广东省湛江市赤坎区2023-2024学年九年级上学期期末数学试题

试卷更新日期：2024-02-21 类型：期末考试

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一、选择题（本大题共10小题，共30分）

1. 下列交通标志中，是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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2. 下列成语所描述的事件中是不可能事件的是（）

A、守株待兔 B、水中捞月 C、水到渠成 D、不期而遇

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3. $⊙ O$ 的直径为10，圆心 $O$ 到直线的距离为3，下列位置关系正确（）

A、 B、 C、 D、

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4. 一元二次方程 $x^{2} - 2 x + 1 = 0$ 的根的情况是（）

A、有两个不相等的实数根 B、有两个相等的实数根 C、没有实数根 D、无法确定

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5. 正六边形的周长为6，则它的面积为（）

A、 $9 \sqrt{3}$ B、 $\frac{1}{4} \sqrt{3}$ C、 $3 \sqrt{3}$ D、 $\frac{3}{2} \sqrt{3}$

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6. 用配方法解一元二次方程 $x^{2} - 4 x - 1 = 0$ ，配方后得到的方程是（）

A、 ${(x - 2)}^{2} = 1$ B、 ${(x - 2)}^{2} = 4$ C、 ${(x - 2)}^{2} = 3$ D、 ${(x - 2)}^{2} = 5$

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7. 小明热爱研究鸟类，每年定期去北京各个湿地公园观鸟．从他的观鸟记录年度总结中摘取部分数据如下：设小明从2020年到2022年观测鸟类种类数量的年平均增长率为 $x$ ，则下列方程正确的是（）
观鸟记录年度总结
2020年：观测鸟类150种
2021年：观测鸟类
2022年：观测鸟类216种

A、 $2 \times 150 x = 216$ B、 $150 x^{2} = 216$ C、 $150 + 150 x^{2} = 216$ D、 $150 {(1 + x)}^{2} = 216$

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8. 一个扇形的半径为6，圆心角为120°，则该扇形的面积是（）

A、2π B、4π C、12π D、24π

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9. $A (- 2 ， y_{1})$ ， $B (1 ， y_{2})$ ， $C (2 ， y_{3})$ ，是抛物线 $y = - {(x + 1)}^{2} + a$ 上的三点，则 $y_{1}$ ， $y_{2}$ ， $y_{3}$ 的大小关系是（）

A、 $y_{1} > y_{2} > y_{3}$ B、 $y_{1} > y_{3} > y_{2}$ C、 $y_{3} > y_{2} > y_{1}$ D、 $y_{2} > y_{1} > y_{3}$

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10. 空地上有一段长为 $a$ 米的旧墙 $A B$ ，工人师傅欲利用旧墙和木棚栏围成一个封闭的长方形菜园（如图），已知木棚栏总长为40米，所围成的长方形菜园面积为 $S$ 平方米．若 $a = 18$ ， $S = 194$ ，则（）

A、有一种围法 B、有两种围法 C、不能围成菜园 D、无法确定有几种围法

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二、填空题（本大题共5小题，共15分）

11. 若 $x = 1$ 是方程 $x^{2} - 3 x + a = 0$ 的一个根，则 $a =$ ．

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12. 如图， $⊙ O$ 的半径为2， $C_{1}$ 是函数 $y = \frac{1}{2} x^{2}$ 的图象， $C_{2}$ 是函数 $y = - \frac{1}{2} x^{2}$ 的图象，则阴影部分的面积是．

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13. 如图， $A$ 点的坐标为 $(- 1 ， 5)$ ， $B$ 点的坐标为 $(3 ， 3)$ ， $C$ 点的坐标为 $(5 ， 3)$ ， $D$ 点的坐标为 $(3 ， - 1)$ ．小明发现线段 $A B$ 与线段 $C D$ 存在一种特殊关系，即其中一条线段绕着某点旋转一个角度可以得到另一条线段，你认为这个旋转中心的坐标是．

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14. 如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，点 $A$ 在 $x$ 轴负半轴上，点 $B$ 在 $y$ 轴正半轴上， $⊙ D$ 经过 $A$ ， $B$ ， $O$ ， $C$ 四点， $∠ A C O = 120 °$ ， $A B = 4$ ，则圆心点 $D$ 的坐标是.

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15. 如图，函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 经过点 $(3 ， 0)$ ，对称轴为直线 $x = 1$ ：① $b^{2} - 4 a c > 0$ ；② $a b c < 0$ ；③ $9 a - 3 b + c = 0$ ；④ $5 a + b + c = 0$ ；⑤若点 $A (a + 1 ， y_{1})$ 、 $B (a + 2 ， y_{2})$ 在抛物线上，则 $y_{1} > y_{2}$ ；⑥ $a m^{2} + b m \geq a + b$ （ $m$ 为任意实数），其中结论正确的有．

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三、解答题（本大题共8小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16. 用适当的方法解下列一元二次方程： $x^{2} - 2 x - 1 = 0$ ．

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17. 无色酚酞溶液是一种常用酸碱指示剂，广泛应用于检验溶液酸碱性，通常情况下酚酞溶液遇酸性溶液不变色，遇中性溶液也不变色，遇碱性溶液变红色．现有5瓶缺失标签的无色液体： $A$ 蒸馏水（中性）、 $B$ 白醋溶液（酸性）、 $C$ 食用纯碱溶液（碱性）、 $D$ 柠檬水溶液（酸性）、 $E$ 烧碱溶液（碱性）．

(1)、小丽同学从这5瓶溶液中随机取一瓶，取样，滴加酚酞溶液，且操作正确，则滴入酚酞溶液后呈现红色的概率为；

(2)、小明从上述5瓶溶液中随机取两瓶，取样，滴加酚酞溶液，且操作正确，请你用列表或画树状图的方法，求选取的两瓶溶液滴入酚酞后都呈现红色的概率．

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18. 在如图所示的方格纸（1格长为一个单位长度）中， $△ A O B$ 的三个顶点坐标分别为 $A (3 ， 0)$ ， $O (0 ， 0)$ ， $B (3 ， 4)$ ．

(1)、将 $△ A O B$ 绕点O顺时针旋转 $90 °$ ，画出旋转后的 $△ A_{1} O B_{1}$ ；

(2)、在（1）的条件下，求点B绕点O旋转到点 $B_{1}$ 所经过的路径长（结果保留 $π$ ）．

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19. 小明进行铅球训练，他尝试利用数学模型来研究铅球的运动情况．他以水平方向为x轴方向，1m为单位长度，建立了如图所示的平面直角坐标系，铅球从y轴上的A点出手，运动路径可看作抛物线，在B点处达到最高位置，落在x轴上的点C处．小明某次试投时的数据如图所示．

(1)、在图中画出铅球运动路径的示意图；

(2)、根据图中信息，求出铅球路径所在抛物线的表达式；

(3)、若铅球投掷距离（铅球落地点C与出手点A的水平距离 $O C$ 的长度）不小于10m，成绩为优秀．请通过计算，判断小明此次试投的成绩是否能达到优秀．

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20. 如图， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径， $C D$ 是 $⊙ O$ 的一条弦， $A B ⊥ C D ，$ 连接 $A C ， O D .$

(1)、求证： $∠ B O D = 2 ∠ A ；$

(2)、连接 $D B$ ，过点 $C$ 作 $C E ⊥ D B ，$ 交 $D B$ 的延长线于点 $E$ ，延长 $D O ，$ 交 $A C$ 于点 $F$ ，若 $F$ 为 $A C$ 的中点，求证：直线 $C E$ 为 $⊙ O$ 的切线．

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21. 请农科院专家指导学生进行小番茄的种植，经过试验，其平均单株产量 $y$ 千克与每平方米种植的株数 $x$ （ $2 \leq x \leq 8$ ，且 $x$ 为整数）构成一种函数关系．每平方米种植2株时，平均单株产量为4千克；以同样的栽培条件，每平方米种植的株数每增加1株，单株产量减少0.5千克．

(1)、求 $y$ 关于 $x$ 的函数表达式．

(2)、每平方米种植多少株时，能获得最大的产量?最大产量为多少千克？

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22. 老师给小明出了一道题，小明感到有困难，请你帮助小明解决这个问题，题目是这样的：一个三角形两边长分别是3和4，第三边长是 $x^{2} - 8 x + 15 = 0$ 的一个实数根，请结合作图求这个三角形的外接圆面积．

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23. 如图，已知抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ （ $a \neq 0$ ）与 $x$ 轴交于点 $A (1 ， 0)$ 和点 $B (- 3 ， 0)$ ，与 $y$ 轴交于点 $C$ ，且 $O C = O B$ ．

(1)、求此抛物线的解析式；

(2)、若点 $E$ 为第二象限抛物线上一动点，连接 $B E$ ， $C E$ ，求四边形 $B O C E$ 面积的最大值，并求出此时点 $E$ 的坐标；

(3)、点 $P$ 在抛物线的对称轴上，若线段 $P A$ 绕点 $P$ 逆时针旋转90°后，点 $A$ 的对应点 $A^{'}$ 恰好也落在此抛物线上，求点 $P$ 的坐标．

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