2024年浙教版数学八年级下册2.2一元二次方程的解法课后培优练

试卷更新日期：2024-02-20 类型：同步测试

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一、选择题

1. 若方程 $k x^{2} - 6 x + 1 = 0$ 有两个实数根，则k的取值范围是（）．

A、 $k < 9$ 且 $k \neq 0$ B、 $k \leq 9$ 且 $k \neq 0$ C、 $k > 9$ 且 $k \neq 0$ D、 $k \geq 9$ 且 $k \neq 0$

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2. 已知三角形的两边长分别是8和6，第三边的长是一元二次方程(x-6)(x-10)=0的一个实数根，则该三角形的面积是（）

A、24或2 $\sqrt{5}$ B、24 C、2 $\sqrt{5}$ D、8 $\sqrt{5}$ 或24

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3. 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} + 2 x + b - 3 = 0$ 没有实数根，则一次函数 $y = - 2 x + b$ 的图像一定不经过（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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4. 如果关于x的一元二次方程 $x^{2} + 2 (m - 1) x + 16 = 0$ 有两个相等的实数根，那么m的值可为（）

A、5 B、 $- 3$ C、 $- 5$ 或3 D、5或 $- 3$

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5. 欧几里得是古希腊数学家，所著的《几何原本》闻名于世．在《几何原本》中，形如x²+ax＝b²的方程的图解法是：如图，以 $\frac{a}{2}$ 和b为直角边作Rt△ABC，再在斜边上截取BD＝ $\frac{a}{2}$ ，则图中哪条线段的长是方程x²+ax＝b²的解？答：是（）

A、AC B、AD C、AB D、BC

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6. 设a、b、c和S分别为三角形的三边长和面积，关于x的方程b²x²+(b²+c²-a²)x+c²=0的判别式为Δ.则Δ与S的大小关系为( ).

A、Δ=16S² B、Δ=-16S² C、Δ=16S D、Δ=-16S

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7. 有两个一元二次方程：M：ax²＋bx＋c＝0，N：cx²＋bx＋a＝0，以下四个结论中，错误的是（）

A、如果方程M有两个不相等的实数根，那么方程N也有两个不相等的实数根 B、如果方程M有两根符号相同，那么方程N也有两根符号相同 C、如果5是方程M的一个根，那么 $\frac{1}{5}$ 是方程N的一个根 D、如果方程M和方程N有一个相同的实数根，那么这个根必是x＝1

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8. 对于一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0)$ ，下列说法：
①若 $a - b + c = 0$ ，则 $b^{2} - 4 a c \geq 0$ ；
②若方程 $a x^{2} + c = 0$ 有两个不相等的实根，则方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 必有两个不相等的实根；
③若 $c$ 是方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 的一个根，则一定有 $a c + b + 1 = 0$ 成立；
④若 $x_{0}$ 是一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 的根，则 $b^{2} - 4 a c = {(2 a x_{0} + b)}^{2}$
其中正确的：（）

A、只有① B、只有①② C、①②③ D、只有①②④

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二、填空题

9. 关于x的方程 $\sqrt{2 x - k} = x - 1$ 有两个不相等的实数解，则k的范围为．

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10. 在△ABC中，已知两边a=3，b=4，第三边为c．若关于x的方程 $x^{2} + (c - 4) x + \frac{1}{4} = 0$ 有两个相等的实数根，则该三角形的面积是

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11. 若实数 $a$ ， $b$ 满足 $a - 2 a b + 2 a b^{2} + 4 = 0$ ，则 $a$ 的最大值与最小值之和为．

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12. 商家通常依据“利好系数准则”确定商品销售价格，即根据商品的最低销售限价a，最高销售限价b（b>a）以及常数k（0≤k≤1）确定实际销售价格为c=a+k（b-a），这里的k被称为利好系数．经验表明，最佳利好系数k恰好使得 $\frac{b - a}{c - a} = \frac{3 c - 3 a}{b - c}$ ，据此可得，最佳利好系数k的值等于．

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三、解答题

13. 已知a，b，c为三角形的三边长，判别关于x的元二次方程 $\frac{1}{4}$ x²+（a-b）x+c²=0的根的情况.

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14. 阅读下面的例题：解方程x²﹣|x|﹣2＝0
解：当x≥0时，原方程化为x²﹣x﹣2＝0，解得：x₁＝2，x₂＝﹣1（不合题意，舍去）；

当x＜0时，原方程化为x²+x﹣2＝0，解得：x₁＝1，（不合题意，舍去）x₂＝﹣2；

∴原方程的根是x₁＝2，x₂＝﹣2．

请参照例题解方程x²﹣|x﹣1|﹣1＝0．

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15. 关于x的方程（m²-8m+19）x²-2mx-13=0是否一定是一元二次方程？请证明你的结论．

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