2024年浙教版数学八年级下册2.4一元二次方程根与系数的关系（选学）课后培优练

试卷更新日期：2024-02-21 类型：同步测试

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一、选择题

1. 已知关于x的方程x²-(2m-1)x+m²=0的两实数根为x₁ ， x₂ ，若(x₁+1)(x₂+1)=3，则m的值为（）

A、-3 B、-1 C、-3或1 D、-1或3

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2. 若 $x_{1}$ ， $x_{2}$ 是一元二次方程 $x^{2} - 2 x - 3 = 0$ 的两个根，则 $x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{1} x_{2}$ 的值是（）

A、 $- 7$ B、 $- 1$ C、1 D、7

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3. 方程 $2 x^{2} - 3 x + 1 = 0$ 根的符号是（）

A、两根一正一负 B、两根都是负数 C、两根都是正数 D、无法确定

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4. 已知： $x_{1}$ ， $x_{2}$ 是一元二次方程 $x^{2} + 2 a x + b = 0$ 的两根，且 $x_{1} + x_{2} = 3$ ， $x_{1} x_{2} = 1$ ，则 $a$ 、 $b$ 的值分别是（）

A、 $a = - 3$ ， $b = 1$ B、 $a = 3$ ， $b = 1$ C、 $a = - \frac{3}{2}$ ， $b = - 1$ D、 $a = - \frac{3}{2}$ ， $b = 1$

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5. 已知x₁ ， x₂是一元二次方程x²+2ax+b=0的两个根，且x₁+x₂=3，x₁·x₂=1则a，b的值分别是（）

A、a=-3，b=1 B、a=3，b=1 C、a= $- \frac{3}{2}$ ， b=-1 D、a= $- \frac{3}{2}$ ， b=1

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6. 已知实数 $a \neq b$ ，且满足 $(a + 1)^{2} = 3 - 3 (a + 1)$ ， $(b + 1)^{2} = 3 - 3 (b + 1)$ ，则 $b \sqrt{\frac{b}{a}} + a \sqrt{\frac{a}{b}}$ 的值为（）

A、23 B、-23 C、-2 D、-13

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7. 已知两个关于x的一元二次方程 $M ： a x^{2} + b x + c = 0 ， N ： c x^{2} + b x + a = 0$ ，其中 $a c \neq 0 ， a \neq c$ .下列结论错误的是（）

A、若方程M有两个相等的实数根，则方程N也有两个相等的实数根 B、若方程M有一个正根和一个负根，则方程N也有一个正根和一个负根 C、若5是方程M的一个根，则 $\frac{1}{5}$ 是方程N的一个根 D、若方程M和方程N有一个相同的根，则这个根一定是 $x = 1$

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8. 若关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} - 2 x + a^{2} + b^{2} + a b = 0$ 的两个根为 $x_{1} = m$ ， $x_{2} = n$ ，且 $a + b = 1$ ．下列说法正确的个数为（）
① $m · n ＞ 0$ ；② $m > 0$ ， $n > 0$ ；③ $a^{2} \geq a$ ；④关于 $x$ 的一元二次方程 ${(x + 1)}^{2} + a^{2} - a = 0$ 的两个根为 $x_{1} = m - 2$ ， $x_{2} = n - 2$ ．

A、 $1$ B、 $2$ C、 $3$ D、 $4$

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二、填空题

9. 若等腰 $△ A B C$ 的一边长6，另两边长恰好是关于 $x$ 方程 $x^{2} - 10 x + m = 0$ 的两个实数根，则 $△ A B C$ 的面积为．

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10. 关于 $x$ 的一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ ．王同学由于看错了二次项系数，误求得两根为2和4，那么 $\frac{b}{c} =$ ．

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11. 关于 $x$ 的方程 $(k - 1) x^{2} + 2 k x + 2 = 0$ ， $x_{1}$ ， $x_{2}$ 是方程的两个根，设 $S = \frac{x_{2}}{x_{1}} + \frac{x_{1}}{x_{2}} + x_{1} + x_{2}$ ，则当 $S$ 的值为2时，k= ．

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12. 设一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 的两根为 $x_{1} ， x_{2}$ ，则两根分别与方程系数之间有如下关系： $x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a} ， x_{1} x_{2} = \frac{c}{a} .$ 根据该材料选择：已知 $a ， b$ 是方程 $x^{2} + (m + 2) x + 1 = 0$ 的两根，则 $(a^{2} + m a + 1) (b^{2} + m b + 1)$ 的值为.

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三、解答题

13. 已知关于 $x$ 的分式方程 $\frac{k - 1}{x - 1} =$ 2①和一元二次方程 $(2 - k) x^{2} + 3 m x + (3 - k) n = 0$ ②，其中 $k ， m$ 均为实数，方程①的根为非负数.

(1)、求 $k$ 的取值范围.

(2)、若方程② 有两个实数根 $x_{1} ， x_{2}$ ，满足 $x_{1} (x_{1} - k) + x_{2} (x_{2} - k) = (x_{1} - k) (x_{2} - k)$ ，且 $k$ 为负整数，试判断 $| m | ⩽ 2$ 是否成立，并说明理由.

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14. 已知关于x的方程 $x^{2} - (k + 3) x + 2 k + 2 = 0$ ．

(1)、求证：该方程总有两个实数根；

(2)、记该方程的两个实数根为 $x_{1} ， x_{2}$ ，若 $x_{1} = 3 x_{2}$ ，求k值；

(3)、若 $M = x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{1} x_{2}$ ，证明： $M \geq 3$ ．

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15. 若我们规定：在平面直角坐标系中，点 $P$ 的坐标为 $(x ， y_{1})$ ，点 $Q$ 的坐标为 $(x ， y_{2})$ ， $y_{1}$ 和 $y_{2}$ 的差构成一个新函数 $y$ ，即 $y = y_{1} - y_{2}$ ．称 $y$ 是 $y_{1} - y_{2}$ 的“数天数函数”， $P$ 为“天数点 $1$ ”， $Q$ 为“天数点 $2$ ”．（亲爱的同学们：愿你们在“数天数”中不负韶华，一次次交上自己满意的答卷．）

(1)、已知“天数点 $1$ ”为点 $A (x$ ， $k x + 4$ $)$ ， “天数点 $2$ ”为点 $B (x$ ， $2 x)$ ．点 $C (2$ ， $3)$ 在“数天数函数” $y = y_{1} - y_{2}$ 图像上，求 $y$ 的解析式；

(2)、已知“天数点 $1$ ”为点 $M (x$ ， $x^{2} + 3$ $)$ ， “天数点 $2$ ”为点 $N (x$ ， $3 x)$ ， $y$ 是“数天数函数，求 $x + y$ 的最小值．

(3)、关于 $x$ 的方程 $x^{2} + (m - 2) x + \frac{1}{2} m - 3 = 0$ 的两个实数根 $x_{1}$ 、 $x_{2}$ ， “数天数函数” $S = S_{1} - S_{2}$ ．若 $S_{1} = 2 x_{1}$ ， $S_{2} = - x_{2}$ ，且 $S = m + 1$ ，求 $m$ 的值．

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