【北师大版·数学】2024年中考二轮复习之圆的综合题

试卷更新日期：2024-02-20 类型：二轮复习

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一、选择题

1. 如图，已知 $A C$ 是直径， $A B = 6$ ， $B C = 8$ ， D是弧 $B C$ 的中点，则 $D E =$ （）

A、1 B、2 C、3 D、4

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2. 如图， $△ A B C$ 内接于圆 $O$ ， $∠ B = 65 °$ ， $∠ C = 70 °$ ，若 $B C = 2 \sqrt{2}$ ，则弧 $B C$ 的长为（）

A、 $π$ B、 $\sqrt{2} π$ C、 $2 π$ D、 $2 \sqrt{2} π$

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3. 如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∠CDB=30°，CD=2 $\sqrt{3}$ ，则阴影部分图形的面积为（）

A、4π B、2π C、π D、 $\frac{2 π}{3}$

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4. 如图，正五边形 $A B C D E$ 内接于 $⊙ O$ ，连接 $O C ， O D$ ，则 $∠ B A E - ∠ C O D =$ （）

A、 $60 °$ B、 $54 °$ C、 $48 °$ D、 $36 °$

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5. 如图，在四边形 $A B C D$ 中， $A B ∥ C D ， A D ⊥ A B$ ，以 $D$ 为圆心， $A D$ 为半径的弧恰好与 $B C$ 相切，切点为 $E$ ．若 $\frac{A B}{C D} = \frac{1}{3}$ ，则 $s i n C$ 的值是（）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{5}}{3}$ C、 $\frac{3}{4}$ D、 $\frac{\sqrt{7}}{4}$

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6. 如图，已知 $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $t a n A = \frac{3}{4}$ ． D、E分别是边 $B C$ 、 $A B$ 上的点， $D E ∥ A C$ ，且 $B D = 2 C D$ ．如果 $⊙ E$ 经过点A，且与 $⊙ D$ 外切，那么 $⊙ D$ 与直线 $A C$ 的位置关系是（）

A、相离 B、相切 C、相交 D、不能确定

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7. 如图，点 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ 均在直线 $l$ 上，点 $P$ 在直线 $l$ 外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为（）

A、3个 B、4个 C、5个 D、6个

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8. 如图，四边形 $A B C D$ 内接于 $⊙ O$ ， $A E ⊥ C B$ 交 $C B$ 的延长线于点E，若 $B A$ 平分 $∠ D B E$ ， $A D = 7$ ， $C E = 5$ ，则 $A E =$ （）

A、3 B、 $2 \sqrt{3}$ C、 $2 \sqrt{6}$ D、 $4 \sqrt{3}$

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9. 如图， $⊙ O$ 是锐角三角形ABC的外接圆， $O D ⊥ A B ， O E ⊥ B C ， O F ⊥ A C$ ，垂足分别为D，E，F，连接DE，EF，FD.若 $D E + D F = 6.5 ， △ A B C$ 的周长为21，则EF的长为（）

A、8 B、4 C、3.5 D、3

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10. 已知在扇形 $O A B$ 中， $∠ A O B = 90 °$ ， $O B = 4$ ， $C$ 为弧 $A B$ 的中点， $D$ 为半径 $O B$ 上一动点，点 $B$ 关于直线 $C D$ 的对称点为 $M$ ，若点 $M$ 落在扇形 $O A B$ 内 $($ 不含边界 $)$ ，则 $O D$ 长的取值范围是（）

A、 $4 \sqrt{2} - 4 < O D < 2 \sqrt{2}$ B、 $2 \sqrt{2} < O D < 4 \sqrt{2}$ C、 $0 < O D < 2 \sqrt{2}$ D、 $4 - 2 \sqrt{2} < O D < 4$

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二、填空题

11. 如图，在△ABC中，AB=AC=6cm，∠BAC=50°，以AB为直径作半圆，交BC于点D，交AC于点E，则弧DE的长为cm.

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12. 如图，点A，B，C在半径为2的 $⊙ O$ 上， $∠ A C B = 60 °$ ， $O D ⊥ A B$ ，垂足为E，交 $⊙ O$ 于点D，连接 $O A$ ，则 $O E$ 的长度为．

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13. 如图，在 $⊙ O$ 中，直径 $A B$ 与弦 $C D$ 交于点 $E ， \overset{⌢}{A C} = 2 \overset{⌢}{B D}$ ．连接 $A D$ ，过点 $B$ 的切线与 $A D$ 的延长线交于点 $F$ ．若 $∠ A F B = 68 °$ ，则 $∠ D E B =$ °．

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14. 小明对《数书九章》中的“遥度圆城”问题进行了改编：如图，一座圆形城堡有正东、正南、正西和正北四个门，出南门向东走一段路程后刚好看到北门外的一颗大树，向树的方向走9里到达城堡边，再往前走6里到达树下．则该城堡的外围直径为里．

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15. 如图，点G是 $△ A B C$ 内的一点，且 $∠ B G C = 120 °$ ， $△ B C F$ 是等边三角形，若 $B C = 3$ ，则 $F G$ 的最大值为．

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三、作图题

16. 如图，由小正方形构成的网格中，每个小正方形的顶点叫做格点， $⊙ O$ 经过A，B，C三个格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中按要求画图(画图过程用虚线，结果用实线).

(1)、在图1中标出圆心O，并在圆上找一点E，使 $O E$ 平分弧 $A C$ ；

(2)、在图2中的圆上画一点M，使 $C M$ 平分 $∠ A C B$ .

(3)、如图3， $△ A B C$ 的顶点A，B均在格点上，顶点C在网格线上， $∠ B A C = 55 °$ ， P是如图所示的 $△ A B C$ 的外接圆上的动点，当 $∠ P C B = 35 °$ 时，请用无刻度的直尺，在圆上画出点P.

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四、解答题

17. 已知：如图，四边形 $A B C D$ 是 $⊙ O$ 的内接四边形，直径 $D G$ 交边 $A B$ 于点 $E$ ， $A B$ 、 $D C$ 的延长线相交于点 $F .$ 连接 $A C$ ，若 $∠ A C D = ∠ B A D$ ．

(1)、求证： $D G ⊥ A B$ ；

(2)、若 $A B = 6$ ， $t a n ∠ F C B = 3$ ，求 $⊙ O$ 半径．

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五、综合题

18. 在探究“四点共圆的条件”的数学活动课上，小霞小组通过探究得出：在平面内，一组对角互补的四边形的四个顶点共圆．请应用此结论．解决以下问题：
如图1， $△ A B C$ 中， $A B = A C ， ∠ B A C = α$ （ $60 ° < α < 180 °$ ）．点D是 $B C$ 边上的一动点（点D不与B，C重合），将线段 $A D$ 绕点A顺时针旋转 $α$ 到线段 $A E$ ，连接 $B E$ ．

(1)、求证：A，E，B，D四点共圆；

(2)、如图2，当 $A D = C D$ 时， $⊙ O$ 是四边形 $A E B D$ 的外接圆，求证： $A C$ 是 $⊙ O$ 的切线；

(3)、已知 $α = 120 ° ， B C = 6$ ，点M是边 $B C$ 的中点，此时 $⊙ P$ 是四边形 $A E B D$ 的外接圆，直接写出圆心P与点M距离的最小值．

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六、实践探究题

19.


(1)、【感知】如图①，点A、B、P均在 $⊙ O$ 上， $∠ A O B = 90 °$ ，则锐角 $∠ A P B$ 的大小为度．

(2)、【探究】小明遇到这样一个问题：如图②， $⊙ O$ 是等边三角形 $A B C$ 的外接圆，点P在 $\overset{⌢}{A C}$ 上（点P不与点A、C重合），连结 $P A$ 、 $P B$ 、 $P C$ ．求证： $P B = P A + P C$ ．小明发现，延长 $P A$ 至点E，使 $A E = P C$ ，连结 $B E$ ，通过证明 $△ P B C ≌ △ E B A$ ，可推得 $P B E$ 是等边三角形，进而得证．
下面是小明的部分证明过程：
证明：延长 $P A$ 至点E，使 $A E = P C$ ，连结 $B E$ ，
      $∵$ 四边形 $A B C P$ 是 $⊙ O$ 的内接四边形，
      $∴ ∠ B A P + ∠ B C P = 180 °$ ．
      $∵ ∠ B A P + ∠ B A E = 180 °$ ，
      $∴ ∠ B C P = ∠ B A E$ ．
      $∵ △ A B C$ 是等边三角形．
      $∴ B A = B C$ ，
      $∴ △ P B C ≌ △ E B A (S A S)$
请你补全余下的证明过程．

(3)、【应用】如图③， $⊙ O$ 是 $△ A B C$ 的外接圆， $∠ A B C = 90 ° ， A B = B C$ ，点P在 $⊙ O$ 上，且点P与点B在 $A C$ 的两侧，连结 $P A$ 、 $P B$ 、 $P C$ ．若 $P B = 2 \sqrt{2} P A$ ，则 $\frac{P B}{P C}$ 的值为．

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