广东省惠州市2023-2024学年九年级上学期期末数学试题

试卷更新日期：2024-02-21 类型：期末考试

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一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分）

1. 中国古代著作《九章算术》在世界数学史上首次正式引入负数．如果盈利90元记作 $+ 90$ 元，那么亏本60元记作（）

A、 $- 60$ 元 B、 $- 70$ 元 C、 $+ 60$ 元 D、 $+ 70$ 元

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2. 第19届亚运会将于2023年9月23日至2023年10月8日在杭州举行，亚奥理事会45个成员全部报名参赛，参赛运动员人数超过 $12000$ 名，是史上规模最大、项目最多、覆盖面最广的一届亚运会．数据 $12000$ 用科学记数法表示为（）

A、 $0.12 \times 1 0^{5}$ B、 $1.2 \times 1 0^{4}$ C、 $1.2 \times 1 0^{5}$ D、 $12 \times 1 0^{3}$

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3. 下列图标中是中心对称图形的是（）．

A、 B、 C、 D、

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4. 如果将抛物线 $y = 2 (x - 1)^{2}$ 向左平移2个单位，再向下平移2个单位后所得新抛物线的表达式是（）

A、 $y = 2 (x - 3)^{2} - 2$ B、 $y = 2 (x - 3)^{2} + 2$ C、 $y = 2 (x + 1)^{2} - 2$ D、 $y = 2 (x + 1)^{2} + 2$

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5. 如图，小明在A时测得某树的影长为 $8 m$ ， B时又测得该树的影长为 $2 m$ ，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为（）

A、 $2 m$ B、 $4 m$ C、 $6 m$ D、 $8 m$

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6. 如图，已知菱形 $A B C D$ 的周长为 $20$ ，对角线 $A C = 6$ ，则菱形 $A B C D$ 的面积为（）

A、15 B、24 C、25 D、48

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7. 正比例函数y＝2x与反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图象有一个交点为（1，2)，则另一个交点的坐标为（）

A、（-1，-2） B、（-1，2） C、（1，-2） D、（1，2）

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8. 如图，四边形ABCD内接于 $⊙ O$ ，若 $∠ B O D = 100 °$ ，则 $∠ D C B$ 等于（）

A、 $90 °$ B、 $100 °$ C、 $130 °$ D、 $140 °$

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9. 某小区计划在一块长 $32 m$ 、宽 $20 m$ 的长方形空地上修建三条同样宽的道路（如图），剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为 $570 m^{2}$ ．设道路的宽为 $x m$ ，则下面所列方程正确的是（）

A、 $32 \times 20 - 3 x^{2} = 570$ B、 $(32 - x) (20 - x) = 570$ C、 $(32 - 2 x) (20 - x) = 570$ D、 $3 x^{2} = 570$

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10. 如图，矩形ABCD中，AB=2，BC=4，P为矩形边上的一个动点，运动路线是A→B→C→D→A，设P点经过的路程为x，以A，P，B为顶点的三角形面积为y，则选项图象能大致反映y与x的函数关系的是（）

A、 B、 C、 D、

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二、填空题（本题共6题，每小题3分，共18分）

11. 已知a ， b互为相反数，c ， d互为倒数，那么“ $2023 c d - a - b$ ”的值为．

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12. 森林防火报警电话是12119，关于“1，2，1，1，9”这五个数字组成的数据，中位数是．

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13. 如图，将直尺与30°角的三角尺叠放在一起，若 $∠ 1 = 40 °$ ，则 $∠ 2 =$ .

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14. 在平面直角坐标系中，若点 $P (5 + m ， - 2 + m)$ 在第一象限，则 $m$ 的取值范围为．

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15. 广大党员群众积极参加公益活动，据统计某市今年第一批志愿者为10万人次，第三批志愿者为12.1万人次．如果第二批、第三批志愿者人次的增长率相同，则这个增长率是．

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16. 如图所示，四边形 $A B C D$ 是矩形，以 $B C$ 为直径作半圆与 $A D$ 相切于点E ，再以点A为圆心，线段 $A B$ 长为半径作弧，与 $A D$ 交于点E ．若 $A B = \sqrt{2}$ ，则阴影部分的面积为．（结果保留 $π$ ）

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三、解答题（一）（本题共3小题，每题7分，共21分）

17. 计算： $\sqrt{9} - \sqrt{\frac{1}{2}} \cdot \sqrt{8} + {(\frac{1}{2})}^{- 1} - {(π - \sqrt{3})}^{0}$ ．

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18. 先化简，再求值： $\frac{x^{2} - 4 x + 4}{x^{2} - x} \div (1 - \frac{1}{x - 1})$ ；其中 $x = \sqrt{2}$ ．

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19. 如图，已知 $△ A B C$ ， $∠ C = 90 °$ ， $A C = B C$ ， $B E$ 是 $△ A B C$ 的角平分线， $E D ⊥ A B$ 于点D ，证明： $△ A D E$ 的周长等于 $A B$ 的长．

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四、解答题（二）（本题共3小题，每小题9分，共27分）

20. 如图， $D B$ 是 $▱ A B C D$ 的对角线．

(1)、尺规作图：作对角线 $B D$ 的垂直平分线，分别交于 $A D$ ， $B C$ ， $B D$ 于E ， F ， O；（不写作法，保留作图痕迹）

(2)、连接 $B E$ ， $D F$ ，试判断四边形 $D E B F$ 的形状，并说明理由．

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21. 如图，三个可以自由转动的转盘，每个转盘被分成面积相等的几个扇形，并涂上图中所示的颜色小强和小亮用转盘 $A$ 和转盘 $B$ 做一个转盘游戏：同时转动两个转盘，若其中一个转出红色，另一个转出蓝色即可配成紫色，则小强获胜；若两个转盘转出的颜色相同，则小亮获胜；在其他情况下，小强和小亮不分胜负.

(1)、用画树状图或列表的方法表示此游戏所有可能出现的结果；

(2)、小强说，此游戏不公平请你说明理由；

(3)、请你在转盘 $C$ 的空白处，涂上适当颜色，使得用转盘 $C$ 替换转盘 $B$ 后，使游戏对小强和小亮是公平的（在空白处填写表示颜色的文字即可，不要求说明理由，只需给出一种结果即可）.

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22. 为促进青少年体育运动的发展，某教育集团需要购买一批篮球和足球，已知一个篮球比一个足球的单价高 $30$ 元，买两个篮球和三个足球一共需要 $510$ 元.

(1)、求篮球和足球的单价；

(2)、根据实际需要，集团决定购买篮球和足球共 $100$ 个，其中篮球购买的数量不少于 $40$ 个，若购买篮球 $x$ 个，学校购买这批篮球和足球的总费用为 $y$ （元），求 $y$ 与 $x$ 之间的函数关系式；

(3)、在（2）的条件下，由于集团可用于购买这批篮球和足球的资金最多为 $10500$ 元，求购买篮球和足球各多少个时，能使总费用 $y$ 最小，并求出 $y$ 的最小值.

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五、解答题（三）（本题共2题，每题12分，共24分）

23. 如图，在 $⊙ O$ 中，直径 $A B ⊥ C D$ ，垂足为E ，点M在 $O C$ 上， $A M$ 的延长线交 $⊙ O$ 于点G ，交过C的直线于F ， $∠ 1 = ∠ 2$ （即： $∠ B C F = ∠ B C D$ ），连接 $C B$ 与 $D G$ 交于点N ．

(1)、求证： $C F$ 是 $⊙ O$ 的切线；

(2)、求证： $\frac{C M}{C N} = \frac{A C}{C D}$ ；

(3)、若点M是 $O C$ 的中点， $⊙ O$ 的半径长为4， $E O = 1$ ，求 $B N$ 的长．

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24. 如图，抛物线 $y = x^{2} + b x + c$ 与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C ， $O A = O C = 3$ ，顶点为D ．

(1)、求此函数的关系式；

(2)、在 $A C$ 下方的抛物线上有一点N ，过点N作直线 $l ∥ y$ 轴，交 $A C$ 于点M ，当点N坐标为多少时，线段 $M N$ 的长度最大？最大是多少？

(3)、在对称轴上有一点K ，在抛物线上有一点L ，若使A ， B ， K ， L为顶点形成平行四边形，求出K ， L点的坐标．

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