湖北省武汉市东湖高新区2023-2024学年九年级（上）期末数学试卷

试卷更新日期：2024-02-21 类型：期末考试

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一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 下列环保标志，既是轴对称图形，也是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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2. 事件①：任意画一个多边形，其外角和为360°；事件②：经过一个有交通信号灯的十字路口，遇到红灯；则下列说法正确的是（）

A、事件①和②都是随机事件 B、事件①是随机事件，事件②是必然事件 C、事件①和②都是必然事件 D、事件①是必然事件，事件②是随机事件

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3. 若一元二次方程 $x^{2} - 3 x + a = 0$ 的一个根为 $x = 2$ ，则 $a$ 的值为（）

A、 $2$ B、 $- 2$ C、 $4$ D、 $- 4$

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4. 在平面直角坐标系中，以点 $(4，3)$ 为圆心， $4$ 为半径的圆与坐标轴的位置关系为（）

A、与 $x$ 轴相切 B、与 $x$ 轴相离 C、与 $y$ 轴相切 D、与 $y$ 轴相交

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5. 我国古代数学家杨辉的 $《$ 田亩比数乘除减法 $》$ 中记载：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？”翻译成数学问题是：一块矩形田地的面积为 $864$ 平方步，它的宽比长少 $12$ 步 $.$ 如果设宽为 $x$ 步，则可列出方程（）

A、 $x (x - 6) = 864$ B、 $x (x - 12) = 864$ C、 $x (x + 6) = 864$ D、 $x (x + 12) = 864$

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6. 已知 $△ A B C$ 在正方形网格中的位置如图所示， $A$ ， $B$ ， $C$ ， $P$ 四点均在格点上，则点 $P$ 叫做 $△ A B C$ 的（）

A、垂心 $($ 三边高线的交点 $)$ B、重心 $($ 三边中线的交点 $)$ C、外心 $($ 三边垂直平分线的交点 $)$ D、内心 $($ 三内角平分线的交点 $)$

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7. 已知二次函数y=x²-2x+c的图象经过点P(-1，y₁)和Q(m，y₂)．若y₁<y₂ ，则m的取值范围是（）

A、-1<m<3 B、1<m<3 C、m<-1或m>3 D、m<-1

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8. 有一个从不透明的袋子中摸球的游戏，这些球除颜色外都相同，小红根据游戏规则，作出了如图所示的树状图，则此次摸球的游戏规则是（）

A、随机摸出一个球后放回，再随机摸出 $1$ 个球 B、随机摸出一个球后不放回，再随机摸出 $1$ 个球 C、随机摸出一个球后放回，再随机摸出 $3$ 个球 D、随机摸出一个球后不放回，再随机摸出 $3$ 个球

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9. 如图，点 $P$ 在 $⊙ O$ 的直径 $A B$ 上，作正方形 $P C D E$ 和正方形 $P F G H$ ，其中点 $D$ ， $G$ 在直径所在直线上，点 $C$ ， $E$ ， $F$ ， $H$ 都在 $⊙ O$ 上，若两个正方形的面积之和为 $16$ ， $O P = \sqrt{2}$ ，则 $D G$ 的长是（）

A、 $6 \sqrt{2}$ B、 $2 \sqrt{14}$ C、 $7$ D、 $4 \sqrt{3}$

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10. 已知抛物线 $y = x^{2} + a x + b$ 与 $x$ 轴两个交点间的距离为 $2$ ，将此抛物线向右平移 $2$ 个单位，再向下平移 $3$ 个单位，得到一条新抛物线，则新抛物线与 $x$ 轴两个交点间的距离是（）

A、 $4$ B、 $5$ C、 $8$ D、 $4 \sqrt{3}$

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二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。

11. 在平面直角坐标系中，点 $(- 3，4)$ 关于原点对称的点的坐标是．

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12. 若 $x_{1} = m$ ， $x_{2} = n$ 是一元二次方程 $x^{2} - 2 x - 5 = 0$ 的两个实数根，则 $m n - m - n =$ ．

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13. 如图是可以自由转动的三个转盘，请根据下列情形回答问题 $($ 不考虑指针落在分界线上 $)$ ．

(1)、转盘 $1$ 被分成了 $2$ 个扇形，圆心角为 $120 °$ 的扇形涂成红色，其余部分涂成白色，转动转盘 $1$ ，当转盘 $1$ 停止转动时，指针落在红色区域的概率是．

(2)、转盘 $2$ 、转盘 $3$ 都已被分成了 $3$ 个相同的扇形，并且分别涂成红色、白色、黄色，同时转动转盘 $2$ 和转盘 $3$ ，当两个转盘停止转动时，则指针落在区域的颜色都是红色的概率为．

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14. 如图，以点 $O$ 为中心的量角器与直角三角板 $A B C$ 按如图方式摆放，量角器的 $0$ 刻度线与直角三角板的斜边 $A B$ 重合，点 $D$ 为斜边 $A B$ 上一点，作射线 $C D$ 交半圆弧 $A B$ 于点 $E$ ，如果点 $E$ 在量角器上对应的读数为 $50 °$ ，那么 $∠ B D E$ 的大小为．

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15. 如图，二次函数 $y = a x^{2} + b x + c (a < 0)$ 的图象与 $x$ 轴的正半轴相交于 $A (x_{1} ， 0)$ ， $B$ 两点 $(0 < x_{1} < 1)$ ，与 $y$ 轴交于点 $C .$ 对称轴为直线 $x = 2$ ，且 $O A = O C$ ，下列结论，其中正确的结论是 $. ($ 填写正确结论的序号 $)$
$① a b c > 0$ ； $② 4 a + b = 0$ ； $③$ 若 $a x^{2} + b x + c < x + c$ ，则 $0 < x < - c$ ； $④$ 关于 $x$ 的方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 有一个根为 $x = - \frac{1}{a}$ ．

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16. 如图，在等腰 $R t △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ，请将等腰 $R t △ A B C$ 以点 $A$ 为旋转中心旋转 $60 °$ 得到 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ，延长 $B_{1} C_{1}$ 与直线 $A B$ 交于点 $D$ ，若 $A C = 2$ ，则线段 $C_{1} D$ 的长为．

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三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17. 已知二次函数 $y = x^{2} + 4 x - 3$ ．

(1)、用配方法将二次函数的一般式化成 $y = a (x - h)^{2} + k$ 的形式；

(2)、分别写出此二次函数图象的开口方向、顶点坐标、对称轴．

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18. 若关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} + 4 x + m - 1 = 0$ 有两个相等的实数根，求 $m$ 的值及方程的根．

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19. 如图，将 $△ A B C$ 绕点 $A$ 逆时针旋转 $140 °$ 得到 $△ A D E$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ 三点恰好在同一直线上．

(1)、判断 $△ A C E$ 的形状；

(2)、连接 $C E$ ，若 $C E ⊥ B D$ ，求 $∠ B A C$ 的度数．

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20. 一只不透明袋中装有

1

个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，某课外学习小组做摸球试验：将球搅匀后从袋中摸出

1

个球，记下颜色后放回、揽匀，不断重复这个过程，获得数据如下：

摸球的次数	$200$	$300$	$400$	$1000$	$1600$	$2000$
摸到白球的频数	$72$	$93$	$130$	$334$	$532$	$667$
摸到白球的频率	$0.3600$	$0.3100$	$0.3250$	$0.3340$	$0.3325$	$0.3335$

(1)、该小组发现，摸到白球的频率在一个常数附近摆动，这个常数是

(

精确到

0.001)

，由此估出红球有个；

(2)、现从该袋中随机摸出一个球，不放回，再摸出一个球，请用画树状图或列表法求恰好摸到

1

个白球和

1

个红球的概率．

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21. 如图，以 $A D$ 为直径的半圆 $O$ 经过 $R t △ A B C$ 斜边 $A B$ 的两个端点，半圆 $O$ 与直角边 $A C$ 交于点 $E$ ，且 $B$ ， $E$ 两点是半圆弧的三等分点．

(1)、在图 $1$ 中，请仅用无刻度的直尺，按要求完成下列作图 $($ 作图过程用虚线，作图结果用实线 $)$ ．
$①$ 画一条和 $B C$ 平行的弦； $②$ 画 $B E$ 的中点 $M$ ．

(2)、如图 $2$ ，已知 $⊙ O$ 的半径为 $4$ ，求图中两个阴影部分面积的和．

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22. 中山公园的人工湖里安装一个喷泉，在湖心处竖直安装一根水管，在水管的顶端安装一个喷水头，喷出的水柱形状可看作是抛物线的一部分，若记水柱上某一点的位置与水管的水平距离为 $x$ 米，与湖面的垂直高度为 $y$ 米，表中记录了 $x$ 与 $y$ 的五组数据：
$x ($ 米 $)$
     $0$
     $1$
     $2$
     $3$
     $4$
$y ($ 米 $)$
         $0.5$
         $1.25$
         $1.5$
         $1.25$
         $0.5$

(1)、根据表中所给数据，在图 $1$ 建立的平面直角坐标系中画出表示 $y$ 与 $x$ 函数关系的图象；

(2)、求 $y$ 与 $x$ 的函数表达式；

(3)、公园准备调节水管露出湖面的高度，使游船能从抛物线形水柱下方通过，如图 $2$ 所示，为避免游船被喷泉淋到，要求游船以抛物线的对称轴为中轴线从水柱下方通过时，顶棚上任意一点到水柱的竖直距离均不小于 $0.5$ 米，已知游船顶棚宽度 $2$ 米，顶棚到湖面的高度为 $1.8$ 米，请计算分析水管露出湖面的高度 $($ 喷水头忽略不计 $)$ 至少调节到多少米才能符合要求？

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23. 如图

(1)、【问题背景】如图 $1$ ，已知 $△ A B C$ 和 $△ A D E$ 都是等边三角形，求证： $B D = C E$ ：

(2)、【尝试应用】如图 $2$ ，在 $△ A B C$ 中， $∠ B A C = 60 °$ ，在 $A C$ 上截取 $A F = A B$ ，连接 $B F$ ， $D$ 为 $B C$ 上一点，将线段 $B D$ 绕点 $B$ 逆时针旋转 $60 °$ ，得到线段 $B E$ ，连接 $A E$ 并延长交线段 $B F$ 于点 $M$ ，且 $B M = C F$ ，求证：点 $D$ 为线段 $B C$ 的中点：

(3)、【拓展探究】如图 $3$ ，在 $△ A B C$ 中， $∠ B A C = 60 °$ ，点 $D$ 为边 $A C$ 上的一点，当 $A D > A B$ 时，连接 $B D$ ，将线段 $B D$ 绕点 $B$ 逆时针旋转 $60 °$ ，得到线段 $B E$ ，连接 $A E$ ， $D E$ ，若 $A D = 4$ ，请直接写出 $△ A B E$ 面积的最大值为．

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24. 如图

(1)、已知抛物线 $C_{1}$ ： $y = a x^{2} + b x$ 经过原点 $O$ ，其顶点 $P$ 的坐标为 $(2 ， 4) .$ 求抛物线 $C_{1}$ 的函数表达式；

(2)、如图 $1$ ，若抛物线 $C_{1}$ 与 $x$ 轴交于另一点 $E$ ，过 $O$ ， $E$ 两点作开口向下的抛物线 $C_{2}$ ，设其顶点为 $Q ($ 点 $Q$ 在点 $P$ 的下方 $)$ ，线段 $P Q$ 的垂直平分线与抛物线 $C_{1}$ 相交于 $M$ ， $N$ 两点，若四边形 $P M Q N$ 的面积为 $\frac{32 \sqrt{2}}{27}$ 时，求抛物线 $C_{2}$ 的函数表达式；

(3)、如图 $2$ ，将抛物线 $C_{1}$ 向左平移 $1$ 个单位长度，得到抛物线 $C_{3}$ ，且与 $y$ 轴正半轴， $x$ 轴正半轴分别交于 $A$ ， $B$ 两点，连接 $A B$ ，过点 $P$ 作 $P H ⊥ x$ 轴于点 $H$ ，在直线 $P H$ 上有一点 $C$ ，坐标平面内有一点 $D$ ，使得以 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ 四点为顶点的四边形是矩形，请直接写出所有满足条件的 $D$ 点的坐标：．

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$x ($ 米 $)$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$
$y ($ 米 $)$	$0.5$	$1.25$	$1.5$	$1.25$	$0.5$