吉林省长春市朝阳区2023-2024学年九年级上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2024-02-20 类型：期末考试

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一、选择题（每小题3分，共24分）

1. 下列各式中，y是x的二次函数的是（）

A、 $y = \frac{1}{x}$ B、 $y = \sqrt{x^{2} + 4}$ C、 $y = \frac{1}{2} x$ D、 $y = 3 x^{2} - \frac{1}{5}$

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2. 下列二次根式中，与 $\sqrt{2}$ 是同类二次根式的是（）

A、 $\sqrt{4}$ B、 $\sqrt{8}$ C、 $\sqrt{12}$ D、 $\sqrt{20}$

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3. 在平面直角坐标系中，点 $P (- 3 ， - 5)$ 关于 $y$ 轴对称点的坐标为（）

A、 $(- 3 ， - 5)$ B、 $(3 ， 5)$ C、 $(3 ， - 5)$ D、 $(5 ， - 3)$

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4. 若关于x的一元二次方程 $2 x^{2} + x - m = 0$ 有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（）

A、 $m > - \frac{1}{8}$ B、 $m \geq - \frac{1}{8}$ C、 $m > \frac{1}{8}$ D、 $m \geq \frac{1}{8}$

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5. 下列运算正确的是（）

A、 $\sqrt{2} + \sqrt{3} = \sqrt{5}$ B、 $2 \sqrt{5} - \sqrt{5} = 2$ C、 $\sqrt{2} \times \sqrt{3} = \sqrt{6}$ D、 $\sqrt{6} \div \sqrt{3} = 2$

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6. 如图，一枚运载火箭从地面L处发射，雷达站R与发射点L之间的距离为6千米，当火箭到达A点时，雷达站测得仰角为 $α$ ，则这枚火箭此时的高度 $A L$ 为（）

A、 $6 s i n a$ 千米 B、 $6 c o s α$ 千米 C、 $6 t a n α$ 千米 D、 $\frac{6}{t a n α}$ 千米

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7. 若抛物线 $y = x^{2} + 2 x - 5$ 经过 $(- 5 ， y_{1})$ ， $(- 2 ， y_{2})$ ， $(2 ， y_{3})$ 三点，则 $y_{1}$ ， $y_{2}$ ， $y_{3}$ 的大小关系是（）

A、 $y_{1} < y_{2} < y_{3}$ B、 $y_{2} < y_{3} < y_{1}$ C、 $y_{3} < y_{1} < y_{2}$ D、 $y_{2} < y_{1} < y_{3}$

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8. 对于抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ ， y与x的部分对应值如下表所示：
x
…
$- 3$
$- 1$
0
3
4
…
y
…
10
$- 2$
$- 5$
$- 2$
3
…
下列说法中正确的是（）

A、开口向下 B、当 $x > 0$ 时，y随x的增大而增大 C、对称轴为直线 $x = 1$ D、函数的最小值是 $- 5$

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二、填空题（每小题3分，共18分）

9. 若 $\sqrt{x - 1}$ 在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是.

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10. 长春轨道交通6号线预计于2024年开通运营，在比例尺为 $1 ： 500000$ 的地图上，量得全线长约为 $6 c m$ ，则轨道交通6号线的实际距离约为 $k m$ ．

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11. 函数 $y = - {(x + 3)}^{2} + 1$ 的图象的顶点坐标为．

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12. 在一个不透明口袋中装有1个红球和 $n$ 个白球，它们除了颜色以外没有任何其他区别．搅匀后从口袋中随机摸出1个球，记录下颜色后放回口袋中并搅匀，随着试验次数的增加，摸到白球的频率逐渐稳定在 $0.8$ ，则 $n$ 的值为．

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13. 如图是一位同学用激光笔测量某古城墙高度的示意图.点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好到古城墙 $C D$ 的顶端C处，若 $A B ⊥ B D$ ， $C D ⊥ B D$ ，测得 $A B = 1.5 m$ ， $B P = 2 m$ ， $P D = 6 m$ ，则该古城墙的高度 $C D$ 是 $m$ .

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14. 已知二次函数 $y = x^{2} + b x + c$ 的图象经过 $(6 ， c)$ ，点 $A (x_{1} ， y_{1})$ ， $B (5 ， y_{2})$ 在该函数图象上．当 $m - 1 \leq x_{1} \leq m$ 时，若 $y_{1} \leq y_{2}$ ，则m的取值范围是．

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三、解答题（本大题10小题，共78分）

15. 计算： $\sqrt{18} + 2 \sqrt{2} - \sqrt{50}$ ．

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16. 解方程： $2 （ x - 5 ）^{2} - 8 = 0$ ．

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17. 二次函数 $y = a x^{2} - 2 x + c$ 的图象经过 $(4 ， 3)$ 和 $(0 ， - 5)$ ．

(1)、求这个二次函数的表达式；

(2)、将这个二次函数的图象向右平移个单位后经过坐标原点．

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18. 2023年国际乒联混合团体世界杯于2023年12月4日在成都举行，本次赛会的会徽彰显了成都文化特色，吉祥物“乒乒”将大熊猫与乒乓球运动相结合，表达了成都人民对乒乓球运动的喜爱．现有三张不透明的卡片，其中一张卡片的正面图案为会徽，另外两张卡片的正面图案都为吉祥物“乒乒”，卡片除正面图案不同外其余均相同，将这三张卡片背面向上并搅匀．

(1)、小明从中随机抽取一张，“抽到卡片上的图案是会徽”是事件（填“随机”“不可能”或“必然”）；

(2)、小亮从中随机抽取一张，记下卡片上的图案后背面向上放回，重新搅匀后再从中随机抽取一张．请用画树状图（或列表）的方法，求小亮两次抽到的卡片上的图案都是吉祥物“乒乒”的概率．（图案为会徽的卡片记为 $A$ ，图案为吉祥物的两张卡片分别记为 $B_{1}$ 、 $B_{2}$ ）

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19. 桑梯是我国古代劳动人民发明的一种采桑工具．图①是明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘的桑梯，其示意图如图②所示，已知 $A B = A C = 1.6$ 米， $A D = 1.2$ 米．在安全使用的前提下，当 $∠ B A C = 30 °$ 时，桑梯顶端 $D$ 达到最大高度，求此时 $D$ 到地面 $B C$ 的距离．（参考数据： $s i n 75 ° \approx 0.97$ ， $c o s 75 ° \approx 0.26$ ， $t a n 75 ° \approx 3.73$ ，精确到0.1米）

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20. 图①、图②、图③均是 $4 \times 4$ 的正方形网格，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹．

(1)、在图①中画 $∠ A B C$ ，使 $t a n ∠ A B C = 1$ ；

(2)、在图②中画 $∠ A B D$ ，使 $t a n ∠ A B D = \frac{1}{2}$ ；

(3)、在图③中画 $∠ A B E$ ，使 $t a n ∠ A B E = \frac{2}{3}$ ．

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21. 如图，一位足球运动员在距离球门中心水平距离8米的A处射门，球沿一条抛物线运动．当球运动的水平距离为6米时，达到最大高度3米．

(1)、建立图中所示的平面直角坐标系，求抛物线所对应的函数表达式；

(2)、已知球门高 $O B$ 为2.44米，通过计算判断这位运动员能否将球射进球门．

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22.
【教材呈现】图1是华师版九年级上册数学教材第78页的部分内容．
例2：如图1，在 $△ A B C$ 中，D、E分别是边 $B C 、 A B$ 的中点． $A D 、 C E$ 相交于点G ．求证： $\frac{G E}{C E} = \frac{G D}{A D} = \frac{1}{3}$ ．
证明：连接 $E D$ ．
【结论证明】请根据教材提示，结合图①，写出完整的证明过程．
【结论应用】

(1)、如图①，若 $S_{△ C D G} = 2$ ，则 $S_{△ A B C} =$ ；

(2)、在图①的条件下，过点G的直线分别交 $A B 、 A C$ 于点M、N ．若 $A B = 10$ ， $A M = A C = 6$ ，四边形 $C D G N$ 的面积为10，则 $S_{△ A B C} =$ ．

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23. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $A C = 8$ ， $B C = 6$ ，点 $D$ 为边 $A B$ 的中点．动点 $P$ 从点 $A$ 出发，沿折线 $A C - C B$ 以每秒2个单位长度的速度向点 $B$ 运动，当点 $P$ 不与点 $A$ 、 $B$ 重合时，连结 $P D$ ．作点 $A$ 关于直线 $P D$ 的对称点 $A^{'}$ ；连结 $A^{'} D$ 、 $A^{'} P$ 、 $A^{^{'}} A$ ，设点 $P$ 的运动时间为 $t$ 秒．

(1)、线段 $A D$ 的长为；

(2)、用含t的代数式表示线段 $C P$ 的长；

(3)、当点P在边 $A C$ 上运动时，求 $A^{'} D$ 与 $△ A B C$ 的一条直角边平行时 $t$ 的值；

(4)、当 $△ A D A^{'}$ 为锐角三角形时，直接写出t的取值范围．

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24. 在平面直角坐标系中，抛物线 $y = x^{2} + b x - 3$ （b为常数）经过点 $Q (4 ， 5)$ ，点P在该抛物线上，横坐标为 $2 m - 1$ ．

(1)、求该抛物线对应的函数表达式；

(2)、当 $P Q ⊥ y$ 轴时，求m的值；

(3)、将该抛物线上P、Q两点之间的部分（包括P、Q两点）记为图象G ．
$①$ 当图象G上只有两个点到x轴的距离为4时，求m的取值范围；
$②$ 当图象G与直线 $y = 2 m - 3$ 只有一个公共点时，直接写出m的取值范围．

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x	…	$- 3$	$- 1$	0	3	4	…
y	…	10	$- 2$	$- 5$	$- 2$	3	…