湖北省武汉市汉阳区2023-2024学年八年级上学期期末数学试题

试卷更新日期：2024-02-21 类型：期末考试

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一、选择题（共10个小题，每小题3分，共30分）下列各题中有且只有一个正确答案，请在答题卡上将正确答案的标号涂黑．

1. 下列运动标记中是轴对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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2. 把 $3 a - (2 a - 1)$ 去括号，再合并同类项的结果正确的是（）

A、 $5 a - 1$ B、 $5 a + 1$ C、 $a - 1$ D、 $a + 1$

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3. 下列变形正确的是（）

A、 $\frac{x}{y} = \frac{x + 1}{y + 1}$ B、 $\frac{x^{2} + y^{2}}{x + y} = x + y$ C、 $\frac{- x + y}{x - y} = - 1$ D、 $\frac{y}{x} = \frac{x}{y}$

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4. 根据下列已知条件，能确定 $△ A B C$ 的形状和大小的是（）

A、 $∠ A = 30 °$ ， $∠ B = 60 °$ ， $∠ C = 90 °$ B、 $∠ A = 40 °$ ， $∠ B = 50 °$ ， $A B = 5 c m$ C、 $A B = 5 c m$ ， $A C = 4 c m$ ， $∠ B = 30 °$ D、 $A B = 6 c m$ ， $B C = 4 c m$ ， $∠ A = 30 °$

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5. 下列计算正确的是（）

A、 $x^{2} \cdot x^{5} = x^{10}$ B、 ${(a^{2})}^{3} = a^{6}$ C、 ${(- 5 b)}^{3} = - 15 b^{3}$ D、 $a^{0} = 1$

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6. 下列式子从左到右变形是因式分解的是（）

A、 ${(x - y)}^{2} = {(x + y)}^{2} - 4 x y$ B、 $(x + y) \cdot (x - y) = x^{2} - y^{2}$ C、 $x^{2} - 3 x + 2 = (x - 1) (x - 2)$ D、 $x^{2} - 3 x + 1 = x (x - 3) + 1$

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7. 如图，点E是 $△ A B C$ 内一点， $B E$ 平分 $∠ A B C$ ，过点E作 $E D ⊥ B C$ 于D，连 $E A$ ．若 $E D = 5$ ， $A B = 10$ ，则 $△ A E B$ 的面积是（）

A、20 B、30 C、25 D、15

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8. 已知分式 $\frac{2 x + b}{x - a}$ （a，b为常数）满足表格中的信息，则下列结论中错误的是（）
x的取值
2
m
$- 2$
分式的值
0
3
无解

A、 $b = - 4$ ； B、 $a = 2$ ； C、 $m = - 10$ ； D、 $a = - 2$ .

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9. 如图为2024年某月日历，现用一个正方形方框框住部分（阴影部分）9个位置上的数，若最小的数与最大的数的积记为n，中间位置上的数记为m．下列所给的数据中，n不可能是（）

A、377 B、420 C、465 D、512

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10. 如图， $△ A B C$ 的面积为6， $A B = 5$ ， $A D$ 平分 $∠ B A C$ ．若E，F分别是 $A C$ ， $A D$ 上的动点，则 $F E + F C$ 的最小值（）

A、 $\frac{24}{5}$ B、 $\frac{12}{5}$ C、 $\frac{5}{2}$ D、3

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二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）

11. 分解因式： $4 x^{2} - 9$ =.

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12. 若 $a b = 1$ ，且 $m = \frac{1}{1 + a} + \frac{1}{1 + b}$ ， $n = \frac{a}{1 + a} + \frac{b}{1 + b}$ ，则m，n的大小关系是．

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13. 如图，在 $△ P M N$ 中，点P，M在坐标轴上， $P (0 ， 2)$ ， $N (2 ， - 2)$ ， $P M = P N$ ， $P M ⊥ P N$ ，则点M的坐标是

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14. 一个容器装有1L水，按照如下要求把水倒出：第1次倒出 $\frac{1}{2} L$ 水，第2次倒出的水量是 $\frac{1}{2} L$ 的 $\frac{1}{3}$ ，第3次倒出的水量是 $\frac{1}{3} L$ 的 $\frac{1}{4}$ ，第4次倒出的水量是 $\frac{1}{4} L$ 的 $\frac{1}{5}$ ……，则第n次倒出后，倒出的水的总量为L．

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15. 已知如图， $△ A B C$ 中， $A C = B C$ ， $A D$ 平分 $∠ B A C$ 交 $B C$ 于点D， $∠ B = a$ ，有以下结论：
①若 $a = 45 °$ ，则 $A B = A C + C D$ ；
②若 $a = 40 °$ ，则 $A B = A D + C D$ ；
③若 $a = 36 °$ ，则 $A B = A C + C D$ ；
④若 $a = 30 °$ 、则 $A B = A C + 2 C D$ ．
其中正确的有．

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16. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $∠ B A C = 140 °$ ；点D在 $B C$ 边上，将 $△ A B D$ 沿 $A D$ 所在直线翻折得 $△ A D F$ 、 $∠ F A C$ 角平分线交 $B C$ 边于点G，连接 $F G$ ， $∠ B A D = θ$ ．若 $△ D F G$ 为等腰三角形，则θ的值．

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三、解答题（共8小题，共72分）下列各题需要在答题卡指定的位置写出文字说明、证明过程、演算步骤或画出图形．

17. 计算

(1)、 $a^{3} \cdot a^{4} \cdot a + {(a^{2})}^{4}$ ；

(2)、 $(- 4 x^{2}) (3 x + 1)$ ；

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18.

(1)、因式分解： $8 a^{3} b^{2} + 12 a b^{3} c$ ；

(2)、先化简，再求值： $(x - y + \frac{4 x y}{x - y}) (x + y - \frac{4 x y}{x + y})$ ，其中 $x = \sqrt{5} + 1$ ， $y = \sqrt{5} - 1$ ．

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19. 关于x的方程 $\frac{a x}{x - 2} + \frac{4}{2 - x} = 1$

(1)、若 $a = 3$ ，则解这个分式方程；

(2)、若这个关于x的方程无解，直接写出a的值．

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20.
如图，在△ABC中，AB=AD=DC，∠BAD=26°，求∠B和∠C的度数.

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21. 如图是由小正方形组成的 $7 \times 6$ 网格，每个小正方形的顶点叫做格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，若A，B，C三点是格点．

(1)、请在图1中画所有点D，使 $△ A B C$ 与 $△ B C D$ 全等；

(2)、请在图2中的线段 $B C$ 上画点E，使 $∠ C A E = ∠ A B C$ ．

(3)、如图3，点P为 $A B$ 上不在格点与格线上的任一点，画点Q，使P、Q点关于 $B C$ 所在直线对称．

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22. 某商店决定购买甲、乙两种型号的文具共10件．已知用90元购买甲型号的文具数与用75元购买乙型号的文具数相同．每件文具价格及每件利润如下表所示．
类型
甲
乙
价格（元/件）
m
$m - 3$
利润（元/件）
2
3

(1)、求m的值；

(2)、受疫情影响，商店老板这个月准备用不超过168元购买甲、乙两种文具，问有多少种购买方案？并求出这个月获得利润最小时甲、乙文具的数量．

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23. 如图

(1)、问题呈现：借助几何图形探究数量关系，是一种重要的解题策略，图1，图2是用边长分别为a，b的两个正方形和边长为a，b的两个长方形拼成的一个大正方形，利用图形可以推导出的乘法公式分别是图1图2；（用字母a，b表示）

(2)、数学思考：利用图形推导的数学公式解决问题
①已知 $a + b = 7$ ， $a b = 12$ ，求 $a^{2} + b^{2}$ 的值；
②已知 $(2024 - x) (2022 - x) = 2023$ ，求 ${(2024 - x)}^{2} + {(x - 2022)}^{2}$ 的值．

(3)、拓展运用：如图3，点C是线段 $A B$ 上一点，以 $A C$ ， $B C$ 为边向两边作正方形 $A C D E$ 和正方形 $C B G F$ ，面积分别是 $S_{1}$ 和 $S_{2}$ ．若 $A B = m$ ， $S = S_{1} + S_{2}$ ，则直接写出 $R t △ A C F$ 的面积．（用S，m表示）．

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24. 如图，点 $A (- 4 ， 0)$ ， $B (0 ， 3)$ 在平面直角坐标系中的坐标轴上，点 $P (- 1 ， 1)$ 为 $△ A O B$ 内一点， $A B = 5$ ．

(1)、求点P到 $A B$ 的距离；

(2)、如图1，射线 $B P$ 交 $O A$ 的垂直平分线于点C，试判断 $△ P A C$ 的形状，并说明理由；

(3)、如图2， $Q (m ， 0)$ 为x轴正半轴上一点，将 $A Q$ 沿 $P Q$ 所在直线翻折，与y轴，线段 $A B$ 分别交于点F，G，试探究 $△ B F G$ 的周长是否会发生变化，若变化，求变化范围；若不变，求 $△ B F G$ 的周长．

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类型	甲	乙
价格（元/件）	m	$m - 3$
利润（元/件）	2	3

x的取值	2	m	$- 2$
分式的值	0	3	无解