【北师大版·数学】2024年中考二轮复习之锐角三角函数的综合题

试卷更新日期：2024-02-21 类型：二轮复习

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一、选择题

1. 如图所示，有一天桥高 $A B$ 为5米， $B C$ 是通向天桥的斜坡， $∠ A C B = 45 °$ ，市政部门启动“陡改缓”工程，决定将斜坡的底端C延伸到D处，使 $∠ D = 30 °$ ，则 $C D$ 的长度约为（参考数据： $\sqrt{2} \approx 1.414 ， \sqrt{3} \approx 1.732$ ）（）

A、 $1.59$ 米 B、 $2.07$ 米 C、 $3.55$ 米 D、 $3.66$ 米

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2. 小杰在一个高为 $h$ 的建筑物顶端，测得一根高出此建筑物的旗杆顶端的仰角为 $30 °$ ，旗杆与地面接触点的俯角为 $60 °$ ，那么该旗杆的高度是（）

A、 $\frac{2}{3} h$ B、 $\frac{4}{5} h$ C、 $\frac{4}{3} h$ D、 $\frac{5}{4} h$

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3. 如图，在某监测点B处望见一艘正在作业的渔船在南偏西 $15 °$ 方向的A处，若渔船沿北偏西 $75 °$ 方向以60海里/小时的速度航行，航行半小时后到达C处，在C处观测到B在C的北偏东 $60 °$ 方向上，则B、C之间的距离为（）

A、15海里 B、30海里 C、 $30 \sqrt{2}$ 海里 D、 $30 \sqrt{3}$ 海里

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4. 一配电房示意图如图所示，它是一个轴对称图形.已知BC=6m.∠ABC=α.则房顶A离地面EF的高度为（）

A、 $(4 + 3 \sin α) m$ B、 $(4 + 3 \tan α) m$ C、 $(4 + \frac{3}{\sin α}) m$ D、 $(4 + \frac{3}{\tan α}) m$

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5. 在 $△ A B C$ 中， $∠ B = 60 °$ ， $A B = 4$ ，若 $△ A B C$ 是锐角三角形，则满足条件的 $B C$ 长可以是（）

A、1 B、2 C、6 D、8

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6. 如图，矩形 $A B C D$ 的对角线 $A C ， B D$ 相交于点 $O$ ．若 $∠ A O B = 60 °$ ，则 $\frac{A B}{B C} =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3} - 1}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$

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7. 如图，某商场有一自动扶梯，其倾斜角为 $28 °$ ，高为7米．用计算器求 $A B$ 的长，下列按键顺序正确的是（　　）

A、 B、 C、 D、

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8. 已知“ $α$ 为锐角时， $s i n α$ 随着 $α$ 的增大而增大”，则 $s i n 37 °$ 的值更靠近（）

A、 $\frac{2}{5}$ B、 $\frac{3}{5}$ C、 $\frac{4}{5}$ D、 $\frac{5}{6}$

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9. 如图，在网格中小正方形的边长均为1，△ABC的顶点都在格点上，则 $s i n ∠ A B C$ 等于（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ C、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ D、 $\frac{\sqrt{10}}{2}$

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10. 如图，已知在矩形ABCD中，M是AD边的中点，BM与AC垂直，交直线AC于点N，连接DN，则下列四个结论中：①CN＝2AN；②DN＝DC；③tan∠CAD＝ $\sqrt{2}$ ；④△AMN∽△CAB.正确的有（）

A、①②③④ B、①②③ C、①②④ D、②③④

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二、填空题

11. 菱形 $A B C D$ 的边长为2， $∠ A B C = 45 °$ ，点 $P$ 、 $Q$ 分别是 $B C$ 、 $B D$ 上的动点， $C Q + P Q$ 的最小值为.

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12. 若 $0 ° < α < 45 °$ ，且 $s i n 2 α = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ，则 $α =$ 度．

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13. 如图，在△ABC中，BC＝ $\sqrt{6} + \sqrt{2}$ ，∠C＝45°，AB＝ $\sqrt{2}$ AC，则AC的长为.

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14. 某数学活动小组要测量一建筑物的高度，如图，他们在建筑物前的平地上选择一点 $A$ ，在点 $A$ 和建筑物之间选择一点 $B$ ，测得 $A B = 30 m$ ．用高 $1 m (A C = 1 m)$ 的测角仪在 $A$ 处测得建筑物顶部 $E$ 的仰角为 $30 °$ ，在 $B$ 处测得仰角为 $60 °$ ，则该建筑物的高是 $m$ ．

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15. 2023年岳阳举办以“跃马江湖”为主题的马拉松赛事．如图，某校数学兴趣小组在 $A$ 处用仪器测得赛场一宣传气球顶部 $E$ 处的仰角为 $21.8 °$ ，仪器与气球的水平距离 $B C$ 为20米，且距地面高度 $A B$ 为1.5米，则气球顶部离地面的高度 $E C$ 是米（结果精确到0.1米， $s i n 21.8 ° \approx 0.3714 ， c o s 21.8 ° \approx 0.9285 ， t a n 21.8 ° \approx 0.4000$ ）．

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三、计算题

16. 先化简，再求值： $(1 - \frac{2}{m + 1}) \div \frac{m^{2} - 2 m + 1}{m^{2} - m}$ ，其中 $m = t a n 60 ° - 1$ ．

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四、解答题

17. 为建设美好公园社区，增强民众生活幸福感，某社区服务中心在文化活动室墙外安装遮阳篷，便于社区居民休憩.
如图，在侧面示意图中，遮阳篷AB长为5米，与水平面的夹角为16°，且靠墙端离地高BC为4米，当太阳光线AD与地面CE的夹角为45°时，求阴影CD的长.（结果精确到0.1米；参考数据： $s i n 16 ° ≈ 0.28$ ， $c o s 16 ° ≈ 0.96$ ， $t a n 16 ° ≈ 0.29$ ）

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五、作图题

18. 如图，在 $▱ A B C D$ 中， $∠ D A B = 30 °$ ．

(1)、实践与操作：用尺规作图法过点 $D$ 作 $A B$ 边上的高 $D E$ ；(保留作图痕迹，不要求写作法)

(2)、应用与计算：在（1）的条件下， $A D = 4$ ， $A B = 6$ ，求 $B E$ 的长．

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六、综合题

19. 如图， $A C$ 是菱形 $A B C D$ 的对角线．

(1)、尺规作图：将 $△ A B C$ 绕点 $A$ 逆时针旋转得到 $△ A D E$ ，点 $B$ 旋转后的对应点为 $D ($ 保留作图痕迹，不写作法 $)$ ；

(2)、在（1）所作的图中，连接 $B D$ ， $C E$ ．

$①$ 求证： $△ A B D$ ∽ $△ A C E$ ；

$②$ 若 $t a n ∠ B A C = \frac{1}{3}$ ，求 $c o s ∠ D C E$ 的值．

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七、实践探究题

20. 【问题背景】由光的反射定律知：反射角等于入射角（如图，即 $∠ C E F = ∠ A E F$ ）．小军测量某建筑物高度的方法如下：在地面点E处平放一面镜子，经调整自己位置后，在点D处恰好通过镜子看到建筑物AB的顶端A ．经测得，小军的眼睛离地面的距离 $C D = 1.7 m$ ， $B E = 20 m$ ， $D E = 2 m$ ，求建筑物AB的高度．

【活动探究】

观察小军的操作后，小明提出了一个测量广告牌高度的做法（如图）：他让小军站在点D处不动，将镜子移动至 $E_{1}$ 处，小军恰好通过镜子看到广告牌顶端G ，测出 $D E_{1} = 2 m$ ；再将镜子移动至 $E_{2}$ 处，恰好通过镜子看到广告牌的底端A ，测出 $D E_{2} = 3.4 m$ ．经测得，小军的眼睛离地面距离 $C D = 1.7 m$ ， $B D = 10 m$ ，求这个广告牌AG的高度．

【应用拓展】

小军和小明讨论后，发现用此方法也可测量出斜坡上信号塔AB的高度．他们给出了如下测量步骤（如图）：①让小军站在斜坡的底端D处不动（小军眼睛离地面距离 $C D = 1.7 m$ ），小明通过移动镜子（镜子平放在坡面上）位置至E处，让小军恰好能看到塔顶B；②测出 $D E = 2.8 m$ ；③测出坡长 $A D = 17 m$ ；④测出坡比为 $8 ： 15$ （即 $t a n ∠ A D G = \frac{8}{15}$ ）．通过他们给出的方案，请你算出信号塔AB的高度（结果保留整数）．

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