【北师大版·数学】2024年中考二轮复习之抛物线的综合题

试卷更新日期：2024-02-21 类型：二轮复习

进入出卷网下载

一、选择题

1. 如图，二次函数 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 图象的一部分与x轴的一个交点坐标为 $(3 ， 0)$ ，对称轴为直线 $x = 1$ ，结合图象给出下列结论：

① $a b c > 0$ ；② $b = 2 a$ ；③ $3 a + c = 0$ ；

④关于x的一元二次方程 $a x^{2} + b x + c + k^{2} = 0 (a \neq 0)$ 有两个不相等的实数根；

⑤若点 $(m ， y_{1})$ ， $(- m + 2 ， y_{2})$ 均在该二次函数图象上，则 $y_{1} = y_{2}$ .其中正确结论的个数是（）

A、4 B、3 C、2 D、1

查看试题解析
2. 已知m＞0，关于x的一元二次方程（x+1）（x﹣2）﹣m＝0的解为x₁ ， x₂（x₁＜x₂），则下列结论正确的是（）

A、x₁＜﹣1＜2＜x₂ B、﹣1＜x₁＜2＜x₂ C、﹣1＜x₁＜x₂＜2 D、x₁＜﹣1＜x₂＜2

查看试题解析
3. 方程x²+3x﹣1＝0的根可视为函数y＝x+3的图象与函数y＝ $\frac{1}{x}$ 的图象交点的横坐标，那么用此方法可推断出方程x³+x﹣1＝0的实根x₀所在的范围是（）

A、 $﹣ 1 < x_{0} < 0$ B、 $0 < x_{0} < \frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{2} < x_{0} < 1$ D、 $1 < x_{0} < 2$

查看试题解析
4. 如图1，矩形 $A B C D$ 中， $A B = \frac{2}{3} B C = 4$ ，点 $P 、 Q$ 分别是 $B C 、 A B$ 上两动点，将 $△ P C D$ 沿着对折得，将沿着 $D P$ 对折得 $Δ P E D$ ，将 $Δ P B Q$ 沿着 $P Q$ 对折，使 $P 、 E 、 F$ 三点在一直线上，设 $B P$ 的长度为x， $A Q$ 的长度为y，在点p的移动过程中，y与x的函数图象如图2，则函数图象最低点的纵坐标为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\frac{3}{2}$ C、 $\frac{7}{4}$ D、 $\frac{2 \sqrt{5}}{3}$

查看试题解析
5. 如图， $A C$ 为矩形 $A B C D$ 的对角线，已知 $A D = 3$ ， $C D = 4$ .点P沿折线 $C - A - D$ 以每秒1个单位长度的速度运动（运动到D点停止），过点P作 $P E ⊥ B C$ 于点E，则 $△ C P E$ 的面积y与点P运动的路程x间的函数图象大致是（）

A、 B、 C、 D、

查看试题解析
6. 某超市一种干果现在的售价是每袋 $30$ 元，每星期可卖出 $100$ 袋，经市场调研发现，如果在一定范围内调整价格，每涨价 $1$ 元，每星期就少卖出 $5$ 袋，已知这种干果的进价为每袋 $20$ 元，设每袋涨价 $x ($ 元 $)$ ，每星期的销售量为 $y ($ 袋 $)$ ，每星期销售这种干果的利润为 $z ($ 元 $) .$ 则 $y$ 与 $x$ ， $z$ 与 $x$ 满足的函数关系分别是（）

A、一次函数，二次函数 B、一次函数，反比例函数
C、反比例函数，二次函数 D、反比例函数，一次函数

查看试题解析
7. 已知二次函数 $y = - x^{2} + b x + c$ 的图象经过点 $(- 1 ， 0)$ ， $(2 ， 3)$ ，在 $a \leq x \leq 5$ 范围内有最大值为 $4$ ，最小值为 $- 12$ ，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $a \leq - 3$ B、 $- 3 \leq a \leq 1$ C、 $1 ≤ a ≤ 5$ D、 $a \geq 5$

查看试题解析
8. 如图．抛物线 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 与x轴交于点 $A (- 3 ， 0)$ 和点 $B (1 ， 0)$ ，与y轴交于点C．下列说法：① $a b c < 0$ ；②抛物线的对称轴为直线 $x = - 1$ ；③当 $- 3 < x < 0$ 时， $a x^{2} + b x + c > 0$ ；④当 $x > 1$ 时，y随x的增大而增大；⑤ $a m^{2} + b m \leq a - b$ （m为任意实数）其中正确的个数是（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

查看试题解析
9. 如图，在 $R t △ A C B$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $C A = C B = 10 .$ 点 $P$ 是 $C B$ 边上一动点 $($ 不与
点 $C$ ， $B$ 重合 $)$ ，过点 $P$ 作 $P Q ⊥ C B$ 交 $A B$ 于点 $Q .$ 设 $C P = x$ ， $B Q$ 的长为 $y$ ， $△ B P Q$
的面积为 $S$ ，则 $y$ 与 $x$ ， $S$ 与 $x$ 满足的函数关系分别为（）

A、一次函数关系，二次函数关系
B、反比例函数关系，二次函数关系
C、一次函数关系，反比例函数关系
D、反比例函数关系，一次函数关系

查看试题解析
10. 设二次函数 $y = a (x - m) (x - m - k) (a > 0 ， m ， k$ 是实数 $)$ ，则（）

A、当 $k = 2$ 时，函数 $y$ 的最小值为 $- a$ B、当 $k = 2$ 时，函数 $y$ 的最小值为 $- 2 a$ C、当 $k = 4$ 时，函数 $y$ 的最小值为 $- a$ D、当 $k = 4$ 时，函数 $y$ 的最小值为 $- 2 a$

查看试题解析

二、填空题

11. 将抛物线 $y = {(x + 3)}^{2}$ 向下平移1个单位长度，再向右平移个单位长度后，得到的新抛物线经过原点．

查看试题解析
12. 如图，已知抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ 与直线 $y = k x + m$ 交于 $A (- 4 ， - 1)$ 、 $B (0 ， 2)$ 两点，则关于 $x$ 的不等式 $a x^{2} + b + c > k x + m$ 的解集是.

查看试题解析
13. 如图1，在 $▱ A B C D$ 中， $∠ B = 60 ° ， B C = 2 A B$ ，动点 $E$ 从点 $A$ 出发，以每秒1个单位的速度沿线段 $A B$ 运动到点 $B$ 停止，同时动点 $F$ 从点 $B$ 出发，以每秒4个单位的速度沿折线 $B - C - D$ 运动到点 $D$ 停止．图2是点 $E ， F$ 运动时， $△ B E F$ 的面积 $S$ 与运动时间 $t$ 函数关系的图象，则 $a$ 的值是．

查看试题解析
14. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为 $(0 ， 2)$ ，点B的坐标为 $(4 ， 2)$ ．若抛物线 $y = - \frac{3}{2} {(x - h)}^{2} + k$ （h、k为常数）与线段 $A B$ 交于C、D两点，且 $C D = \frac{1}{2} A B$ ，则k的值为．

查看试题解析
15. 华罗庚说过：“复杂的问题要善于‘退’，足够地‘退’，‘退’到最原始而不失重要性的地方，是学好数学的一个诀窍．”可见，复杂的问题有时要“退”到本质上去研究．如图，已知抛物线 $y = - x^{2} + 2 x - 1$ 的图象与f的图象关于直线 $y = x$ 对称，我们把探索线的变化规律“退”到探索点的变化规律上去研究，可以得到图象f所对应的关于x与y的关系式为 $x = - y^{2} + 2 y - 1$ ．若抛物线 $y = - x^{2} + 2 x - 1$ 与g的图象关于 $y = - x$ 对称，则图象g所对应的关于x与y的关系式为．

查看试题解析

三、解答题

16. 某服装店经销A，B两种T恤衫，进价和售价如下表所示：

进价（元/件）
45
60
售价（元/件）
66
90

(1)、第一次进货时，服装店用6000元购进A，B两种T恤衫共120件，全部售完获利多少元？

(2)、受市场因素影响，第二次进货时，A种T恤衫进价每件上涨了5元，B种T恤衫进价每件上涨了10元，但两种T恤衫的售价不变．服装店计划购进A，B两种T恤衫共150件，且B种T恤衫的购进量不超过A种T恤衫购进量的2倍．设此次购进A种T恤衫m件，两种T恤衫全部售完可获利W元．
①请求出W与m的函数关系式；
②服装店第二次获利能否超过第一次获利？请说明理由．

查看试题解析
17. 已知抛物线 $y = x^{2} + b x + c$ 交 $x$ 轴于 $C$ ， $D$ 两点，其中点 $C$ 的坐标为 $(- 1 ， 0)$ ，对称轴为 $x = 1 .$ 点 $A$ ， $B$ 为坐标平面内两点，其坐标为 $A (\frac{1}{2} ， - 5)$ ， $B (4 ， - 5)$ ．

(1)、求抛物线的解析式及顶点坐标；

(2)、连接 $A B$ ，若抛物线 $y = x^{2} + b x + c$ 向下平移 $k (k > 0)$ 个单位时，与线段 $A B$ 只有一个公共点，求 $k$ 的取值范围．

查看试题解析
18. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，点 $(x_{1} ， y_{1})$ ， $(x_{2} ， y_{2})$ 都在抛物线 $y = a x^{2} - 2 a x + 8 (a < 0)$ 上，且 $- 1 < x_{1} < 2$ ， $1 - m < x_{2} < m + 7$ ．

(1)、当 $m = - 2$ 时，比较 $y_{1}$ ， $y_{2}$ 的大小关系，并说明理由；

(2)、若存在 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，满足 $y_{1} = y_{2}$ ，求 $m$ 的取值范围．

查看试题解析

四、综合题

19. 如图，直线y＝-x+m与抛物线y＝ax²+bx都经过点A（6，0），点B，过B作BH垂直x轴于H，OA＝3OH．直线OC与抛物线AB段交于点C．

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、当点C的纵坐标是 $\frac{5}{2}$ 时，求直线OC与直线AB的交点D的坐标；

(3)、在（2）的条件下将△OBH沿BA方向平移到△MPN，顶点P始终在线段AB上，求△MPN与△OAC公共部分面积的最大值．

查看试题解析

五、实践探究题

20. 根据以下素材，探索完成任务．

如何设计拱桥景观灯的悬挂方案？
素材1	图1中有一座拱桥，图2是其抛物线形桥拱的示意图，某时测得水面宽 20m ，拱顶离水面 5m ．据调查，该河段水位在此基础上再涨 1.8m 达到最高．
素材2	为迎佳节，拟在图1桥洞前面的桥拱上悬挂 40cm 长的灯笼，如图3．为了安全，灯笼底部距离水面不小于 1m ；为了实效，相邻两盏灯笼悬挂点的水平间距均为 1.6m ；为了美观，要求在符合条件处都挂上灯笼，且挂满后成轴对称分布．
问题解决
任务1	确定桥拱形状	在图2中建立合适的直角坐标系，求抛物线的函数表达式．
任务2	探究悬挂范围	在你所建立的坐标系中，仅在安全的条件下，确定悬挂点的纵坐标的最小值和横坐标的取值范围．
任务3	拟定设计方案	给出一种符合所有悬挂条件的灯笼数量，并根据你所建立的坐标系，求出最左边一盏灯笼悬挂点的横坐标．

查看试题解析


进价（元/件）	45	60
售价（元/件）	66	90