广西壮族自治区柳州市2023-2024学年八年级上学期期末数学试题

试卷更新日期：2024-02-21 类型：期末考试

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一、选择题（本题共10小题，每小题3分，满分30分。）

1. 围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千多年的历史．下列由黑白棋子摆成的图案是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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2. 下列运算中正确的是（）

A、 ${(a^{2})}^{3} = a^{5}$ B、 ${(\frac{1}{2})}^{- 1} = - 2$ C、 ${(2 - \sqrt{5})}^{0} = 1$ D、 $a^{3} \cdot a^{3} = 2 a^{6}$

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3. 下列长度的三条线段能首尾相接构成三角形的是（）

A、 $1 c m$ ， $2 c m$ ， $3 c m$ B、 $3 c m$ ， $4 c m$ ， $5 c m$ C、 $4 c m$ ， $5 c m$ ， $10 c m$ D、 $6 c m$ ， $9 c m$ ， $2 c m$

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4. 华为麒麟990芯片采用了最新的0.000000007米的工艺制程，数0.000000007用科学记数法表示为（）

A、 $7 \times 10^{- 9}$ B、 $7 \times 10^{- 8}$ C、 $0.7 \times 10^{- 9}$ D、 $0.7 \times 10^{- 8}$

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5. 如图，在 $△ A B C$ 中，画出 $A C$ 边上的高（　　）

A、 B、 C、 D、

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6. 若一个多边形的内角和比它的外角和大 $540 °$ ，则该多边形的边数为（）

A、6 B、7 C、8 D、9

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7. 若 $x$ 、 $y$ 的值均扩大为原来的3倍，则下列分式的值保持不变的是（）

A、 $\frac{x}{y + 1}$ B、 $\frac{x + y}{x + 1}$ C、 $\frac{x y}{x + y}$ D、 $\frac{2 x}{3 x - y}$

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8. 下列因式分解正确的是（）

A、 $2 x^{2} - 4 x = 2 x (x - 4)$ B、 $a^{2} - 3 a - 4 = (a - 4) (a + 1)$ C、 $a^{2} + b^{2} - 2 a b = {(a + b)}^{2}$ D、 $x^{3} - 81 x = x (x^{2} + 9) (x^{2} - 9)$

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9. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $∠ B A C = 120 °$ ， $A D$ 平分 $∠ B A C$ ，点E在 $A B$ 上，把 $△ B D E$ 沿直线 $D E$ 折叠，使点B落在点F处，连接 $C F$ ，若 $∠ B D E = 15 °$ ，则 $∠ E F C$ 的度数为（）

A、 $25 °$ B、 $35 °$ C、 $45 °$ D、 $55 °$

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10. 对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式．例如，利用图1可以得到 $a (a + b) = a^{2} + a b$ ，那么利用图2所得到的数学等式为（）

A、 ${(a + b + c)}^{2} = a^{2} + b^{2} + c^{2}$ B、 ${(a + b + c)}^{2} = 2 a^{2} + 2 b^{2} + 2 c^{2}$ C、 ${(a + b + c)}^{2} = a^{2} + b^{2} + c^{2} + a b + b c + c a$ D、 ${(a + b + c)}^{2} = a^{2} + b^{2} + c^{2} + 2 a b + 2 b c + 2 c a$

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二、填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）

11. 若分式 $\frac{x - 1}{x - 5}$ 的值为0，则 $x$ 的值为．

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12. 点 $A (- 3 ， 2)$ 关于 $x$ 轴对称的点的坐标为．

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13. 如图，在 $Δ A B C$ 中， $A D$ 平分 $∠ B A C ， D E ⊥ A B .$ 若 $A C = 2 ， D E = 1 ，$ 则 $S_{Δ A C D} =$ ．

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14. 已知 $x - y = 5$ ， $x y = - 3$ ，则代数式 $x^{2} y - x y^{2}$ 的值为．

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15. 如图， $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ，以点B为圆心， $B C$ 的长为半径画弧交 $A C$ 于点C，E，再分别以点C与点E为圆心，大于 $C E$ 长的一半为半径画弧，两弧交于点F，连接 $B F$ 交AC于点D，若 $∠ A = 40 °$ ，则 $∠ E B D$ 是°．

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16. 如图，在等边 $△ A B C$ 中， $C D ⊥ A B$ 于D，E是线段 $C D$ 上一点，F是边 $A C$ 上一点，且满足 $B E = E F$ ， G是 $A F$ 的中点，连接 $E G$ ，则下列四个结论：① $A D = B D$ ；② $∠ B E F = 150 °$ ；③ $∠ A F E = ∠ C B E$ ；④ $E G = \frac{1}{2} E C$ ；⑤当 $∠ A B E = 15 °$ 时， $E G = F G$ ，其中正确的有.（填序号）

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三、解答题（本题共7小题，满分52分，解答时应写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程）

17. 分解因式： $a^{3} - 4 a^{2} + 4 a$ ．

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18. 计算： $(a + 4) (a - 4) - {(a - 1)}^{2}$ ．

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19. 解方程： $\frac{2 - x}{x - 3} = \frac{1}{x - 3} - 2$ ．

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20. 如图，在平面直角坐标系中，已知 $△ A B C$ ．

(1)、作出 $△ A B C$ 关于直线l（直线l上各点的纵坐标都是1）对称的图形 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ，并写出 $A_{1}$ ， $B_{1}$ ， $C_{1}$ 的坐标． $A_{1}$ （，）； $B_{1}$ （，）； $C_{1}$ （，）．

(2)、在直线l上找一点P，使得 $P A + P B$ 的长度最小（只要作出图形即可）；

(3)、若 $△ A B C$ 中有一点 $Q (x ， y)$ ，写出点Q在 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ 中对应点 $Q_{1}$ 的坐标是（，）．

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21. 已知：如图，点 $B 、 E 、 C 、 F$ 在一条直线上， $A 、 D$ 两点在直线 $B F$ 的同侧， $B E = C F$ ， $∠ A = ∠ D$ ， $A B ∥ D E$ ，求证： $A C = D F$ ．

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22. 习总书记在党的第二十次全国代表大会上，报告指出：“积极稳妥推进碳达峰碳中和” $.$ 某公司积极响应节能减排号召，决定采购新能源A型和B型两款汽车，已知每辆A型汽车进价是每辆B型汽车进价的1.5倍，若用1500万元购进A型汽车的数量比1200万元购进B型汽车的数量少20辆.求每辆B型汽车进价是多少万元？

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23. 【综合与探究】新定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．
性质：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半．
理解：如图①，在 $△ A B C$ 中，点D，E分别是 $A B ， A C$ 的中点，那么 $D E$ 为 $△ A B C$ 的一条中位线．可得 $D E ∥ B C$ 且 $D E = \frac{1}{2} B C$ ．
应用：如图②，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ，点D，E分别在边 $A B$ ， $A C$ 上，且 $A D = A E$ ．点M，N，P分别是 $D E$ ， $B C$ 和 $C D$ 的中点．已知 $∠ B A C = α$ ．

(1)、当 $α = 90 °$ 时，
①请直接写出： $P M$ 与 $P N$ 的数量关系 ▲ ； $∠ M P N =$ ▲ ；
②是否存在点D，使得以P，M，N为顶点的三角形与 $△ A B E$ 全等？若存在，请求出点D的位置；若不存在，请说明理由；

(2)、将 $△ A B E$ 绕点A旋转，当点D在 $△ A B C$ 内时（如图③），试说明 $P M$ 与 $P N$ 的数量关系，并求出 $∠ M P N$ 的度数（用含α的式子表示）．

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