浙江省宁波七中教育集团2023-2024学年第一学期八年级数学期末试题

试卷更新日期：2024-02-21 类型：期末考试

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一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）

1. 下列图形是轴对称图形的为（）

A、 B、 C、 D、

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2. 若a<b，c≠0，则下列不等式不一定成立的是（ )

A、 $a + c < b + c$ B、 $a - c < b - c$ C、 $a c^{2} < b c^{2}$ D、 $\frac{a}{c} < \frac{b}{c}$

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3. 我国传统工艺中，油纸伞制作非常巧妙，其中蕴含着数学知识．如图是油纸伞的张开示意图， $A E = A F ， ∠ E A G = ∠ F A G$ ，则 $Δ A E G ≌ Δ F A G$ 的依据是（）

A、SAS B、ASA C、AAS D、SSS

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4. 下列命题的逆命题是假命题的是（）

A、等腰三角形的两个底角相等 B、全等三角形的对应边都相等 C、两直线平行，同旁内角互补 D、对顶角相等

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5. 关于一次函数y=3x-1的描述，下列说法正确的是（）

A、图象经过第一、二、三象限 B、函数的图象与x轴的交点是 $(0 ， - 1)$ C、向下平移1个单位，可得到y=3x D、图象经过点 $(1 ， 2)$

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6. 在平面直角坐标系中，点 $A (- 3 ， - 4)$ 平移后能与原来的位置关于y轴对称，则应把点A（）

A、向左平移 $6$ 个单位 B、向右平移 $6$ 个单位 C、向下平移 $8$ 个单位 D、向上平移 $8$ 个单位

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7. 适合 $2 \sqrt{{(a - 3)}^{2}} = 6 - 2 a$ 的正整数a的所有值的平方和为（）

A、13 B、14 C、5 D、16

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8. 一次函数 $y = k x + b$ 与正比例函数 $y = k b x$ （ k，b是常数，且 $k b \neq 0$ ）的图象可能是（）

A、 B、 C、 D、

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9. 如图，三角形纸片ABC，点D是BC边上一点，连接AD，把△ABD沿着AD翻折，得到△AED，DE与AC交于点G，连接BE交AD于点F．若DG＝GE，AF＝4，BF＝2，△ADG的面积为 $\frac{5}{2}$ ，则点F到BC的距离为（）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ B、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ C、 $\frac{4 \sqrt{5}}{5}$ D、 $\frac{4 \sqrt{3}}{3}$

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10. 如图，在 $R t Δ A B C$ 中， $A C = B C$ ，点D为 $A B$ 中点， $∠ G D H = 90 °$ ， $∠ G D H$ 绕点D旋转， $D G ， D H$ 分别与边 $A C$ ， $B C$ 交于E，F两点，下列结论：① $A E + B F = \frac{\sqrt{2}}{2} A B$ ；② $A E^{2} + B F^{2} = E F^{2}$ ；③ $S_{四边形 C E D F} = \frac{1}{2} S_{Δ A B C}$ ；④ $Δ D E F$ 始终为等腰直角三角形，其中正确的是（）

A、①②④ B、①②③ C、③④ D、①②③④

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二、填空题（每小题3分，共18分）

11. 使二次根式 $\sqrt{3 - x}$ 有意义的 $x$ 的取值范围为．

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12. 在平面直角坐标系中，若点 $P (m + 3 ， 3 - m)$ 在y轴上，则m的值是.

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13. 如图是折叠式沙发椅的示意图，若将度数调到图上所示度数为最舒适角度，求此时 $∠ E F D$ = ．

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14. 若关于x的不等式组 ${\begin{array}{l} \frac{1}{3} x - a > 0 \\ 4 - 2 x \geq 0 \end{array}$ 无解，a则的取值范围为．

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15. 如图，直线 $l ： y = x + 2$ 交 $y$ 轴于点 $A$ ，以 $A O$ 为直角边长作等腰 $R t Δ A O B$ ，再过 $B$ 点作等腰 $R t Δ A_{1} B B_{1}$ 交直线 $l$ 于点 $A_{1}$ ，再过 $B_{1}$ 点再作等腰 $R t Δ A_{2} B_{1} B_{2}$ 交直线 $l$ 于点 $A_{2}$ ，以此类推，继续作等腰 $R t Δ A_{3} B_{2} B_{3}$ ， …， $R t Δ A_{n} B_{n - 1} B_{n}$ ，其中点 $A A_{1} A_{2}$ … $A_{n}$ 都在直线 $l$ 上，点 $B B_{1} B_{2}$ … $B_{n}$ 都在 $x$ 轴上，且 $∠ A_{1} B B_{1}$ ， $∠ A_{2} B_{1} B_{2}$ ， $∠ A_{3} B_{2} B_{3}$ … $∠ A_{n - 1} B_{n} B_{n - 1}$ 都为直角．则点 $A_{n}$ 的坐标为．

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16. 在平面直角坐标系中 $A (2 ， 0)$ ， $B (0 ， 4)$ ，过点B作直线l $∥$ x轴，点 $P (a ， 4)$ 是线l上的动点，以AP为边在AP右侧作等腰 $R t Δ A P Q$ ，使∠APQ＝90°．

(1)、当a＝0时，则点Q的坐标是．

(2)、当点P在直线l上运动时，点Q也随之运动，则OQ的最小值是．

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三、解答题（第17-19题各6分，第20-22题各8分，第23题10分，共52分）

17.

(1)、解不等式组 ${\begin{array}{l} 2 x > - 4 \\ x + 3 \leq 5 \end{array}$

(2)、计算 $\sqrt{24} - 3 \times \sqrt{\frac{1}{6}}$

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18. 如图，在等边 $Δ A B C$ 的边 $A C ， B C$ 上各取一点 $D ， E$ ，使 $A D = C E$ ， $A E$ ， $B D$ 相交于点 $O$ ．

(1)、求证： $Δ A B D ≅ Δ C A E$ ；

(2)、求 $∠ B O E$ 的度数．

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19. 如图，在直角坐标系中， $Δ A B C$ 的三个顶点坐标分别为 $A (1 ， 4)$ ， $B (4 ， 2)$ ， $C (3 ， 5)$ ，请回答下列问题：

(1)、画出 $Δ A B C$ 关于x轴的对称图形 $Δ A_{1} B_{1} C_{1}$ ；直接写出A₁、B₁、C₁的坐标；

(2)、如图，在直线 $l$ 上找一点M，使得 $A M + B M$ 的值最小．（保留作图痕迹）

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20. 市场上甲种商品的采购价为60元/件，乙种商品的采购价为100元/件，某商店需要采购甲、乙两种商品共15件，且乙种商品的件数不少于甲种商品件数的2倍．设购买甲种商品 $x$ 件（ $x$ >0），购买两种商品共花费 $y$ 元．

(1)、求出 $y$ 与 $x$ 的函数关系式（写出自变量 $x$ 的取值范围）；

(2)、试利用函数的性质说明，当采购多少件甲种商品时，所需要的费用最少？

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21. 甲乙两人同时登山，甲、乙两人距离地面的高度y（米）与时间x（分）之间的函数图象如图所示．根据图象提供的信息，完成下列问题．

(1)、求甲距离地面的高度 $y$ 米与时间 $x$ 分之间的函数关系式．

(2)、当 $x \geq 2$ 时，求乙距离地面的高度 $y$ 米与时间 $x$ 分之间的函数关系式．

(3)、当 $x$ 为何值时，甲乙距离地面的高度相差20米．

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22. 定义：若 $a ， b ， c$ 是 $Δ A B C$ 的三边，且 $a_{}^{2} + b_{}^{2} = 2 c_{}^{2}$ ，则称 $Δ A B C$ 为“方倍三角形”．

(1)、若 $R t Δ A B C$ 是“方倍三角形”，且斜边AB= $\sqrt{3}$ ，则该三角形的面积为．

(2)、如图， $Δ A B C$ 是“方倍三角形”，且 $A B = A C$ ，求证： $Δ A B C$ 为等边三角形．

(3)、如图， $Δ A B C$ 中， $∠ A B C = 12 0_{}^{∘}$ ， $∠ A C B = 4 5_{}^{∘}$ ， $p$ 是 $A C$ 边上一点，将 $Δ A B P$ 沿 $B P$ 进行折叠，点 $A$ 落在点 $D$ 处，连接 $C D$ ， $A D$ ，若 $Δ A B D$ 为“方倍三角形”，且 $A P = \sqrt{2}$ ，求 $P C$ 的长．

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23. 如图1，点 $C$ 的坐标是 $(3 ， 4)$ ， $C A$ 垂直于 $y$ 轴于点 $A$ ， $E$ 是直线 $y = \frac{1}{3} x$ 在第一象限上的动点， $C E$ 交 $x$ 轴于点 $B$ ．

(1)、求当点 $B$ 的坐标为 $(9 ， 0)$ 时，
①求直线 $B C$ 的解析式；
②求 $Δ O B E$ 的面积；
③ $p$ 为坐标轴上一点，且 $Δ O E P$ 是以 $O E$ 为底边的等腰三角形，请直接写出点 $p$ 的坐标．

(2)、如图2， $D$ 是线段 $A O$ 上一点，且 $O D = 3 A D$ ，取 $O E$ 的中点 $F$ ，求 $Δ C F D$ 的面积．

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四、附加题（第24题4分，第25题6分，共10分）

24. 若数a既使得关于x、y的二元一次方程组 ${\begin{array}{l} x + y = 6 \\ 3 x - 2 y = a + 3 \end{array}$ 有正整数解，又使得关于x的不等式组 ${\begin{array}{l} \frac{3 x - 5}{2} > x + a \\ \frac{3 - 2 x}{9} \leq - 3 \end{array}$ 的解集为 $x \geq 15$ ，那么所有满足条件的a的值之和为．

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25. 如图所示，在 $Δ A B C$ 中， $D$ 是 $A C$ 边的中点，连结 $B D$ ．把 $Δ B D C$ 沿 $B D$ 翻折，得到 $Δ B D C^{'}$ ， $D C^{'}$ 与 $A B$ 交于 $A^{'}$ ，连结 $A C^{'}$ ．若 $A D = A C^{'} = 4 ， B D = 6$ ，求点 $D$ 到 $B C$ 的距离．

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