广西壮族自治区钦州市浦北县2023-2024学年九年级上学期1月期末数学试题

试卷更新日期：2024-02-21 类型：期末考试

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一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，请用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．）

1. 下列关系式中， $y$ 是 $x$ 的反比例函数的是（）

A、 $y = x$ B、 $y = 2 x^{2}$ C、 $y = \frac{1}{x}$ D、 $y = \frac{2}{x + 1}$

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2. 与点 $(3 ， 2)$ 关于原点对称的点的坐标是（）

A、 $(- 3 ， - 2)$ B、 $(- 3 ， 2)$ C、 $(3 ， - 2)$ D、 $(3 ， 2)$

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3. 下列事件中，是必然事件的是（）

A、明天太阳从东方升起 B、五边形的外角和等于 $180 °$ C、购买一张彩票，中奖 D、随意翻开数学课本的某页，这页的页码是偶数

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4. 如图，在 $⊙ O$ 中， $\overset{⌢}{A B} = \overset{⌢}{B C}$ ， $∠ A O B = 40 °$ ，则 $∠ B D C$ 的度数是（）

A、10° B、20° C、30° D、40°

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5. 若方程 $x^{2} - x + k = 0$ 没有实数根，则k值可以是（）

A、 $- 2$ B、 $\sqrt{2}$ C、 $\frac{1}{5}$ D、 $- 1$

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6. 如图，转盘中四个扇形的面积都相等，任意转动这个转盘1次，当转盘停止转动时，指针落在灰色区域的概率是（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{3}{4}$

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7. 如图， $⊙ O$ 的半径为13，弦 $A B = 24$ ， $O C ⊥ A B$ 于点 $C$ ，则 $O C$ 的长为（）

A、10 B、6 C、5 D、12

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8. 将抛物线 $y = x^{2}$ 通过一次平移可得到抛物线 $y = {(x - 3)}^{2}$ ．对这一平移过程描述正确的是（）

A、向右平移3个单位长度 B、向上平移3个单位长度 C、向左平移3个单位长度 D、向下平移3个单位长度

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9. 如图，在等边△ABC中，AB＝6，点D是BC的中点，将△ABD绕点A逆时针旋转后得到△ACE，那么线段DE的长为（）

A、 $2 \sqrt{3}$ B、6 C、 $3 \sqrt{3}$ D、 $4 \sqrt{2}$

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10. 如图，将一块正方形空地划出部分区域进行绿化，原空地一边减少了 $2 m$ ，另一边减少了 $3 m$ ，剩余一块面积为 $20 m^{2}$ 的矩形空地.设原正方形空地的边长为 $x m$ ，则下面所列方程正确的是（）

A、 $(x - 3) (x - 2) = 20$ B、 $(x + 3) (x + 2) = 20$ C、 $x^{2} - 3 x - 2 x = 20$ D、 $x^{2} - 3 \times 2 = 20$

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11. 某品牌自动饮水机，开机加热时每分钟上升 $10 ℃$ ，加热到 $100 ℃$ ，停止加热，水温开始下降．此时水温 $y (℃)$ 与通电时间 $x (m i n)$ 成反比例关系．当水温降至 $20 ℃$ 时，饮水机再自动加热，若水温在 $20 ℃$ 时接通电源，水温 $y$ 与通电时间 $x$ 之间的关系如图所示，则下列说法中正确的是（）

A、上午 $8$ 点接通电源，可以保证当天 $9 ： 30$ 能喝到不超过 $40 ℃$ 的水 B、水温下降过程中， $y$ 与 $x$ 的函数关系式是 $y = \frac{400}{x}$ C、水温从 $20 ℃$ 加热到 $100 ℃$ ，需要 $7 m i n$ D、水温不低于 $30 ℃$ 的时间为 $\frac{77}{3} m i n$

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12. 如图，在四边形 $A B C D$ 中，点 $E$ ， $F$ ， $G$ ， $H$ 分别是 $A B$ ， $B C$ ， $C D$ ， $A D$ 的中点，若四边形 $E F G H$ 是矩形，且其周长是20，则四边形 $A B C D$ 的面积的最大值是（）

A、25 B、30 C、40 D、50

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二、填空题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．）

13. 随机投掷一枚质地均匀的股子，朝上的点是3的概率是．

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14. 如果一元二次方程 $x^{2} - 3 x - 1 = 0$ 的两根为 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，那么 $x_{1} \cdot x_{2} =$ ．

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15. 如图， $△ A B C$ 的顶点都在方格纸的格点上，将 $△ A B C$ 绕点 $O$ 按顺时针方向旋转得到 $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ ，使各顶点仍在格点上，则旋转角的度数是．

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16. 已知圆锥的高h＝2 $\sqrt{3}$ cm，底面半径r＝2cm，则圆锥的全面积是．

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17. 下列是关于抛物线 $y = x^{2} + 2 x - 3$ 的性质：①图象开口向上；②对称轴是直线 $x = - 2$ ；③当 $x < - 1$ 时， $y$ 随 $x$ 的增大而减小；④当 $x < - 1$ 或 $x > 3$ 时， $y > 0$ ，其中正确的是（填写序号）．

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18. 如图， $△ A B C$ 三个顶点分别在反比例函数 $y = \frac{1}{x}$ ， $y = \frac{k}{x}$ 的图象上，若 $∠ C = 90 °$ ， $A C ∥ y$ 轴， $B C ∥ x$ 轴， $S_{△ A B C} = 8$ ，则k的值为．

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三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）

19. 解方程： $x^{2} + 4 x - 5 = 0$ ．

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20. 如图， $△ A B C$ 和 $△ D E F$ 关于点 $O$ 成中心对称．

(1)、找出它们的对称中心 $O$ ；

(2)、若 $A B = 6 ， A C = 5 ， B C = 4$ ，求 $△ D E F$ 的周长；

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21. 一只不透明的袋子中装有4个小球，分别标有编号 $1 ， 2 ， 3 ， 4$ ，这些小球除编号外都相同．

(1)、搅匀后从中任意摸出1个球，这个球的编号是2的概率为．

(2)、搅匀后从中任意摸出1个球，记录球的编号后放回、搅匀，再从中任意摸出1个球．求第2次摸到的小球编号比第1次摸到的小球编号大1的概率是多少？（用画树状图或列表的方法说明）

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22. 直线 $y = \frac{1}{2} x + 2$ 与双曲线 $y = \frac{k}{x}$ 相交于点 $A (m ， 3)$ ，与 $x$ 轴交于点 $C$ ．

(1)、求双曲线表达式；

(2)、请在平面直角坐标系中直接画出直线 $y = \frac{1}{2} x + 2$ 与双曲线 $y = \frac{k}{x}$ 的图象．

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23. 如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成．长方形的长为16m ，宽为6m ，抛物线的最高点C离路面AA₁的距离为8m ．

(1)、建立适当的坐标系，求出表示抛物线的函数表达式；

(2)、一大型货车装载设备后高为7m ，宽为4m ．如果隧道内设双向行驶车道，那么这辆货车能否安全通过？

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24. 如图， $A B$ 为 $⊙ O$ 的直径，点 $C$ 在直径 $A B$ 上（点 $C$ 与 $A$ ， $B$ 两点不重合）， $O C = 3$ ，点 $D$ 在 $⊙ O$ 上且满足 $A C = A D$ ，连接 $D C$ 并延长到 $E$ 点，使 $B E = B D$ ．

(1)、求证： $B E$ 是 $⊙ O$ 的切线；

(2)、当 $B E = 6$ 时，求 $⊙ O$ 半径的长．

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25. 已知抛物线 $y = a x^{2} - 2 a x + 4 (a > 0)$ ．

(1)、抛物线的对称轴为直线 $x =$ ；抛物线与 $y$ 轴的交点坐标为；

(2)、若抛物线的顶点恰好在 $x$ 轴上，写出抛物线的顶点坐标，求它的解析式并画出函数图象；

(3)、在（2）的条件下，若 $A (m - 1 ， y_{1})$ ， $B (m ， y_{2})$ ， $C (m + 2 ， y_{3})$ 为抛物线上三点，且总有 $y_{1} > y_{3} > y_{2}$ ，结合图象，求 $m$ 的取值范围．

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26. 综合与探究．

(1)、【问题情境】
数学活动课上，老师带领同学们一起探索旋转的奥秘．老师出示了一个问题：如图1所示，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $∠ B A C = 90 °$ ，点 $D$ 是边 $B C$ 上一点（ $0 < B D < \frac{1}{2} B C$ ），连接AD，将△ABD绕着点A按逆时针方向旋转，使AB与AC重合，得到△ACE．
连接 $D E$ ，试判断 $△ A D E$ 的形状，并说明理由；

(2)、【深入探究】
希望小组受此启发，如图2，在线段 $C D$ 上取一点 $F$ ，连接 $A F$ ，使得 $∠ D A F = 45 °$ ，连接 $E F$ ，发现 $E F$ 和 $D F$ 有一定的关系，猜想两者的数量关系，并说明理由；

(3)、智慧小组在图2的基础上继续探究，发现 $C F$ ， $D F$ ， $D B$ 三条线段之间也有一定的数量关系，请写出它们的数量关系，并说明理由．

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