2024年北师大版数学八年级下册周测卷（第一章第3-4节）培优卷

试卷更新日期：2024-02-21 类型：同步测试

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一、选择题

1. 如图，用直尺和圆规作 $∠ M A N$ 的角平分线，根据作图痕迹，下列结论不一定正确的是（）

A、 $A D = A E$ B、 $A D = D F$ C、 $D F = E F$ D、 $A F ⊥ D E$

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2. 如图，在 $△ A B C$ 中，分别以点A和点C为圆心，大于 $\frac{1}{2} A C$ 的长为半径作弧（弧所在圆的半径都相等），两弧相交于M，N两点，直线 $M N$ 分别与边 $B C ， A C$ 相交于点D，E，连接 $A D$ ．若 $B D = D C ， A E = 4 ， A D = 5$ ，则 $A B$ 的长为（）

A、9 B、8 C、7 D、6

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3. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A C = B C$ ， $A B = 6$ ， $△ A B C$ 的面积为12， $C D ⊥ A B$ 于点 $D$ ，直线 $E F$ 垂直平分 $B C$ 交 $A B$ 于点 $E$ ，交 $B C$ 于点 $F$ ， $P$ 是线段 $E F$ 上的一个动点，分别连接 $B P$ ， $P D$ ，则 $△ P B D$ 的周长的最小值是（）

A、6 B、7 C、10 D、12

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4. 如图，四边形ABCD中，AB＝CB ， DA＝DC ，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，以下四个结论，正确的有（）
①AC⊥BD；②AC＝2OA；③AC平分∠BAD；④四边形ABCD的面积＝ $\frac{1}{2}$ AC•BD.

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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5. 如图，在△ABC中，AB边的中垂线DE，分别与AB、AC边交于点D、E两点，BC边的中垂线FG，分别与BC、AC边交于点F、G两点，连接BE、BG．若△BEG的周长为16，GE＝1．则AC的长为（）

A、13 B、14 C、15 D、16

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6. 如图，在△ABC中，AB=AC，AD是△ABC的角平分线，过点D分别作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F，则下列结论错误的是（）

A、∠ADC=90° B、DE=DF C、AD=BC D、BD=CD

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7. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $A D$ 平分 $∠ B A C$ 交 $B C$ 于点 $D$ ， $D E ⊥ A B$ 于点 $E$ ，则下列结论：① $A D$ 平分 $∠ C D E$ ；② $∠ B D E = ∠ B A C$ ；③ $D E$ 平分 $∠ A D B$ ；④若 $A C = 4 B E$ ，则 $S_{△ A B C} = 8 S_{△ B D E}$ ．其中正确的有（　　）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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8. 如图，在 $△ A B C$ 中， $C D$ 和 $B E$ 分别是 $∠ A C B$ ， $∠ A B C$ 的平分线， $D E ∥ B C$ ，与 $A C$ 交于点 $P$ ，若 $B D = 6$ ， $C P = 3.5$ ，则 $E P$ 的长为（）

A、4 B、 $3.5$ C、3 D、 $2.5$

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9. 如图，AD∥BC，∠ABC的平分线BP与∠BAD的平分线AP相交于点P，作PE⊥AB于点E.若PE＝3，则两平行线AD与BC间的距离为（）

A、3 B、4 C、5 D、6

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10. 如图，△ABC中，∠ABC、∠EAC的角平分线BP、AP交于点P，延长BA、BC，PM⊥BE，PN⊥BF，则下列结论中正确的个数（）
①CP平分∠ACF；②∠ABC+2∠APC＝180°；③∠ACB＝2∠APB；④S_△PAC＝S_△MAP+S_△NCP ．

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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二、填空题

11. 如图，把一副三角板ABC与BDE按如图所示的方式拼接在一起，其中∠A=30°，∠E=45°，A，D，B三点在同一条直线上，BM为∠ABC的角平分线，BN为∠CBE的角平分线．下列结论：①∠MBN＝45°；②∠BNE＝∠BMC；③∠EBN＝65°；④AM=BM.其中正确结论的序号是.

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12. 如图，A、B、C在同一条直线上， $△ A B F$ 和 $△ B C E$ 均为等边三角形， $A E$ 、 $F C$ 分别交 $F B$ 、 $E B$ 于点M、N，下列结论中：① $△ A B E ≌ △ F B C$ ， ② $A B = F N$ ， ③ $B M = B N$ ， ④ $∠ A D F = 60 °$ ， ⑤ $D B$ 平分 $∠ A D C$ ，其中正确的有．（填序号）

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13. 如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，AB的中垂线DE交AC于D，交AB于E，（1）BD平分∠ABC；（2）点D是线段AC的中点；（3）AD=BD=BC；（4）△BDC的周长等于AB+BC，上述结论正确的是．

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14. 如图，在△ABC内有一点O到△ABC三个顶点的距离相等，连接OA、OB、OC ．若∠BAO＝25°，∠ACO＝55°，则∠BOC的度数为．

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15. 如图，在△ABC中，AB＝4，AC＝6，BC＝7，EF垂直平分BC ，点D为直线EF上的任意一点，则△ABD周长的最小值是．

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16. 如图， $O P$ 平分 $∠ M O N$ ，点 $C$ 为 $O P$ 上的任意一点， $C A ⊥ O N$ ，垂足为 $A$ ，线段 $O A$ 的垂直平分线 $B G$ 交 $O M$ 于点 $B$ ，交 $O A$ 于点 $G$ ，已知 $A B = 6$ ， $A C = 3$ ，则 $△ O B C$ 的面积为．

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三、解答题

17. 如图，在△ABC中，AC＝BC，点F为AB的中点，边AC的垂直平分线交AC，CF，CB于点D，O，E，连接OB．

(1)、求证：△OBC为等腰三角形；

(2)、若∠ACF＝23°，求∠BOE的度数．

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18. 如图，AD是 $△ A B C$ 的角平分线，DE．DF分别是 $△ A B D$ 和 $△ A C D$ 的高， $D E = 2$ ．

(1)、求DF的长；

(2)、求证：AD垂直平分EF．

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19. 如图，四边形 $A B C D$ 中， $A D ∥ B C$ ， $E$ 为 $C D$ 的中点，连结 $B E$ 并延长交 $A D$ 的延长线于点 $F$ ．

(1)、求证： $△ B C E$ ≌ $△ F D E$ ；

(2)、连接 $A E$ ，当 $A E ⊥ B F$ ， $B C = 2$ ， $A D = 1$ 时，求 $A B$ 的长.

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20. 如图，在四边形ABCD中，已知AD∥BC ， E为CD的中点，连接AE并延长AE交BC的延长线于点F ．

(1)、求证：CF＝AD；

(2)、若AD＝2，AB＝8，当BC为多少时，点B在线段AF的垂直平分线上？为什么？

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21. 如图， $△ A B C$ 和 $△ A D E$ 都是正三角形， $B E$ 和 $C D$ 交于点 $F$ ．

(1)、求证： $△ B A E$ ≌ $△ C A D$ ；

(2)、求证： $A F$ 平分 $∠ B F D$ ．

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22. 教材呈现：如图是北师大版七年级下册数学教材第123页的部分内容，

(1)、请根据所给教材内容，写出结论： $A C$ $B C$ （填“ $﹥$ ”、“ $﹤$ ”或“ $=$ ”）

(2)、结合教材上的图5—11，证明你的结论．（推理过程请注明理由）

(3)、应用上述结论解决下列题目：
已知：如图， $△ A B C$ 中， $E F$ 是 $A B$ 的垂直平分线， $A D ⊥ B C$ 于点D，且D为 $C E$ 的中点．
①求证： $B E = A C$ ；（推理过程请注明理由）
②若 $∠ C = 70 °$ ，求 $∠ B A C$ 的度数．

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23. 如图①，对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．

(1)、【概念理解】如图②，在四边形ABCD中，AB＝AD ， CB＝CD ，问四边形ABCD是垂美四边形吗？请说明理由；

(2)、【性质探究】如图①，四边形ABCD的对角线AC ， BD交于点O ， AC⊥BD ．试证明：AD²+BC²＝AB²+CD²；

(3)、【解决问题】如图③，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE ，连接CE ， BG ， GE ．已知AC＝8，AB＝10，求GE的长．

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24. 如何设计与制作风筝呢？请同学们阅读“勤学小组”的项目实施过程，帮助他们解决项目实施过程中遇到的问题。
项目主题：设计与制作风筝．
项目实施：

(1)、任务一：了解风筝：“勤学小组”的同学查阅了有关风筝的历史，种类，结构，制作等方面的资料，同时还收集到如图的风筝图案，请你帮助他们从中选出不是轴对称图形的风筝图案

(2)、任务二：设计风筝：设计风筝时主要进行风筝面与风筝骨架的设计．“勤学小组”的同学设计好了风筝面，接下来在正方形网格中进行风筝骨架的设计，请你帮助他们以直线l为对称轴画出风筝骨架的另一半．

(3)、任务三：制作风筝：传统风筝的技艺概括起来四个字：扎、糊、绘、放，简称“四艺”．“勒学小组”的同学准备用竹条扎制如图所示的风筝骨架，已知AD⊥BC于点D， BD=CD，AB=60cm，则竹条AC的长为cm．

(4)、任务四：放飞风筝：同学们拿着自己设计与制作的风筝进行了试飞，并根据试飞结果对风筝进行了修改完善．
项目反思：同学们对项目学习的整个过程进行反思，并编写了“简易风筝制作说明书”。请你写出一条在项目实施的过程中用到的数学知识

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