浙江省金华市婺城区2023-2024学年九年级上学期数学期末试卷

试卷更新日期：2024-02-21 类型：期末考试

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一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分.请选出各题中一个符合题意的正确选项.不选、多选、错选均不给分）

1. 在某次班级测验中，班级的平均分为90分，小明的成绩为87分，记作 $- 3$ ，若小亮的成绩记作 $+ 2$ ，则小亮的成绩为（）

A、2分 B、88分 C、90分 D、92分

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2. 下列适合抽样调查的是（）

A、了解当前全国流感的发病情况 B、了解本班学生的视力情况 C、旅客上飞机前的安检 D、对组成人造卫星零部件的检查

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3. 进入秋季以来，全国流感高发，其中就有甲流．已知甲流病毒的直径约为 $0.00000011$ 米，用科学记数法表示 $0.00000011$ 米 $= 1.1 \times 1 0^{n}$ 米，则 $n$ 为（）

A、 $- 6$ B、 $- 7$ C、6 D、7

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4. 有一个装有水的容器，如图所示．容器内的水面高度是10cm，现向容器内注水，并同时开始计时，在注水过程中，水面高度以每秒0.2cm的速度匀速增加，则容器注满水之前，容器内的水面高度与对应的注水时间满足的函数关系是（）

A、正比例函数关系 B、一次函数关系 C、二次函数关系 D、反比例函数关系

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5. 如图，一把直尺， 60°的直角三角板和光盘如图摆放， A为 60°角与直尺交点， AB=3 ，则光盘的直径是（）

A、3 B、 $3 \sqrt{3}$ C、 $6$ D、 $6 \sqrt{3}$

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6. 在数学活动课上，兴趣小组的同学用一根质地均匀的轻质木杆和若干个钩码做实验．如图所示，在轻质木杆O处用一根细线悬挂，左端A处挂一重物，右端B处挂钩码，每个钩码质量是50g．若OA=20cm，OB=40cm，挂3个钩码可使轻质木杆水平位置平衡．设重物的质量为xg，根据题意列方程得（）

A、 $20 x = 40 \times 50 \times 3$ B、 $40 x = 20 \times 50 \times 3$ C、 $3 \times 20 x = 40 \times 50$ D、 $3 \times 40 x = 20 \times 50$

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7. 若反比例函数 $y = \frac{1}{x}$ 图象上有两点 $A (x_{1} ， y_{1})$ ， $B (x_{2} ， y_{2})$ ，若 $x_{1} + x_{2} = 0$ ，则 $y_{1} + y_{2}$ 的值为（）

A、 $- 1$ B、0 C、1 D、2

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8. 如图，在正方形方格中，A，B，C，D，E，P均在格点处，则点 $P$ 是下列哪个三角形的外心（）.

A、 $△ A C E$ B、 $△ A B D$ C、 $△ A C D$ D、 $△ B C E$

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9. 如图所示的是中国南宋数学家杨辉在详解《九章算法》中出现的三角形状的数列，又称为“杨辉三角形”该三角形中的数据排列有着一定的规律，若将其中 $-$ 组斜数列用字母 $a_{1}$ 、 $a_{2}$ ， $a_{3}$ ， $\dots$ 代替，如图 $2$ ，则 $a_{99} + a_{100}$ 的值为（）

A、9801 B、10000 C、10201 D、10500

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10. 如图，半径为5的圆中有一个内接矩形 $A B C D ， A B > B C$ ，点 $M$ 是 $\overset{⌢}{A B C}$ 的中点， $M N ⊥ A B$ 于点 $N$ ，若矩形ABCD的面积为30，则线段MN的长为（）.

A、 $\sqrt{10}$ B、 $\frac{5}{2} \sqrt{2}$ C、 $\frac{\sqrt{70}}{2}$ D、 $2 \sqrt{10}$

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二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分.）

11. 分解因式：16﹣4x²=.

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12. 某科幻小说上、下各1册，小明随机将它们叠放在一起，从上到下的顺序恰好为“上册、下册”的概率是

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13. 如图，在Rt $△ A B C$ 中， $∠ C = 9 0^{°}$ ，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上被称为“希波克拉底月牙”.当 $A C = 8 ， B C = 4$ 时，阴影部分的面积为.

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14. 如图，在平面直角坐标系中，直线 $A B$ 经过点 $A (- 2 \sqrt{3} ， 0)$ 和 $B (0 ， 2)$ ，将 $△ A B O$ 沿直线 $A B$ 翻折，点 $O$ 的对应点 $C$ 恰好落在反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k \neq 0)$ 的图象上，则 $k$ 的值为．

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15. 抛物线的函数解析式为y=3(x-1)²+1，若将x轴向下平移1个单位长度，将y轴向左平移2个单位长度，则该抛物线在新的平面直角坐标系中的函数解析式为．

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16. 魏晋时期，伟大数学家刘徽利用如图通过“以盈补虚，出入相补”的方法，即“勾自乘为朱方，股自乘为青方，令出入相补，各从其类”证明了勾股定理.已知四边形ABCD、四边形AHFE、四边形DGME均为正方形.

(1)、若AH=13，DE=12，则 $A B =$ ；

(2)、若 $S_{△ A B P} ： S_{△ C E P} = 1 ： 9$ ，则 $t a n ∠ D E H =$ .

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三、解答题（本大题有8小题，共66分.）

17. 计算： $(2023 - π)^{0} - {(\frac{1}{2})}^{- 1} + | - \sqrt{3} | - 2 s i n 6 0^{°}$ .

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18. 解不等式组： $- 2 \leq \frac{1 - x}{2} < 1$ ．

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19. 同学们在做题时，经常用到“在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半”这个定理，下面是两种添加辅助线的证明方法，请你选择一种进行证明．
已知在 $△ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $∠ A = 30 °$ ，求证： $B C = \frac{1}{2} A B$ ．
法一：如图1，在上取一点D ，使得 $B C = C D$ ，连接 $C D$ ．
法二：如图2，延长到D ，使得 $B C = C D$ ，连接 $A D$ ．
你选择方法．
证明：

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20. 如图，在路边安装路灯，灯柱BC高10m，与灯杆AB的夹角ABC为 $6 0^{°}$ .路灯采用锥形灯罩，照射范围DE长为9.8m，从D、E两处测得路灯 $A$ 的仰角分别为 $∠ A D E = 80 . 5^{°} ， ∠ A E D = 4 5^{°}$ .
(参考数据： $c o s 80 . 5^{°} \approx 0.2 ， t a n 80 . 5^{°} \approx 6.0$ )求：

(1)、路灯 $A$ 离地面的高度(即点 $A$ 到地面CE的距离)；

(2)、灯杆AB的长度.

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21. 某校初三年级开展了系列交通安全知识竞赛，从中随机抽取30名学生两次知识竞赛的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行收集、整理、描述和分析．下面给出了部分信息．
a．这30名学生第一次竞赛成绩
b．这30名学生两次知识竞赛的获奖情况统计表

参与奖
优秀奖
卓越奖
第一次
竞赛
人数
10
10
10
平均分
82
87
95
第二次
竞赛
人数
2
12
16
平均分
84
87
93
和第二次竞赛成绩得分情况统计图：（规定：分数 $\geq 90$ ，获卓越奖； $85 \leq$ 分数 $＜ 90$ ，获优秀奖；分数 $＜ 85$ ，获参与奖）
c．第二次竞赛获卓越奖的学生成绩如下：
90，90，91，91，91，91，92，93，93，94，94，94，95，95，96，98
d ．两次竞赛成绩样本数据的平均数、中位数、众数如表：

平均数
中位数
众数
第一次竞赛
m
87.5
88
第二次竞赛
90
n
91
根据以上信息，回答下列问题：

(1)、小松同学第一次竞赛成绩是89分，第二次竞赛成绩是91分，在图中用“〇”圈出代表小松同学的点；

(2)、直接写出m ， n的值；

(3)、请判断第几次竞赛中初三年级全体学生的成绩水平较高，并说明理由．

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22. 如图，有两个同心半圆AC和半圆BD，其中半圆BD固定不动，半圆AC绕圆心 $O$ 沿顺时针方向转动一周，连接AB、CD，转动过程中，半圆BD与线段AC的交点记为点 $H$ ，若 $A C = 2 B D = 4$ .

(1)、求证： $A B = C D$ ；

(2)、在转动过程中，求 $△ A B O$ 面积的最大值；

(3)、当AB与半圆BD相切时，求弧DH的长.

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23. 在平面直角坐标系xOy中，有抛物线 $y = a x^{2} + b x + 3 (a \neq 0)$ .

(1)、若点 $(2 ， 3)$ 在抛物线上，
①求抛物线的对称轴；
②若点 $(x_{1} ， 6) ， (x_{2} ， - 3)$ 也在抛物线上，求 $a$ 的取值范围；

(2)、当 $a = - 1$ 时，有已知点 $A (b ， 2) ， B (- b ， 4 b - 3)$ ，若抛物线与线段AB只有一个公共点，结合函数图象，求 $b$ 的取值范围.

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24. 请根据素材，完成任务．

素材一	如图，在 $R t △ A B C$ 中， $C D ⊥ A B$ ，垂足为点D ，若保证 $∠ A C B$ 始终为直角，则点A、B、C在以 $A B$ 为直径的圆上．
素材二	如图，在 $R t △ A B C$ C中， $∠ A C B = 90 °$ ， $C D ⊥ A B$ ，垂足为点D ，取 $A B$ 的中点O ，连接 $O C$ ，根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可知 $O C = \frac{1}{2} A B$ ，可得 $O C \geq C D$ ．
素材三	如图，矩形 $A B C D$ 是某实验室侧截面示意图，现需要在室内安装一块长1米的遮光板 $E F$ ，且 $E F ∥ A B$ ，点E到墙 $A B$ 的距离为4米，到地面 $B C$ 的距离为5米．点O为室内光源， $O M$ 、 $O N$ 为光线， $∠ M O N = 40 °$ ，通过调节光源的位置，可以改变背光工作区的大小．若背光工作区 $B M + B N$ 的和最大时，该实验室“可利用比”最高．
任务一	若素材一中的 $A B = 4$ ，求 $C D$ 的最大值．
任务二	若素材二中的 $C D = 6$ ，求 $A B$ 的最小值．
任务三	若任务二中的 $∠ A C B = 90 °$ 改成 $∠ A C B = 60 °$ ，其余条件不变，请直接写出 $A B$ 的最小值．
任务四	若任务二中的 $∠ A C B = 90 °$ ， $C D = 6$ 改成 $∠ A C B = α$ ， $C D = m$ ，请直接写出 $A B$ 的最小值．
任务五	当素材三中的实验室“可利用比”最高，求此时 $B M + B N$ 的值

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		参与奖	优秀奖	卓越奖
第一次竞赛	人数	10	10	10
第一次竞赛	平均分	82	87	95
第二次竞赛	人数	2	12	16
第二次竞赛	平均分	84	87	93

	平均数	中位数	众数
第一次竞赛	m	87.5	88
第二次竞赛	90	n	91