2024年浙教版数学八年级下册2.4一元二次方程根与系数的关系（选学）课后提高练

试卷更新日期：2024-02-21 类型：同步测试

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一、选择题

1. 若关于x的一元二次方程x²-8x+m=0的两根为x₁ ， x₂ ，且x₁=3x₂ ，则m的值为（）

A、4 B、8 C、12 D、16

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2. 在解关于x的一元二次方程x²+px+q=0时，小红看错了常数项q，得到方程的两个根是-3，1．小明看错了一次项系数p，得到方程的两个根是5，-4，则原来的方程是（）

A、x²+2x-3=0 B、x²+2x-20=0 C、x²-2x-20=0 D、x²-2x-3=0

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3. 已知m，n是方程x²+2x﹣5=0的两个实数根，则m²﹣mn+3m+n=（　　）

A、6 B、7 C、8 D、9

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4. 已知 $a$ ， $b$ 是一元二次方程 $x^{2} + x - 8 = 0$ 的两个实数根，则代数式 $a^{2} + 2 a + b$ 的值等于（）

A、7 B、8 C、9 D、10

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5. 若 $x_{1} ， x_{2}$ 是一元二次方程 $x^{2} - 3 x - 2 = 0$ 的两根，则 $x_{1} + x_{2} + x_{1} x_{2}$ 的值是（）

A、 $- 1$ B、1 C、5 D、 $- 5$

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6. 已知某三角形的两边长恰是一元二次方程 $x^{2} - 6 x + 8 = 0$ 的两根，则该三角形第三边长可能是（　　）

A、8 B、7 C、6 D、5

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7. 欧几里得的《原本》记载，形如x²+bx=a²的方程的图解法是：画Rt△ABC，使∠ACB=90°，BC=a，AC= $\frac{b}{2}$ ，再在斜边AB上截取AD= $\frac{b}{2}$ ．则该方程的一个正根是（）

A、AC的长 B、AD的长 C、BC的长 D、BD的长

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8. 对于一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0)$ ，下列说法：
$①$ 若 $a + b + c = 0$ ，则方程必有一根为 $x = 1$ ；
$②$ 若方程 $a x^{2} + c = 0$ 有两个不相等的实根，则方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 无实根；
$③$ 若方程 $a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0)$ 两根为 $x_{1}$ ， $x_{2}$ 且满足 $x_{1} \neq x_{2} \neq 0$ ，则方程 $c x^{2} + b x + a = 0 (c \neq 0)$ ，必有实根 $\frac{1}{x_{1}}$ ， $\frac{1}{x_{2}}$ ；
$④$ 若 $x_{0}$ 是一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 的根，则 $b^{2} - 4 a c = (2 a x_{0} + b)^{2}$ ．
其中正确的（）

A、 $① ②$ B、 $① ④$ C、 $② ③ ④$ D、 $① ③ ④$

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二、填空题

9. 设方程x²﹣3x﹣1=0的两根分别为x₁ ， x₂ ，则x₁+x₂= ．

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10. 已知方程x²-4x-1=0的两根为x₁ ， x₂ ，则(1-x₁)(1-x₂)= ．

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11. 已知 $m$ 、 $n$ 是关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} - 3 x + a = 0$ 的两个解，若 $(m - 1) (n - 1) = - 6$ ，则 $a$ 的值为．

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12. 已知实数a、b、c， $a + b + c = 0$ ， $a b c = 2$ ，则c的取值范围是．

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三、计算题

13. 已知一元二次方程 $x^{2} - 3 x + m = 0$ .

(1)、若方程有两个实数根，求m的取值范围；

(2)、若方程的两个实数根为 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，且 $x_{1} - 2 x_{2} = 0$ ，求m的值.

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14. 设x₁、x₂是一元二次方程2x²﹣7x+5=0的两根，利用一元二次方程根与系数的关系，求下列各式的值．

(1)、x₁²x₂+x₁x₂²；

(2)、（x₁﹣x₂）² ．

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15. 方程 $x^{2} + 2 x + m - 1 = 0$ 是关于x的一元二次方程，该方程的两个实数根分别是 $x_{^{1}} 、 x_{2}$ ．

(1)、求m的取值范围；

(2)、若 ${x_{1}}^{2} + {x_{2}}^{2} + 3 x_{1} x_{2} + 10 = 0$ ，求m的值．

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