广东省茂名市高州市2023-2024学年九年级上学期期末数学试题

试卷更新日期：2024-02-21 类型：期末考试

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一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 在实数 $- 2$ ， 0，1， $\sqrt{5}$ 中，最小的数是（）

A、 $- 2$ B、0 C、1 D、 $\sqrt{5}$

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2. 以下燕尾槽的主视图为（）

A、 B、 C、 D、

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3. 在平面直角坐标系中，点 $P (2 ， 4)$ 关于x轴的对称点的坐标是（）

A、 $(- 2 ， 4)$ B、 $(2 ， - 4)$ C、 $(2 ， 4)$ D、 $(- 2 ， - 4)$

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4. “中国天眼”是目前世界上唯一能观测深空的射电望远镜，其中心位置是一个正五边形，这个正五边形的内角和是（）

A、 $1260 °$ B、 $900 °$ C、 $540 °$ D、 $360 °$

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5. 下列运算正确的是（）

A、 ${(a^{2})}^{3} = a^{6}$ B、 $a^{3} + a^{3} = a^{6}$ C、 $a^{2} \cdot a^{3} = a^{6}$ D、 $a^{6} \div a^{3} = a^{2}$

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6. 式子 $\sqrt{x - 3}$ 在实数范围内有意义，则 $x$ 的取值范围是（）

A、 $x \neq 3$ B、 $x \neq - 3$ C、 $x \leq 3$ D、 $x ≥ 3$

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7. 如图， $A ， B$ 两地被池塘隔开，小明先在 $A B$ 外选一点 $C$ ，然后测出 $A C ， B C$ 的中点 $M ， N$ ．若 $M N$ 的长为18米，则 $A ， B$ 间的距离是（）

A、9米 B、18米 C、27米 D、36米

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8. 不等式组 ${\begin{array}{l} 2 x + 4 > 0 \\ x - 1 \leq 0 \end{array}$ 的解集在数轴上表示正确的是（　　）

A、 B、 C、 D、

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9. 将直线 $y = 2 x - 1$ 向上平移3个单位长度，得到的直线的解析式是（）

A、 $y = 2 x + 5$ B、 $y = 2 x - 7$ C、 $y = 2 x + 2$ D、 $y = 2 x - 4$

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10. 如图，在正方形 $A B C D$ 中， $E$ 为 $A B$ 的中点， $F$ 为 $B C$ 上一点（不与 $B$ ， $C$ 重合），将 $△ B E F$ 沿 $E F$ 所在的直线折叠，得到 $△ G E F$ ，连接 $A G$ ．当 $A G = E G$ 时， $\frac{A G}{E F}$ 的值是（）

A、1 B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分．

11. 因式分解： $a b - a =$ .

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12. 请写出一个与 $- 2 a b^{2}$ 是同类项的式子：．

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13. 若 $\sqrt{a - 2} + | b + 3 | = 0$ ，则 $a b =$ ．

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14. 若 $x^{2} + x = 1$ ，则 $3 x^{2} + 3 x - 8$ 的值为．

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15. 如图，矩形 $O A B C$ 对角线相交于点 $F$ ，沿着对角线 $A C$ 折叠，使得点 $B$ 落在点 $E$ 处，其中点 $A$ 的坐标为 $(0 ， 6) ， A F$ 长度为 $5$ ，则 $E$ 的纵坐标为．

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三、解答题（一）：本大题共4小题，共28分．

16.

(1)、计算： $| - \frac{1}{2} | s i n 30 ° + (- 2023)^{0}$

(2)、用公式法解方程： $x^{2} - 2 x = 4 x - 5$

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17. 先化简，再求值： $\frac{x^{2}}{x + 1} + \frac{2 x + 1}{x + 1}$ ，其中 $x = \sqrt{3} - 1$ ．

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18. 教室里的投影仪投影时，可以把投影光线CA，CB及在黑板上的投影图像高度AB抽象成如图所示的△ABC， $∠ B A C = 90 °$ ．黑板上投影图像的高度 $A B = 120 c m$ ， CB与AB的夹角 $∠ B = 33.7 °$ ，求AC的长．（结果精确到1cm．参考数据： $s i n 33.7 ° \approx 0.55$ ， $c o s 33.7 ° \approx 0.83$ ， $t a n 33.7 ° \approx 0.67$ ）

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19. 如图， $△ A B C$ 的顶点 $A ， B$ 在直线 $D E$ 上，已知 $∠ A C B = 15 °$ ， $∠ C B E = 45 °$ ．

(1)、实践与操作：用尺规作图法作 $△ A B C$ 关于直线 $D E$ 的对称图形 $△ A B C^{'}$ ；

(2)、应用与计算：在（1）的条件下，若 $B C = 3$ ，求 $A C$ 的长．

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四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分．

20. 如图，已知AB=AC，AD=AE，BD和CE相交于点O.

(1)、求证：△ABD≌△ACE；

(2)、判断△BOC的形状，并说明理由.

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21. 生物学上通常用“标记重捕法”来估算特定区域内某种群的数量．如在固定区域内用捕虫网捕捉了40只田鼠，将它们标记后放回直到充分混合后，用同一个捕虫网捕捉了80只田鼠，其中有16只是被标记的，于是估算该区域田鼠的数量为：
$N = 40 \div \frac{16}{80} = 200$ （只）．
某研究小组考察了一湖泊中的某鱼种群的年龄组成，结果如下表，请回答问题：
年龄
A
B
C
D
……
个体数量
92
187
x
y
……
注：表中“ $A$ ”表示鱼的年龄 $0 - 1$ 年， $B$ 表示年龄 $2 - 3$ 年， $C$ 表示年龄 $4 - 5$ 年， $D$ 表示年龄为 $6 - 7$ 年．

(1)、年龄为 $A$ ， $B$ ， $C$ 的个体数量的平均数为125，年龄在 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ 的个体数量的中位数是95，则 $x =$ ， $y =$ （其中 $92 < y < 96$ ）．

(2)、若将年龄为 $D$ 的鱼全部标记后并放回湖泊，充分混合后，捕捉120条鱼，其中被标记鱼有12条，那么该湖泊里一共约有多少条鱼？

(3)、现捕获A，B，C，D年龄段的鱼各一条，从中任抓两条，请用列表或画树状图求抓到的是 $A$ 和 $C$ 年龄的鱼的概率．

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22. 综合与实践
【问题背景】“夏至”过后，越来越多的市民喜欢去海边游玩，小明同学发现沙滩上有很多的遮阳伞为游客带来一丝清凉，如图1是沙滩上的圆形遮阳伞支架张开的状态，为了了解遮阳伞下方的遮阴面积，小明进行了如下操作调研．

图1 图2 图3 图4
【测量与整理】通过操作发现，小明发现：如图2，当伞完全折叠时，伞顶 $A$ 与伞柄顶端点 $B$ 重合，两边主骨架的端点 $D$ 与 $C$ 重合；如图3，在撑开过程中，骨架 $A C$ 的中点 $E$ 到点 $B$ 的距离始终等于 $A C$ 的一半， $A C = A D = 150 c m$ ；如图4，当伞完全张开时， $3 A C = 5 B C$ ．
【计算与分析】

(1)、当伞完全张开后，求 $D C$ 的长度；

(2)、当太阳光垂直照到遮阳伞上时，求伞完全张开时，遮挡住的阴影部分的面积．

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五、解答题（三）：本大题共2小题，每小题10分，共20分．

23. $2023$ 年世界环境日的主题是“减塑捡塑”，某城市为营造干净整洁的生活环境，加大垃圾分类的投入力度，准备购买 $A ， B$ 两种型号的垃圾桶．市场调查反映： $A$ 型垃圾桶每组的单价比 $B$ 型垃圾桶每组的单价多 $150$ 元，用 $60000$ 元购买 $A$ 型垃圾桶的组数与用 $45000$ 元购买 $B$ 型垃圾桶的组数相同．

(1)、求 $A ， B$ 两种型号垃圾桶每组的单价；

(2)、该城市计划购买 $A ， B$ 两种型号垃圾桶共 $200$ 组，且 $B$ 型垃圾桶的组数不少于 $A$ 型垃圾桶组数的 $\frac{3}{2}$ ，求购买这 $200$ 组垃圾桶所需的最大费用．

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24. 已知点 $A$ 在反比例函数 $y = \frac{4}{x} (x > 0)$ 的图象上，以 $O A$ 为边长作正方形 $O A B C$ ，使正方形顶点 $B ， C$ 在 $x$ 轴上方， $O A$ 与 $y$ 轴的夹角为 $α$ ．

(1)、如图1，当点 $B$ 在 $y$ 轴上时，求点 $A$ 坐标；

(2)、①如图2，当 $0 ° < α < 45 °$ 时， $A B$ 与 $y$ 轴相交于点 $D$ ，若 $t a n α = \frac{1}{2}$ ，求点 $B$ 的坐标；
②如图3，当 $45 ° < α < 90 °$ 时， $B C$ 与 $y$ 轴相交于点 $D$ ，若 $t a n α = 3$ ，求点 $B$ 的坐标．

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年龄	A	B	C	D	……
个体数量	92	187	x	y	……