云南省曲靖市2023-2024学年九年级上学期期末数学试题

试卷更新日期：2024-02-22 类型：期末考试

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一、选择题（本大题共12个小题，每小题只有一个正确选项，每小题3分，共36分）

1. 下列方程中是一元二次方程的是（）

A、 $x^{2} - \frac{1}{x} - 2 = 0$ B、 $x^{2} - 2 x y + y^{2} = 0$ C、 ${(x - 3)}^{2} = 0$ D、 $x^{2} = x^{2} - 5 x + 6$

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2. 二次函数 $y = - \frac{1}{2} {(x + 2)}^{2} + 3$ 的顶点坐标是（）

A、 $(2 ， 3)$ B、 $(- 2 ， 3)$ C、 $(2 ， - 3)$ D、 $(- 2 ， - 3)$

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3. 下列语句所描述的事件是随机事件的是（）

A、明天曲靖会下雨 B、早晨的太阳从东方升起 C、抛出的石子会下落 D、有一名运动员奔跑的速度是 $50 m / s$

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4. 下列关于数字变换的图案中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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5. 将二次函数 $y = x^{2} - 1$ 的图象向左平移2个单位长度，再向下平移5个单位长度得到的二次函数解析式是（）

A、 $y = {(x - 2)}^{2} - 6$ B、 $y = {(x - 2)}^{2} + 4$ C、 $y = {(x + 2)}^{2} + 4$ D、 $y = {(x + 2)}^{2} - 6$

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6. 点 $M (a ， 5)$ 与点 $N (- 3 ， b)$ 关于原点对称，则点 $(a ， b)$ 所在的象限是（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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7. 初三毕业之际，在毕业晚会上同学们互赠照片以表留念，每人给其他同学送一张照片，一共送出110张照片，设晚会上有x人，则可列方程为（）

A、 $x (x + 1)$ B、 $\frac{1}{2} x (x - 1) = 110$ C、 $x (x - 1) = 110$ D、 $\frac{1}{2} x (x + 1) = 110$

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8. 已知二次函数 $y = x^{2} - 2 x - 1$ 的图象上有两点 $(- 1 ， y_{1})$ ， $(3 ， y_{2})$ ，则与 $y_{1}$ 的 $y_{2}$ 大小关系正确的是（）

A、 $y_{1} = y_{2}$ B、 $y_{1} > y_{2}$ C、 $y_{1} < y_{2}$ D、无法确定

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9. 如图， $A C$ ， $B C$ 为 $⊙ O$ 的两条弦，连接 $O A$ ， $O B$ ， $A B$ ，若 $∠ C = 45 °$ ，则 $△ A O B$ 是（）

A、等腰三角形 B、等腰直角三角形 C、直角三角形 D、等边三角形

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10. 按一定规律排列的单项式： $1 ， \frac{1}{2} a^{2} ， \frac{1}{4} a^{4} ， \frac{1}{8} a^{6} ， \frac{1}{16} a^{8} \dots \dots$ 则第 n 个单项式是（）

A、 ${(\frac{1}{2})}^{n - 1} a^{2 (n - 1)}$ B、 ${(\frac{1}{2})}^{2 n} a^{2 n}$ C、 ${(\frac{1}{2})}^{n - 1} a^{2 n}$ D、 ${(\frac{1}{2})}^{n} a^{2 (n - 1)}$

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11. 如图抛物线 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 的对称轴是直线 $x = 1$ 下列说法正确的是（）

A、 $a b c > 0$ B、 $b^{2} - 4 a c < 0$ C、 $2 a + b = 0$ D、 $a m^{2} + b m > a + b$ （m为任意实数）

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12. 如图，四边形 $A B C D$ 内接于 $⊙ O$ ， F是 $\overset{⏜}{C D}$ 上一点，且 $\overset{⏜}{D F} = \overset{⏜}{B C}$ ，连接 $C F$ 并延长交的延长线于点E，连接 $A C$ ，若 $∠ A B C = 105 ° ， ∠ B A C = 25 °$ ，则 $∠ E$ 的度数为（）

A、 $45 °$ B、 $50 °$ C、 $55 °$ D、 $60 °$

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二、填空题（本大题共4个小题，每个小题2分，共8分）

13. ﹣2的倒数是．

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14. 一个菱形绕它的两条对角线的交点旋转，使它和原来的菱形重合，那么旋转的角度至少是．

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15. 二次函数 $y = a x^{2} + b x + a^{2} - 9$ 的顶点坐标为 $(0 ， 0)$ ，且开口向上，则 $a + b$ 的值为．

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16. 如图在平面直角坐标系 $x O y$ 中点A在x轴负半轴上，点B在y轴正半轴，以 $A B$ 为直径的 $⊙ D$ 经过点O，连接 $O D$ ，过点D作 $D E ⊥ A O$ 于点E，若 $∠ A D O = 120 °$ ， $A B = 4$ ，则圆心点D的坐标是．

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三、解答题（本大题共8个小题，共56分）

17. 计算： $- 1^{2} + {(\frac{1}{2})}^{- 1} + \sqrt{4} - | - 5 |$

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18. 用适当的方法解下列方程

(1)、 $x (x - 4) + x - 4 ＝ 0$

(2)、 $3 x^{2} - 2 x - 1 = 0$

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19. 已知抛物线 $y = x^{2} + (2 k + 1) x + k^{2} - 1$ 的图象与坐标轴有3个交点

(1)、求k的取值范围

(2)、若抛物线的图象经过点 $(1 ， 1)$ ，求k值．

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20. 为了调动学生的积极性，班内组织开展“数学小老师”讲题比赛，下面是四张背面看上去无差别的卡片A，B， C， D每张卡片的正面是四位“数学小老师”利用判别式判断一元二次方程根的情况的解题过程（如图）把四张卡片背面朝上放在桌子上．

(1)、随机抽取一张卡片，卡片上的一元二次方程有两个不相等的实数根的概率是

(2)、从四张卡片中随机抽取一张卡片后不放回，在随机抽取一张，用画树状图或列表法的方法求出抽取的两张卡片上的一元二次方程都有实数根的概率．

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21. 如图，已知 $△ A B C$ 是等边三角形， $A B = 8$ ，点D是 $A C$ 的中点，把 $△ A B D$ 绕点B顺时针旋转 $60 °$ 得到 $△ B C E$ ，点D的对应点是点E，连接 $D E$ ．

(1)、试判断 $△ B D E$ 的形状，并说明理由；

(2)、求点D运动的路径 $\overset{⌢}{D E}$ 与 $C D ， C E$ 围成的面积（阴影部分的面积）

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22. 某商场销售一批衫每件成本为30元，销售人员经调查发现销售单价为 80元时，每月的销售量为40件，而销售单价每降低1元，则每月可多售出5件，且要求销售单价不得低于成本

(1)、求该衫每月的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的数关系式；（不需要写出x取值范围）

(2)、商场的销售人员发现：当该衬衫每月销售量超过某一数量时，会出现所获利润反而减小的情况请你测算一下，该商场如何定价，可使每月利润最大？

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23. 如图， $B E$ 是 $⊙ O$ 的直径，点C为 $⊙ O$ 外一点，过点 C作 $C D ⊥ B E$ 于点D，交 $⊙ O$ 于点F，连接 $B C$ ，与 $⊙ O$ 相交于点A，点P为线段 $F C$ 上一点，且 $A P = C P$

(1)、求证： $A P$ 为 $⊙ O$ 的切线；

(2)、若点F为 $\overset{⌢}{A E}$ 的中点， $⊙ O$ 的半径为5， $A B = 6$ ，求 $D E$ 的长．

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24. 在学习二次函数与一元二次方程时，从二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 图象可得如下结论．
如果抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ 与x轴有公共点的横坐标是 $x_{0}$ ，那么当x＝ $x_{0}$ 时，函数值是0，因此 $x = x_{0}$ 是方程 $y = a x^{2} + b x + c$ 的一个根．
同学们，请你结合所学的数学知识解决下列问题

(1)、若二次函数 $y = x^{2} + (m - 3) x + 1 - 2 m$ （m为常数）与x轴两交点的横坐标为 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{1} + x_{2} = 4$ ，求二次函数的解析式；

(2)、不论 m为何值，该函数的图象都会经过一个定点，求定点的坐标；

(3)、在（1）的条件下，当 $x = n$ ， $q$ 时，对应的函数值为N，Q，若 $| n - q | = 3$ 求证： $2 （ N ＋ Q ） \geq 5$

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