每小题2分，满分8分）

16. 若一个正边形每一个外角都是60°，则 $n =$ ．

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17. 若等腰三角形的两边长分别为2和5，则这个等腰三角形的周长为．

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18. 分解因式： $m n^{2} - 9 m =$ ．

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19. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C = 12$ 厘米， $B C = 8$ 厘米，点 $D$ 为 $A B$ 的中点．如果点 $P$ 在线段 $B C$ 上以2厘米/秒的速度由 $B$ 点向 $C$ 点运动，同时，点 $Q$ 在线段 $C A$ 上由 $C$ 点向 $A$ 点运动．若点 $Q$ 的运动速度为v厘米/秒，则当 $△ B P D$ 与 $△ C Q P$ 全等时，v的值为．

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三、解答题（本大题共8个小题，满分62分．解答时必须写出必要的计算过程、推理步骤或文字说明．）

20. 解方程： $\frac{1 - x}{3 - x} - \frac{2}{x - 3} = 2$ ．

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21. 先化简 $\frac{x^{2} - 1}{x^{2} + 2 x + 1} \div (1 - \frac{1}{x})$ ，然后从 $- 1$ ， 0，1，2四个数中选择一个你认为合适的数作为的值代入求值．

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22. 如图， $A B ⊥ B C$ 于点 $B$ ， $A D ⊥ D C$ 于点 $D$ ， $B C = D C$ ．
求证： $∠ 1 = ∠ 2$ ．

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23. 计算：

(1)、 ${(π + 2024 - \sqrt{7})}^{0} + {(\frac{1}{3})}^{- 2}$ ；

(2)、 $[{(x - y)}^{2} + (x + y) (x - y)] \div 2 x$ ．

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24. 如图，在平面直角坐标系中， $△ A B C$ 的三个顶点的坐标分别为 $A (- 3 ， 4)$ ， $B (- 4 ， 1)$ ， $C (- 1 ， 2)$ ．

(1)、请画出 $△ A B C$ 关于轴的对称图形 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ，并写出点 $A_{1}$ 的坐标是 ▲ ；

(2)、在 $y$ 轴上找一点 $P$ ，使得 $△ A P C$ 周长最小，请画出 $△ A P C$ ；

(3)、若 $△ C B M$ 是以 $B M$ 为底边的等腰三角形，且点 $M$ 在 $y$ 轴上，则点 $M$ 的坐标是．

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25. “畅通交通，扮靓城市”，某市在道路提升改造中，将一段长度为720米的道路进行重新改造．为了尽快通车，某施工队在实际施工时，实际每天改造的长度是原计划每天改造长度的2倍，结果提前3天成功地完成了该段道路的改造任务，那么该施工队原计划每天改造多少米？

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26. 教科书中这样写道：“形如 $a^{2} \pm 2 a b + b^{2}$ 的式子称为完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．
配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值、最小值等问题．
例如：分解因式： $x^{2} + 2 x - 3$
解：原式 $= (x^{2} + 2 x + 1) - 1 - 3 = {(x + 1)}^{2} - 4 = (x + 1 + 2) (x + 1 - 2) = (x + 3) (x - 1)$
再如：求代数式 $x^{2} + 2 x - 3$ 的最小值．
解：原式 $= (x^{2} + 2 x + 1) - 1 - 3 = {(x + 1)}^{2} - 4$
又 $∵ {(x + 1)}^{2}$ 是一个非负数，
$∴ {(x + 1)}^{2} \geq 0$ ．
$∴ {(x + 1)}^{2} - 4 \geq - 4$ ．
可知当 $x = - 1$ 时， $x^{2} + 2 x - 3$ 有最小值，最小值是 $- 4$ ．
根据阅读材料，用配方法解决下列问题：

(1)、分解因式： $x^{2} - 4 x - 5 =$ ；（直接写出结果）
当 $x =$ 时，多项式 $x^{2} - 4 x - 5$ 有最小值，这个最小值是；

(2)、利用配方法，已知，为 $△ A B C$ 的三条边， $a^{2} + 5 b^{2} + c^{2} - 4 a b - 6 b - 10 c + 34 = 0$ ，求 $△ A B C$ 的周长．

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27. 如图

(1)、如图1，在 $△ A B C$ 中， $∠ B A C = 90 °$ ， $A B = A C$ ，直线 $m$ 经过点 $A$ ， $B D ⊥$ 直线 $m$ ， $C E ⊥$ 直线 $m$ ，垂足分别为点 $D$ 、 $E$ ．求证： $D E = B D + C E$ ；

(2)、如图2，将（1）中的条件改为：在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $D$ 、 $A$ 、 $E$ 三点都在直线 $m$ 上，并且有 $∠ B D A = ∠ A E C = ∠ B A C = α$ ，其中 $α$ 为任意锐角或钝角．结论 $D E = B D + C E$ 是否仍然成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由；

(3)、如图3， $D$ 、 $E$ 是 $D$ 、 $A$ 、 $E$ 三点所在直线 $m$ 上的两动点（ $D$ 、 $A$ 、 $E$ 三点互不重合），点 $F$ 为 $∠ B A C$ 平分线上的一点，且 $△ A B F$ 和 $△ A C F$ 均为等边三角形，连接 $B D$ 、 $C E$ ，若 $∠ B D A = ∠ A E C = ∠ B A C$ ，试判断 $△ D E F$ 的形状，并说明理由．

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