广东省江门市新会区2023-2024学年九年级上学期期末数学试题

试卷更新日期：2024-02-21 类型：期末考试

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一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）：

1. 若关于x的方程（m﹣2）x²+mx﹣1=0是一元二次方程，则m的取值范围是（）

A、m≠2 B、m=2 C、m≥2 D、m≠0

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2. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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3. 一元二次方程 $x^{2} - 3 x + 3 ＝ 0$ 的根的情况是（）

A、有两个相等的实数根 B、有两个不相等的实数根 C、只有一个实数根 D、没有实数根

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4. 把抛物线 $y = - x^{2}$ 向右平移一个单位，再向上平移3个单位，得到抛物线的解析式为（）

A、 $y = - {(x - 1)}^{2} + 3$ B、 $y = {(x - 1)}^{2} + 3$ C、 $y = - {(x + 1)}^{2} + 3$ D、 $y = {(x + 1)}^{2}$

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5. 在平面直角坐标系中，⊙O的半径为5，圆心在原点O，则P（﹣3，4）与⊙O的位置关系是（）

A、在⊙O上 B、在⊙O内 C、在⊙O外 D、不能确定

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6. 下列成语所描述的事件是必然发生的是（）

A、水中捞月 B、拔苗助长 C、守株待兔 D、瓮中捉鳖

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7. 广州南站到江门站距约 $84.3 k m$ 则动车由子广州南站行驶到江门站所用时间 $y$ （小时）与行驶速度 $x$ （千米/时）之间的函数图象大致是（）

A、 B、 C、 D、

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8. 如图，一次函数 $y = a x + b$ 的图象与反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图象交于点 $A (2 ， 3) ， B (m ， - 2)$ ，则不等式 $a x + b > \frac{k}{x}$ 的解是（）

A、 $- 3 < x < 0$ 或 $x > 2$ B、 $x < - 3$ 或 $0 < x < 2$ C、 $- 2 < x < 0$ 或 $x > 2$ D、 $- 3 < x < 0$ 或 $x > 3$

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9. 如图，⊙O的半径为2，点O到直线l的距离为3，点P是直线l上的一个动点，PQ切⊙O于点Q，则PQ的最小值为（）

A、 $\sqrt{13}$ B、 $\sqrt{5}$ C、3 D、2

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10. 如图是二次函数y＝ax²＋bx＋c的图象，其对称轴为x＝1，下列结论：①abc＞0；②2a＋b＝0；③4a＋2b＋c＜0；④若(－ $\frac{3}{2}$ ，y₁)，( $\frac{10}{3}$ ，y₂)是抛物线上两点，则y₁＜y₂ ，其中结论正确的是（）

A、①② B、②③ C、②④ D、①③④

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二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分）：

11. 写出以 $x_{1} = 4$ 为其中一根的一个一元二次方程．（写出一个即可）

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12. 若反比例函数 $y = \frac{k + 3}{x}$ 的图像径过点 $(3 ， - 2)$ ，则 $k$ 的值为．

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13. 二维码具有储存量大，保密性高，追踪性高，成本便宜等特性，如图是一张边长为5 cm的正方形二维码的示意图，在正方形区域内随机掷点，通过大量重复试验，发现点落在黑色部分的频率稳定在0.7左右，由此可以估计该二维码黑色部分的总面积为 $c m^{2}$ ．

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14. 已知圆锥的底面半径为 $3 c m$ ，将其侧面展开后得到的扇形圆心角为 $120 °$ ，则此圆锥的母线长为 $c m$ ．

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15. 《九章算术》是东方数学思想之源，该书中记载：“今有勾八步，股一十五步，问勾中容圆径几何．”其意思为：“今有直角三角形，勾（短直角边）长为8步，股（长直角边）长为15步，问该直角三角形内切圆的直径是多少步．”该问题的答案是步．

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16. 对于两个不相等的实数 $a$ ， $b$ ，我们规定符号 $m a x {a ， b}$ 表示 $a$ ， $b$ 中较大的数，如： $m a x {- 1 ， 3} = 3$ ．

(1)、方程 $x^{2} + 2 x = m a x {0 ， - 1}$ 的解为；

(2)、方程 $m a x {2 x - 1 ， x} = x^{2}$ 的解为．

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三、解答题（本大题共9小题，满分72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17. 解方程：3x（x-2）=4（2-x）

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18. 如图，在平面直角坐标系中， $△ A B C$ 的三个顶点坐标分别为 $A (1 ， 4)$ ， $B (4 ， 2)$ ， $C (3 ， 5)$ （每个方格的边长均为1个单位长度）．将 $△ A B C$ 绕点 $O$ 逆时针旋转90°，画出旋转后得到的 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ．

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19. 如图， $P A$ ， $P B$ 是 $⊙ O$ 的切线， $A$ ， $B$ 为切点， $A C$ 是 $⊙ O$ 的直径， $∠ A C B = 55 °$ ，求 $∠ A B P$ 和 $∠ P$ 的度数．

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20. 如图，把一个直角三角形 $A C B$ 绕着30°角的顶点 $B$ 顺时针旋转，使得点 $A$ 与 $C B$ 的延长线上的点 $E$ 重合．

(1)、三角形旋转了多少度？

(2)、连接 $C D$ ，求 $∠ B D C$ 的度数．

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21. 共享经济已经进入人们的生活．小沈收集了自己感兴趣的4个共享经济领域的图标，共享出行、共享服务、共享物品、共享知识，制成编号为A、B、C、D的四张卡片（除字母和内容外，其余完全相同）．现将这四张卡片背面朝上，洗匀放好．

(1)、小沈从中随机抽取一张卡片是“共享服务”的概率是；

(2)、小沈从中随机抽取一张卡片（不放回），再从余下的卡片中随机抽取一张，请你用列表或画树状图的方法求抽到的两张卡片恰好是“共享出行”和“共享知识”的概率．（这四张卡片分别用它们的编号A、B、C、D表示）

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22. 已知关于x的方程 $x^{2} + a x + a - 2 = 0$ .

(1)、当该方程的一个根为1时，求a的值及该方程的另一根；

(2)、求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根.

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23. 如图，已知 $A (- 4 ， n)$ ， $B (2 ， - 4)$ 是一次函数 $y = a x + b$ 的图象和反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图象的两个交点．

(1)、求反比例函数和一次函数的解析式；

(2)、求 $△ A O B$ 的面积；

(3)、求不等式 $a x + b - \frac{k}{x} < 0$ 的解集（请直接写出答案）．

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24. 用长为32米的篱笆围一个矩形养鸡场，设围成的矩形一边长为x米，面积为y平方米．

(1)、求y关于x的函数关系式；

(2)、当x为何值时，围成的养鸡场面积为60平方米？

(3)、能否围成面积为70平方米的养鸡场？如果能，请求出其边长；如果不能，请说明理由．

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25. 如图，抛物线y=﹣ $\frac{1}{2}$ x²+mx+n与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知A（﹣1，0），C（0，2）．

(1)、求抛物线的表达式；

(2)、在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由；

(3)、点E时线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，四边形CDBF的面积最大？求出四边形CDBF的最大面积及此时E点的坐标．

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