重庆市铜梁区重点中学2023-2024学年九年级上学期数学月考考试试卷

试卷更新日期：2024-02-20 类型：月考试卷

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一、选择题（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、

1. 下列函数中，是二次函数的是（　　）

A、 $y = x^{2} + \frac{1}{x}$ B、 $y = \sqrt{2 x^{2} + 1}$ C、y＝8x²+1 D、y＝x²﹣（x﹣3）²

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2. 用公式法解一元二次方程3x²＝2x﹣3时，首先要确定a、b、c的值，下列叙述正确的是（　　）

A、a＝3，b＝2，c＝3 B、a＝﹣3，b＝2，c＝3 C、a＝3，b＝2，c＝﹣3 D、a＝3，b＝﹣2，c＝3

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3. 将抛物线y＝（x﹣1）²+2先向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到抛物线的顶点坐标是（　　）

A、（﹣1，5） B、（﹣1，﹣1） C、（3，﹣1） D、（3，5）

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4. 根据下列表格中二次函数y＝ax²+bx+c的自变量x与y的对应值，判断关于x的一元二次方程ax²+bx+c＝0的一个解的大致范围是（　　）
x
﹣1
0
1
2
3
4
y
﹣7
﹣5
﹣1
5
13
23

A、1＜x＜2 B、﹣1＜x＜1 C、﹣7＜x＜﹣1 D、﹣1＜x＜5

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5. 若点A（﹣3，y₁），B（1，y₂），C（2，y₃）是抛物线y＝﹣x²+1上的三点，则y₁ ， y₂ ， y₃的大小关系为（　　）

A、y₁＞y₂＞y₃ B、y₂＞y₁＞y₃ C、y₂＞y₃＞y₁ D、y₃＞y₂＞y₁

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6. 在同一平面直角坐标系中，二次函数 $y = a x^{2}$ 与一次函数 $y = b x + c$ 的图象如图所示，则二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 的图象可能是（）

A、 B、 C、 D、

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7. 从前，有一个醉汉拿着竹竿进屋，横拿竖拿都拿不进去，横着比门框宽4尺，竖着比门框高2尺．另一醉汉叫他沿着门的两个对角斜着拿竿，这个醉汉一试，不多不少刚好进去了，你知道竹竿有多长吗？若设竹竿的长为x尺，则下列方程，满足题意的是（　　）

A、x²+（x﹣2）²＝（x﹣4）² B、（x﹣4）²+（x﹣2）²＝x C、（x﹣4）²+（x﹣2）²＝x² D、x²+（x﹣4）²＝（x﹣2）²

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8. 如图，二次函数y＝ax²+bx+c的图象与x轴交于A（﹣4，0）和原点．下列说法正确的是（　　）

A、abc＞0 B、4ac﹣b²＞0 C、3a﹣b＜0 D、5a+c＜0

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9. 如图，在正方形ABCD中，E是边AD中点，F是边AB上一动点，G是EF延长线上一点，且GF＝EF ．若AD＝4，则EG²+CG²的最小值为（　　）

A、52 B、60 C、68 D、76

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10. 已知函数f（x）＝x²+2x ， g（x）＝2x²+6x+n²+3，当x＝1时，f（1）＝1²+2×1＝3，g（1）＝2+6+n²+3＝n²+11．则以下结论正确的有（　　）
①若函数g（x）的顶点在x轴上，则 $n = \pm \sqrt{6}$ ；
②无论x取何值，总有g（x）＞f（x）；
③若﹣1≤x≤1时，g（x）+f（x）的最小值为7，则n＝±3；
④当n＝1时，令 $h (x) = \frac{g (x)}{2 f (x)}$ ，则h（1）•h（2）…h（2023）＝2024．

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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二、填空题（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上.

11. 若二次函数y＝x²﹣bx+b﹣2的图象经过原点，则b＝．

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12.
如图是一个计算程序，当输出值y＝100时，输入x的值为．

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13. 若一元二次方程x²﹣3x﹣1=0的两根分别为x₁、x₂ ，则 $\frac{1}{x_{1}} + \frac{1}{x_{2}}$ = ．

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14. 如图，抛物线y＝﹣x²+bx+c交y轴于点（0，5），对称轴为直线x＝﹣2，若y≥5，则x的取值范围是．

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15. 如图，图（1）是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在l时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2m ，水面宽4m ，如图（2）建立平面直角坐标系，当水面下降0.5m时，水面宽增加 m ．

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16. 如果关于x的分式方程 $\frac{m x - 1}{x - 2} = 2 + \frac{3}{2 - x}$ 有整数解，且二次函数y＝（m﹣2）x²+2x+1的图象与x轴有交点，那么符合条件的所有整数m的和为．

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17. 一个四位数n ，如果千位与十位上的数字之和等于百位与个位上的数字之和，则称n为“等和数”，将这个“等和数”反序排列（即千位与个位对调，百位与十位对调）得到一个新的四位数m ，记 $D (n) = \frac{n - m}{3 3^{2}}$ ，则D（1254）＝；若某个“等和数”n的千位与十位上的数字之和为8，D（n）为正数且能表示为两个连续偶数的平方差，则满足条件的最大“等和数”n是．

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三、解答题（本大题共8个小题，19题8分，其它各题每小题8分，共78分）解答题时每小题必须给出

18. 在学习等边三角形的过程中，小睿同学发现一个规律：在等边△ABC中，点D是AB边上任意一点，连接CD ，过点A的射线AE交BC于点E ，交CD于点F ，当∠BAE＝∠ACD时，则必有BD＝CE ．为验证此规律的正确性，小睿的思路是：先利用图，作∠BAE＝∠ACD ，再通过证全等得出结论．请根据小睿的思路完成以下作图与填空：

(1)、用直尺和圆规在图的基础上作∠BAE＝∠ACD ， AE交BC于点E ，交CD于点F ．（不写作法，不下结论，只保留作图痕迹）

(2)、证明：∵△ABC为等边三角形
∴AC＝AB＝BC ，（） ①
在△ACD和△BAE中
${\begin{array}{l} ∠ C A B = ∠ B \\ (2) \\ ∠ A C D = ∠ B A E \end{array}$
∴△ACD≌△BAE（ASA）
∴ ▲ ③
又∵AB＝BC
∴AB﹣AD＝ ▲ ④
∴BD＝CE ．

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19. 解方程：

(1)、x²﹣4x＝7；

(2)、3x（3x+1）＝6x+2．

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20. 巴川中学STEAM创新教育学部为提高学生的安全意识和安全技能，组织七、八年级学生进入区消防支队进行了实地学习和体验，并在学习结束后开展了一次消防知识竞赛．成绩分别为A、B、C、D四个等级，其中相应等级的得分依次记为10分、9分、8分、7分．学校分别从七、八年级各抽取25名学生的竞赛成绩整理并绘制成如下统计图表，请根据提供的信息解答下列问题：
年级
平均分
中位数
众数
方差
七年级
8.76
a
9
1.06
八年级
8.76
8
b
1.38

(1)、根据以上信息可以求出：a＝， b＝，并把七年级竞赛成绩统计图补充完整；

(2)、依据数据分析表，你认为七年级和八年级哪个年级的成绩更好，并说明理由；

(3)、若STEAM创新教育学部七、八年级共有800人参加本次知识竞赛，且规定9分及以上的成绩为优秀，请估计该学部七、八年级参加本次知识竞赛的学生中成绩为优秀的学生共有多少人？

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21. 重庆中国三峡博物馆（重庆博物馆）是一座集巴渝文化、三峡文化、抗战文化、移民文化和城市文化等为特色的历史艺术类综合性博物馆，也是国家4A级风景名胜区．每到假期各地游客纷纷前来游玩．据统计，今年国庆小长假第一天的游客人数为5000人次，第三天游客人数达到6050人次．

(1)、求今年国庆小长假第一天至第三天游客人数的平均日增长率；

(2)、博物馆附近某商店推出了木质旅游扇，每把扇子的成本为6元．根据销售经验，每把扇子定价为25元时，平均每天可售出300把．若每把扇子的售价每降价1元，平均每天可多售出20把．设每把扇子降价x元，商店每天所获利润为w元，求每把扇子的定价为多少元时，商店每天所获利润最大？最大利润是多少元？

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22. 如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点P从点B出发，沿折线B﹣C﹣D﹣A运动，当点P运动到点A时停止运动．设点P运动路程为x ， △ABP的面积为y ，

(1)、直接写出y₁与x的函数关系，并注明x的取值范围；

(2)、在给出的平面直角坐标系中画出y₁的函数图象，并写出它的一条性质；

(3)、函数y₂＝x²﹣8x+17的图象如图所示，请利用图象，直接写出当y₁＝y₂时，自变量x的值．（结果精确到0.1，误差不超过0.2）

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23. 今年贵州榕江村超爆火出圈，全国各地足球爱好者闻讯而至．在某一场足球比赛中，进攻方甲队三名球员A、C、D ，与乙队的防守球员B的位置如图所示．此时足球在球员A脚下，他想将球绕过对手B传至队友D处，再由D经线路DC回传给队友C ．已知对手B在A的北偏东60°方向，AB＝12米．球员C在对手B的正东方向，BC＝3米．球员D在队友C的正北方向，且在队友A的北偏东30°方向．（参考数据： $\sqrt{3}$ ≈1.73）

(1)、求传球线路CD的长（结果精确到1米）；

(2)、根据对手B的跑动和拦截范围估计，对手B可以破坏掉在B点5米范围内的球．球员D经线路DC传球给队友C的同时，队友C沿CD方向去接球，已知球速为10m/s ，球员C的平均速度为5m/s ．计算说明球员C是否能避开防守顺利接到球？

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24. 如图1，抛物线y＝ax²+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0）和点B ，与y轴正半轴交于点C ，且OC＝OB ．

(1)、求该抛物线的函数表达式；

(2)、点P为直线BC上方该抛物线上任意一点，过点P作PFlly轴交BC于点F ，作PE⊥BC于点E ，当PF的值最大时，求点P的坐标，并求出此时PF+PE的最大值；

(3)、如图2，在（2）问的条件下，将该抛物线沿射线CB的方向平移 $2 \sqrt{2}$ 个单位后得到新抛物线y^' ，新抛物线y^'与原抛物线的交点为M ．在新抛物线y^'的对称轴上有一点N ，在平面内有一点K ，是否存在以点P ， K ， M ， N为顶点的四边形是以PN为边的菱形？若存在，请直接写出点K的坐标并写出求解K点坐标的其中一种情况的过程；若不存在，请说明理由．

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25. 已知△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，CA＝CB ，点D在线段AB上运动．

(1)、如图1，连接CD ，过点C作CE⊥CD交BA的延长线于点E ．过点A作AF⊥AB交CE于点F ，若BD＝2，EA＝3，求EF的长；

(2)、如图2，点H是BC边上一点，连接DH ，过点A作AG∥BC交HD延长线于点G ．若BH＝AG ，将AD绕点D顺时针旋转60°得到线段MD ， MD交AC于点K ，连接AM ，过点C作CN⊥MD交AM于点N ，垂足为P ．求证：MN+ $\sqrt{2}$ MC＝MD；

(3)、如图3，若AB＝4，连接CD并将CD绕点D逆时针旋转90°得到线段QD ，连接CQ、BQ ，取CQ中点T ，点R在AC上且AC＝4CR ，连接RT ，直接写出当RT+ $\frac{1}{2}$ QB取得最小值时△BDQ的面积．

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年级	平均分	中位数	众数	方差
七年级	8.76	a	9	1.06
八年级	8.76	8	b	1.38

x	﹣1	0	1	2	3	4
y	﹣7	﹣5	﹣1	5	13	23