广东省云浮市新兴县2023-2024学年八年级上学期期末数学试题

试卷更新日期：2024-02-21 类型：期末考试

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一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 下列图象中，不是轴对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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2. 使分式 $\frac{3}{a - 1}$ 有意义的 $a$ 的取值范围是（）

A、 $a \geq 1$ B、 $a \leq 1$ C、 $a \neq 0$ D、 $a \neq 1$

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3. 下列长度的三条线段可以组成三角形的是（）

A、3，4，6 B、2，5，8 C、3，5，9 D、3，6，9

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4. 纳米二氧化钛能有效降低锂电池的容量衰减，增加锂电池的稳定性，提高电化学性能，某公司金红石型纳米级钛白粉粒径达到了 $50 n m$ ，其中 $1 n m = 0.000000001 m$ ，将 $50 n m$ 用科学记数法表示为（）

A、 $50 \times 1 0^{- 9} m$ B、 $0.5 \times 1 0^{- 10} m$ C、 $0.5 \times 1 0^{- 8} m$ D、 $5 \times 1 0^{- 8} m$

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5. 如图，若 $A B = D E$ ， $A C = D F$ ， $∠ A = ∠ D$ ，则 $△ A B C ≌ △ D E F$ 的依据是（）

A、 $S S S$ B、 $S A S$ C、 $A S A$ D、 $A A S$

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6. 点 $(- 1 ， 2)$ 关于 $x$ 轴对称的点的坐标是（）

A、 $(- 2 ， 1)$ B、 $(1 ， - 2)$ C、 $(2 ， - 1)$ D、 $(- 1 ， - 2)$

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7. 解分式方程 $\frac{x}{x - 2} - \frac{1}{x} = 1$ 时，经过去分母、去括号后得到的结果是（）

A、 $x^{2} - x - 2 = 1$ B、 $x^{2} - x + 2 = x^{2} - 2 x$ C、 $x^{2} - x + 2 = 1$ D、 $x^{2} - x + 2 = x^{2} - 2$

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8. 如图， $O P$ 是 $∠ A O C$ 和 $∠ B O D$ 的平分线， $O A = O C$ ，添加下列一个条件后，依然不能证明 $△ A O B ≌ △ C O D$ 的是（）

A、 $O B = O D$ B、 $∠ A = ∠ C$ C、 $A B = C D$ D、 $∠ B = ∠ D$

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9. 如图， $C$ 为两个直角三角板的公共顶点， $∠ A = ∠ B = 30 °$ ，则图中等腰三角形共有（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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10. 如图，等腰 $△ A B C$ 的底边 $B C$ 长为3，面积是12，腰 $A C$ 的垂直平分线 $E F$ 分别交边 $A C$ ， $A B$ 于点E，F.若 $D$ 为 $B C$ 边的中点， $M$ 为线段 $E F$ 上的一动点，则 $△ C D M$ 周长的最小值为（）

A、4 B、9.5 C、12.5 D、16

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二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分.

11. 正六边形的每个内角的度数为.

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12. 因式分解： $x^{3} - 4 x =$ .

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13. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A D$ 为 $∠ B A C$ 的平分线， $D E ⊥ A B$ 于点E， $D F ⊥ A C$ 于点F， $A B = 4 c m$ ， $A C = 3 c m$ ， $D E$ 的长为 $2 c m$ ，则 $△ A B C$ 的面积是 $c m^{2}$ .

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14. 初中生体能训练中有一项跳跃泥潭障碍训练，小刚平时助跑跳跃距离约为 $4.5 \pm 0.1$ 米，他不确定自己是否能够跳过这个泥潭（ $A B$ 的长度），于是测量了一些相关长度的数据，由于米尺长度有限，小刚测得 $A C = 2.2$ 米， $B C = 2.1$ 米，根据小刚的测量，他完成这项训练挑战.（填“能”或“不能”）

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15. “孔子周游列国”是流传很广的故事.有一次孔子和学生们到距离他们住的驿站15公里的书院参观，学生们步行出发，1小时后，孔子乘牛车出发，牛车的速度是步行的速度的1.5倍，若孔子和学生们同时到达书院，设学生们步行的速度为每小时 $x$ 公里，则可列方程.

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三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题8分，共24分.

16. 计算： $[3 (x + y) (x - y) - 3 x (x + y)] \div y$ .

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17. 先化简，再求值： $(\frac{x^{2} - 16}{x^{2} - 8 x + 16} + \frac{x}{x - 4}) \div \frac{1}{x^{2} - 16}$ ，其中 $x = 3$ .

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18. 如图， $P$ 是 $△ A B C$ 内一点， $∠ C = 70 °$ .

(1)、若 $∠ P A C = 20 °$ ， $∠ P B C = 40 °$ ，求 $∠ A P B$ 的度数.

(2)、若 $P A$ ， $P B$ 分别为 $∠ C A B$ ， $∠ C B A$ 的平分线，求 $∠ A P B$ 的度数.

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四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分.

19. 如图，在网格图中建立平面直角坐标系， $△ A B C$ 的三个顶点坐标分别为 $A (0 ， 1)$ ， $B (3 ， 3)$ ， $C (1 ， 4)$ .

(1)、若 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ 与 $△ A B C$ 关于 $y$ 轴对称，点A，B，C的对应点分别为 $A_{1}$ ， $B_{1}$ ， $C_{1}$ ，则 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ 各顶点的坐标分别为 $A_{1}$ ， $B_{1}$ ， $C_{1}$ .

(2)、请在网格上画出 $△ A B C$ 关于 $x$ 轴的对称图形 $△ A_{2} B_{2} C_{2}$ ，点A，B，C的对应点分别为 $A_{2}$ ， $B_{2}$ ， $C_{2}$ .

(3)、求 $△ A B C$ 的面积.

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20. 如图，点A，C，E在同一条直线上， $△ A B C$ 和 $△ C D E$ 都是等边三角形，连接 $A D$ ， $B E$ ，分别交 $B C$ ， $C D$ 于点P，Q， $A D$ 与 $B E$ 交于点 $G$ .

(1)、求证： $A D = B E$ .

(2)、求 $∠ A G E$ 的度数.

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21. 某校为促进学生德智体美劳全面发展，在建设绿美校园时，需要用同样大小的花盆种植花卉并摆放造型.校方把花盆的装土任务交给八年级（1）班和（2）班.已知（1）班每小时装满土的盆数和（2）班每小时装满土的盆数之和为50，（1）班装满100盆与（2）班装满150盆所用的时间相等.设（1）班每小时装土 $x$ 盆.

(1)、用含 $x$ 的代数式填表：
班级
每小时装土盆数/（盆/小时）
装土时间/小时
装土总盆数/盆
（1）班
$x$
100
（2）班
150

(2)、两个班每小时分别装土多少盆？

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五、解答题（三）：本大题共2小题，每小题12分，共24分.

22. 下面是小林同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应的任务.

在因式分解中，把多项式中的某些部分看作是一个整体，用一个新的字母代替（即“换元”），这样不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”.下面是小林同学用“换元法”对多项式 $(x^{2} - 2 x - 1) (x^{2} - 2 x + 3) + 4$ 进行因式分解的过程.

解：设 $x^{2} - 2 x = y$ .

原式 $= (y - 1) (y + 3) + 4$

$= y^{2} + 2 y + 1$

$= (y + 1)^{2}$

$= {(x^{2} - 2 x + 1)}^{2}$

任务：（1）小林同学因式分解的结果彻底吗？若不彻底，请你写出该因式分解的最后结果：____.

(1)、由平方的非负性可知

(x^{2} - 2 x - 1) (x^{2} - 2 x + 3) + 4

有最小值，则最小值为.

(2)、请你用“换元法”对多项式

(x^{2} + 6 x) (x^{2} + 6 x + 18) + 81

进行因式分解.

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23. 李老师善于通过合适的主题整合教学内容，帮助同学们用整体的、联系的、发展的眼光看待问题，养成科学的思维习惯.下面是李老师在“等腰直角三角形的探究”主题下设计的问题，请你解答。
在等腰直角 $△ D E F$ 中， $F D = E D$ ，过点D，E分别作射线 $C A$ ， $B A$ 交于点 $A$ ，点D，E分别在线段 $C A$ ， $B A$ 上，且 $C A ⊥ B A$ ， $C A = B A$ ，作射线 $F C$ ，过点 $D$ 作 $D G ⊥ F C$ 于点 $G$ ，延长 $G D$ 交射线 $B A$ 于点 $H$ .
图1 备用图

(1)、如图1，试探究此时 $C D$ 与 $H E$ 的数量关系，并给出证明.

(2)、如图1，若 $∠ D E A = 30 °$ ， $∠ D H E = 110 °$ ，求 $∠ G F D$ 的度数.

(3)、若 $C A = 6$ ， $C D = 2$ ， $A H = 1$ ，求 $B E$ 的长.

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班级	每小时装土盆数/（盆/小时）	装土时间/小时	装土总盆数/盆
（1）班	$x$		100
（2）班			150