浙江省宁波市七校2023-2024学年八年级（上）培优数学试卷（12月份）

试卷更新日期：2024-02-21 类型：月考试卷

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一、选择题：本题共6小题，每小题8分，共48分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 已知方程组 $\{\begin{array}{l} 3 x + y = 1 + 3 m \\ x + 3 y = 1 - m \end{array}$ 的解满足 $x + y > 0$ ，则 $m$ 取值范围是（）

A、 $m > 1$ B、 $m < - 1$ C、 $m > - 1$ D、 $m < 1$

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2. 将一根长为 $17 c m$ 的铅丝折成三段，再首尾相接围成一个三角形，如果要求围成的三角形边长都是整数，那么满足条件的三角形有（）

A、 $6$ 个 B、 $7$ 个 C、 $8$ 个 D、 $9$ 个

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3. 如图， $D$ 是 $R t △ A B C$ 斜边 $A B$ 上一点，且 $B D = B C = A C = 1$ ， $P$ 为 $C D$ 上任意一点， $P F ⊥ B C$ 于点 $F$ ， $P E ⊥ A B$ 于点 $E$ ，则 $P E + P F$ 的值是（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $\frac{2}{3}$

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4. 如图，在平面直角坐标系中， $△ A_{1} A_{2} A_{3}$ ， $△ A_{3} A_{4} A_{5}$ ， $△ A_{5} A_{6} A_{7}$ ， $\dots$ 都是斜边在 $x$ 轴上，斜边长分别为 $2$ ， $4$ ， $6$ ， $\dots$ 的等腰直角三角形，若 $△ A_{1} A_{2} A_{3}$ 的顶点坐标分别为 $A_{1} (2，0)$ ， $A_{2} (1，1)$ ， $A_{3} (0，0)$ ，则依图中所示规律， $A_{2023}$ 的坐标为（）

A、 $(- 1010，0)$ B、 $(- 1008，0)$ C、 $(2 ， - 505)$ D、 $(1，506)$

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5. 如图， $A D$ 为 $△ A B C$ 的高，点 $H$ 为 $A C$ 的垂直平分线与 $B C$ 的交点，点 $F$ 为 $B C$ 上一点，若 $∠ B = 2 ∠ C$ ，且 $A C = A B + B F .$ 则 $\frac{A C - F C}{D F}$ 的值为（）

A、 $1$ B、 $2$ C、 $1.5$ D、 $3$

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二、填空题：本题共8小题，每小题6分，共48分。

6. 如图， $∠ A + ∠ B + ∠ C + ∠ D + ∠ E$ 的度数为．

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7. 如图，点A在线段BG上，正方形ABCD和正方形DEFG的面积分别为3和7，则△CDE的面积为.

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8. 如图，在 $△ A B C$ 中， $E$ 为 $A C$ 的中点，点 $D$ 为 $B C$ 上一点， $B D$ ： $C D = 2$ ： $3$ ， $A D$ 、 $B E$ 交于点 $O$ ，若 $S_{△ A O E} - S_{△ B O D} = 1$ ，则 $△ A B C$ 的面积为．

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9. 如图，已知等腰 $△ A B C$ ， $A B = A C$ ， $∠ B A C = 120 °$ ， $A D ⊥ B C$ 于点 $D$ ，点 $P$ 是 $B A$ 延长线上一点，点 $O$ 是线段 $A D$ 上一点， $O P = O C$ ，下面结论：
$① ∠ A C O = 15 °$ ；
$② ∠ A P O + ∠ D C O = 30 °$ ；
$③ △ O P C$ 是等边三角形；
$④ A C = A O + A P$ ；
其中正确的有 $($ 填上所有正确结论的序号 $)$ ．

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10. 若不等式 $2 | x - 1 | + 3 | x - 3 | \leq a$ 有解，则实数 $a$ 最小值是．

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11. 如图，在 $△ M N G$ 中， $M N = 4 \sqrt{2}$ ， $∠ M = 75 °$ ， $M G = 3 .$ 点 $O$ 是 $△ M N G$ 内一点，则点 $O$ 到 $△ M N G$ 三个顶点的距离和的最小值是．

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12. 如图，已知 $△ A B C$ 为等腰直角三角形， $A C = B C = 6$ ， $∠ B C D = 15 °$ ， $P$ 为直线 $C D$ 上的动点，则 $| P A - P B |$ 的最大值为．

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13. 甲地宏达物流公司的快递车和货车同时从甲地出发，以各自的速度沿快速通道向乙地匀速行驶，快递车到达乙地后，卸完物资并另装货物共用了 $45$ 分钟，然后按原路以另一速度返回，直至与货车相遇，已知货车行驶速度为 $60 k m / h$ ，两车间的距离 $y (k m)$ 与货车行驶时间 $x (h)$ 之间的函数图象如图所示
给出以下四个结论：
①快递车从甲地到乙地的速度是 $100 k m / h$
②甲、乙两地之间的距离是 $80 k m$
③图中点 $B$ 的坐标为 $(2 \frac{3}{4} ， 35)$
④快递车从乙地返回时的速度为 $90 k m / h$
其中正确的是 $($ 填序号 $)$

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三、解答题：本题共5小题，共54分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

14. 已知 $a$ ， $b$ ， $c$ 为三个非负数，且满足 $3 a + 2 b + c = 5$ ， $2 a + b - 3 c = 1$ ．

(1)、求 $c$ 的取值范围；

(2)、设 $S = 3 a + b - 7 c$ ，求 $S$ 的最大值和最小值．

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15. 在等腰 $R t △ A O B$ 和等腰 $R t △ D O C$ 中， $∠ A O B = ∠ D O C = 90 °$ ，连接 $A D$ ， $M$ 为 $A D$ 中点，连接 $O M$ ．

(1)、如图 $1$ ，请写出 $O M$ 与 $B C$ 的关系，并说明理由；

(2)、将图 $1$ 中的 $△ C O D$ 旋转至图 $2$ 的位置，其他条件不变， $(1)$ 中结论是否成立？请说明理由．

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16.

(1)、如图 $1$ 所示，在 $△ A B C$ 中， $∠ D = 20 °$ ， $∠ A B C = 50 °$ ， $∠ C B D = 10 °$ ，求证 $A B = C D$ ．

(2)、如图 $2$ 所示，在 $△ A B C$ 中， $∠ A = 100 °$ ， $∠ A C B = 30 °$ ，延长 $A C$ 至 $D$ 使 $C D = A B$ ，求 $∠ C D B$ ．

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17. 已知一次函数 $y = 2 x - 4$ 的图象与 $x$ 轴、 $y$ 轴分别相交于点 $A$ 、 $B$ ，点 $P$ 在该函数的图象上， $P$ 到 $x$ 轴、 $y$ 轴的距离分别为 $d_{1}$ 、 $d_{2}$ ．

(1)、当 $P$ 为线段 $A B$ 的中点时，求 $d_{1} + d_{2}$ 的值；

(2)、直接写出 $d_{1} + d_{2}$ 的范围，并求当 $d_{1} + d_{2} = 3$ 时点 $P$ 的坐标；

(3)、若在线段 $A B$ 上存在无数个 $P$ 点，使 $d_{1} + a d_{2} = 4 (a$ 为常数 $)$ ，求 $a$ 的值．

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18. 如图，在平面直角坐标系中，直线 $l_{1}$ ： $y = \frac{\sqrt{3}}{3} x + \sqrt{3}$ 和直线 $l_{2}$ ： $y = - \sqrt{3} x + b$ 相交于 $y$ 轴上的点 $B$ ，且分别交 $x$ 轴于点 $A$ 和点 $C$ ．

(1)、求 $△ A B C$ 的面积；

(2)、点 $E$ 坐标为 $(5，0)$ ，点 $F$ 为直线 $l_{1}$ 上一个动点，点 $P$ 为 $y$ 轴上一个动点，求当 $E F + C F$ 最小时，点 $F$ 的坐标，并求出此时 $P F + \frac{\sqrt{2}}{2} O P$ 的最小值；

(3)、将 $△ O B C$ 沿直线 $l_{1}$ 平移，平移后记为 $△ O_{1} B_{1} C_{1}$ ，直线 $O_{1} B_{1}$ 交 $l_{2}$ 于点 $M$ ，直线 $B_{1} C_{1}$ 交 $x$ 轴于点 $N$ ，当 $△ B_{1} M N$ 为等腰三角形时，请直接写出点 $C_{1}$ 的横坐标．

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