湖北省武汉市蔡甸区等3地2023-2024学年八年级上学期期末数学试题

试卷更新日期：2024-02-21 类型：期末考试

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一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

1. 在①②③④这四个图形中，具有稳定性的有几个？（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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2. 计算： ${(a^{2})}^{3} \cdot a^{5} =$ （）

A、 $a^{10}$ B、 $a^{11}$ C、 $a^{13}$ D、 $3 a^{7}$

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3. 使分式 $\frac{2}{x^{2} - 1}$ 有意义的条件是（）

A、 $x \neq 1$ B、 $x \neq - 1$ C、 $x \neq \pm 1$ D、 $x \neq 0$

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4. 如图，AC和BD相交于点 $O$ ， $O A = O C$ ， $O B = O D$ ，下列说法错误的是（）

A、 $A B ∥ C D$ B、 $A B = C D$ C、 $A B \neq C D$ 但是 $A B ∥ C D$ D、 $A B = C D$ 且 $A B ∥ C D$

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5. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $C D$ 是高， $∠ A = 30 °$ ，则 $A D ： B D =$ （）

A、3：1 B、3：2 C、4：1 D、2：1

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6. 一个多边形的内角和是它的外角和的6倍，则这个多边形是几边形？（）

A、十一边形 B、十二边形 C、十三边形 D、十四边形

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7. 已知当 $x = - 4$ 时，分式 $\frac{x - b}{2 x + a}$ 无意义；当 $x = 2$ 时，此分式的值为0，则 ${(\frac{2 a}{b})}^{2} \cdot \frac{1}{a - b} - \frac{a}{b} \div \frac{b}{4}$ 的值是（）

A、 $\frac{3}{4}$ B、 $\frac{8}{3}$ C、 $\frac{4}{5}$ D、 $\frac{4}{3}$

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8. 已知：如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $A C = B C$ ．点 $D$ 在CB的延长线上， $A E = A D$ 且 $A E ⊥ A D$ ，连BE，AC的延长线交BE于点 $F$ ．若 $C F = \frac{2}{5} A C$ ，则 $\frac{D B}{B C} =$ （）

A、 $\frac{4}{5}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{3}{4}$ D、 $\frac{5}{7}$

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9. 已知 $x$ ， $y$ ， $z$ 都是正整数，其中 $x > y$ ，且 $x^{2} - x z - x y + y z = 23$ ，设 $a = x - z$ ，则 $[(3 a - 1) (a + 2) - 5 a + 2] \div a =$ （）

A、3 B、69 C、3或69 D、2或46

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10. 如图， $△ A B C$ 是等腰直角三角形，将直角三角形 $△ D E F$ 的直角顶点 $D$ 放在BC的中点上，转动 $△ D E F$ ，设DE，DF分别交AC，BA的延长线于点E，G，连EG，有下列结论：
① $∠ F G E = 135 °$ ；②若 $A C = 5$ ， $B G = 8$ ．则 $C E = 3$ ；③ $E F = 2 D G$ ；④ $2 S_{△ B D G} = S_{△ A B C} + 2 S_{△ C D E}$ ，其中正确的结论有几个？

A、4个 B、3个 C、2个 D、1个

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二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）

11. 如图， $∠ C = 90 °$ ， $∠ 1 = ∠ B$ ，则 $∠ A D E =$ 度．

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12. 计算： $\frac{5 x + 3 y}{x^{2} - y^{2}} - \frac{2 x}{x^{2} - y^{2}} =$ .

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13. 如图，在 $△ A B C$ 中，AD是它的角平分线，点 $P$ 是线段AD上的任一点（不与A、 $D$ 重合）， $P E ∥ A B$ ，交BC于点 $E$ ， $P F ∥ A C$ ，交BC于点 $F$ ，若点 $D$ 到PE的距离为3， $P F = 6$ ，则 $S_{△ P D F} =$

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14. 已知a，b，c是等腰三角形ABC的三边（注：c可能是 $a$ ，也可能是 $b$ ），且满足 $5 a^{2} + b^{2} - 6 a = 4 a b - 9$ ．设这个等腰三角形ABC的周长为 $x$ ，则 $(3 x + 1) (x + 2) - 3 x^{2} =$

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15. 在 $△ A B C$ 中， $∠ B$ 与 $∠ C$ 的角平分线交于点 $I$ ，边AB和边AC的垂直平分线交于点 $O$ ，则 $∠ B I C$ 与 $∠ B O C$ 的数量关系是

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16. 如图，等边 $△ O A P$ 在坐标系中如图放置，其顶点 $A$ 的坐标为 $(- 1 ， 0)$ ，将 $△ O A P$ 沿 $x$ 轴正方向连续翻转（看箭头）若干次，点 $A$ 依次落在点 $A_{1}$ ， $A_{2}$ ， $A_{3}$ ， $A_{4}$ ， …， $A_{2023}$ 的位置上，设点 $A_{2023}$ 的横坐标为 $a$ ，则方程 $\frac{x}{x + 1} = \frac{2 x}{3 x + 3} + a - 3029.5$ 的解为

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三、解答题（共8小题，共72分）

17. 计算：

(1)、 $\frac{x + 1}{x} - \frac{1}{x} + 2$

(2)、 $\frac{a + b}{a - b} \cdot \frac{b - a}{a + b} \div \frac{1}{b - a}$

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18. 化简：
$[8 a^{2} \cdot a^{4} - {(a^{3})}^{2}] \div a^{4}$

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19. 已知如图， $A B = C D$ ， $A E ⊥ B C$ ， $D F ⊥ B C$ ，垂足分别为点 $E$ ， $F$ ， $C E = B F$ ；求证： $∠ A = ∠ D$ ．

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20. 先化简，再求值：
$(\frac{x + 2}{x^{2} - 2 x} - \frac{x - 1}{x^{2} - 4 x + 4}) \div \frac{x - 4}{x}$ ，其中 $x$ 是方程 $\frac{x - 3}{x - 2} + 1 = \frac{3}{2 - x}$ 的解．

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21. 如图，在下列带有坐标系的网格图中，△ABC的顶点都在边长为1的小正方形的顶点（我们也把这样的顶点叫做格点）上．

(1)、直接写出△ABC的面积．

(2)、画出△ABC关于y轴对称的△DEC（点D与点A对应），直接写出点D的坐标 ▲ ．

(3)、仅用无刻度的直尺在给定的网格中完成画图．在如图中画出△ABC的高线BF，不写画法，保留作图痕迹．（用虚线表示画图过程，实线表示画图结果）．

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22.

(1)、问题背景：两个小组同时开始攀登一座450m高的山，第一组的攀登速度是第二组的1.2倍，他们比第二组早15min到达顶峰，求这两个小组的攀登速度各是多少？

(2)、尝试应用：如果山高为hm，第一组的攀登速度是第二组的a倍（其中a＞1），并且比第二组早tmin到达顶峰，设第一组的速度为 $V_{1}$ ，第二组的速度为 $V_{2}$ ．
①请直接写出 $V_{1} =$ ▲ ， $V_{2} =$ ▲ ．（结果用含h、a、t的式子表示）
②化简： $\frac{1}{V_{1} - V_{2}} - \frac{t}{h a - h}$ ．（结果用含h、a、t的式子表示）

(3)、拓展应用：在（2）的条件下，设 $V = V_{1} + V_{2}$ ， $a h = 1$ ，分解因式： $x^{2} - \frac{5 (a t V + h) x}{a} + \frac{6 (a t V + h)^{2}}{a^{2}} =$ （直接写出结果）

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23. 如图，在等腰 $R t △ A B C$ 中， $∠ A = 90 °$ ， $A B = A C$ ，点 $E$ 为线段AB上一动点（不与点B重合）， $C E ⊥ C F$ 且 $C E = C F$ ．

(1)、连接BF交AC于点 $M$ ，设 $\frac{B E}{A B} = m$ ．
①当 $m = 1$ 时，如图1，则 $\frac{B M}{M F} =$ ▲ ．
②当 $m = \frac{4}{9}$ 时，如图2，若 $A B = 18$ ，求MC的长．

(2)、如图3，作 $F P ⊥ C F$ 交CA的延长线于点 $P$ ， $E Q ⊥ E C$ 交BC于点 $Q$ ，连接PQ，求证： $P Q = P F - E Q$ ．

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24. 如图，在平面直角坐标系中，点 $A (a ， 0)$ 是 $x$ 轴正半轴上一点，点 $B (0 ， b)$ 是 $y$ 轴正半轴上一点，且 $a = (- 2) \times (- 2)^{4} \times (- 2)^{3} \div 64$ ， $b$ 是多项式 $(6 m^{3} + 12 m^{2} - 7 m) \div 3 m$ 中一次项的系数．

(1)、直接写出 $A$ ， $B$ 两点的坐标：A（，），B（，）

(2)、如图1，点C为线段OA上一点（点C不与 $O$ 、A重合）且满足： $B C = C E$ ，连AE，点 $D$ 为 $x$ 轴上一点（点 $D$ 在点 $A$ 的右边），若 $∠ D A E = 45 °$ ，求证： $B C ⊥ C E$ ．

(3)、如图2，过点 $O$ 作 $O F ⊥ A B$ 于点 $F$ ，以OB为边在 $y$ 轴左侧作等边 $△ O B Q$ ，连接AQ交OF于点 $P$ ，请探究线段PQ、OP、AP三者之间的数量关系并证明你的结论．

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