贵州省黔东南苗族侗族自治州2023-2024学年八年级上学期期末数学试题

试卷更新日期：2024-02-20 类型：期末考试

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一、单项选择题（每小题3分，共36分，每小题均有A、B、C、D四个选项，其中只有一个选项正确，请用2B铅笔在答题卡相应位置填涂）

1. 下面四个美术字中可以看作轴对称图形的是（　　）

A、 B、 C、 D、

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2. 已知点P关于x轴对称的点的坐标为 $(- 1 ， 2)$ ，则点P的坐标为（）

A、 $(2 ， 1)$ B、 $(1 ， - 2)$ C、 $(1 ， 2)$ D、 $(- 1 ， - 2)$

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3. 下列运算正确的是（）

A、 $a^{2} + 2 a = 3 a^{3}$ B、 $a^{10} \div a^{5} = a^{2}$ C、 ${(- 2 a^{3})}^{2} = 4 a^{6}$ D、 $a^{2} \cdot a^{3} = a^{6}$

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4. 某种原子的直径为 $2.4 \times 1 0^{- 5}$ ，把这个数化成小数是（）

A、 $240000$ B、 $0.00024$ C、 $24000$ D、 $0.000024$

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5. 若分式 $\frac{x^{2} - 1}{x + 1}$ 的值为0，则x的值为（）

A、 $\pm 1$ B、1 C、 $- 1$ D、无解

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6. 如图，是一副三角尺拼成的图案，则 $∠ A E B =$ （）

A、 $90 °$ B、 $75 °$ C、 $100 °$ D、 $60 °$

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7. 如图， $B D$ 是 $△ A B D$ 和 $△ C B D$ 的公共边，下列条件不能判定 $△ A B D ≌ △ C B D$ 的是（）

A、 $A B = C B$ ， $∠ A B D = ∠ C B D$ B、 $A B = C B$ ， $∠ A D B = ∠ C D B$ C、 $A B = C B$ ， $A D = C D$ D、 $∠ A B D = ∠ C B D$ ， $∠ A D B = ∠ C D B$

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8. 如图，已知 $R t △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $C D$ 是高， $∠ A = 30 °$ ， $B D = 2 c m$ ，则 $A B$ 的长是（）

A、 $4 c m$ B、 $6 c m$ C、 $8 c m$ D、 $10 c m$

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9. 若 $x^{2} + 2 (m - 3) x + 16$ 是完全平方式，则 $m$ 的值为（）

A、7或 $- 1$ B、 $- 5$ C、7或1 D、3

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10. 在 $△ A B C$ 的 $B C$ 边上找一点 $P$ ，使得 $P A + P C = B C$ ．下面找法正确的是（）

A、如图①以 $B$ 为圆心， $B A$ 为半径画弧，交 $B C$ 于点 $P$ ，点 $P$ 为所求 B、如图②以 $C$ 为圆心， $C A$ 为半径画弧，交 $B C$ 于点 $P$ ，点 $P$ 为所求 C、如图③作 $A B$ 的垂直平分线交 $B C$ 于点 $P$ ，点 $P$ 为所求 D、如图④作 $A C$ 的垂直平分线交 $B C$ 于点 $P$ ，点 $P$ 为所求

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11. 小东一家自驾车去某地旅行，手机导航系统推荐了两条线路，线路一全程75km，线路二全程90km，汽车在线路二上行驶的平均时速是线路一上车速的1.8倍，线路二的用时预计比线路一用时少半小时，如果设汽车在线路一上行驶的平均速度为xkm/h，则下面所列方程正确的是（）

A、 $\frac{75}{x} = \frac{90}{1.8 x} + \frac{1}{2}$ B、 $\frac{75}{x} = \frac{90}{1.8 x} - \frac{1}{2}$ C、 $\frac{75}{1.8 x} = \frac{90}{x} + \frac{1}{2}$ D、 $\frac{75}{1.8 x} = \frac{90}{x} - \frac{1}{2}$

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12. 如图， $△ A B C$ 是等边三角形， $A D$ 是 $B C$ 边上的高， $E$ 是 $A C$ 的中点， $P$ 是 $A D$ 上的一个动点，当 $P C$ 与 $P E$ 的和最小时， $∠ACP$ 等于（）

A、 $30 °$ B、 $90 °$ C、 $45 °$ D、 $60 °$

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二、填空题（每小题4分，共16分．答题请用0.5毫米黑色墨水的签字笔或钢笔直接写在答题卡的相应位置上）

13. 分解因式： $2 m^{2} - 2$ = ．

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14. 计算： $\frac{a + 3}{a + 2} - \frac{1}{a + 2} =$ ．

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15. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ，按以下步骤作图：①以 $B$ 为圆心，以任意长为半径作弧，分别交 $A B$ ， $B C$ 于点 $M$ ， $N$ ；②分别以 $M$ ， $N$ 为圆心，以大于 $\frac{1}{2} M N$ 的长为半径作弧，两弧在 $∠ A B C$ 内交于点 $P$ ；③作射线 $B P$ ，交 $A C$ 于点 $D ．$ 若 $S_{△ A B D} = 16$ ， $A B = 8$ ，则线段 $C D$ 的长为．

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16. 如图，在四边形 $A B C D$ 中， $A D = 6 ， B C = \frac{3}{2} ， ∠ A = 30 ° ， ∠ B = 90 ° ， ∠ A D C = 120 °$ ，则 $C D$ 的长为．

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三、解答题（本题共98分）

17. 计算：

(1)、 $a^{2} \cdot a^{4} + {(- 2 a^{2})}^{3}$

(2)、 ${(\frac{1}{2})}^{- 1} - {(2023 - π)}^{0} + 2023$

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18. 图1、图2、图3均是 $6 \times 6$ 的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点， $△ A B C$ 的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺和圆规，在给定的网格中，分别按下列要求画图，不写作法，保留适当的作图痕迹．

(1)、在图1中的线段 $A B$ 上找一点 $D$ ，连接 $C D$ ，使 $∠ B C D = ∠ B D C$ ；

(2)、在图2中的线段 $A C$ 上找一点 $E$ ，连接 $B E$ ，使 $∠ A B E = ∠ B A E$ ；

(3)、在图3中，作出 $A C$ 的垂直平分线 $M N$ ．

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19. 下面某同学解分式方程的过程，请认真阅读并完成相应学习任务：
$\frac{x - 3}{x - 2} + 2 = \frac{3}{2 - x}$
解：方程两边同乘 $x - 2$ ，得 $x - 3 + 2 = - 3$    第一步
解得 $x = - 2$    第二步
$∴$ 原分式方程的解为 $x = - 2$    第三步

(1)、上面的解题过程从第步开始出现错误，这一步错误的原因是；

(2)、请写出正确的解题过程．

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20. 在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，格点三角形 $A B C$ （顶点是网格线的交点的三角形）三个顶点的坐标分别为 $A (1 ， 1) 、 B (4 ， 2) 、 C (3 ， 4)$ ．

(1)、请在网格中建立平面直角坐标系；

(2)、若 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ 与 $△ A B C$ 关于 $y$ 轴成轴对称，则 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ 三个顶点坐标分别为 $A_{1}$ ▲ ， $B_{1}$ ▲ ， $C_{1}$ ▲ ；并画出 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ；

(3)、求 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ 的面积．

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21. 计算：

(1)、 $(x + 2 y) (x - 2 y) - {(x + y)}^{2}$ ；

(2)、先化简再求值： $(m - 2 - \frac{2 m - 5}{m + 2}) \div \frac{m^{2} - 2 m + 1}{m^{2} - 4}$ ，选择一个合适的整数 $m$ 代入求值．

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22. 阅读材料：教科书中提到“ $a^{2} + 2 a b + b^{2}$ 和 $a^{2} - 2 a b + b^{2}$ 这样的式子叫做完全平方式．”有些多项式不是完全平方式，我们可以通过添加项，凑成完全平方式，再减去这个添加项，使整个式子的值不变，这样也可以将多项式进行分解，并解决一些最值问题．例如：分解因式：
$x^{2} - 2 x - 3 = x^{2} - 2 x + 1 - 4 = {(x - 1)}^{2} - 2^{2} = (x - 1 + 2) (x - 1 - 2) = (x + 1) (x - 3)$
求代数式 $x^{2} - 2 x - 3$ 的最小值
$x^{2} - 2 x - 3 = x^{2} - 2 x + 1 - 4 = {(x - 1)}^{2} - 4$
∵ ${(x - 1)}^{2} \geq 0$ ， ∴当 $x = 1$ 时，代数式 $x^{2} - 2 x - 3$ 有最小值 $- 4$ ．
结合以上材料解决下面的问题：

(1)、分解因式： $x^{2} + 4 x - 5$ ；

(2)、求代数式 $x^{2} + 4 x - 5$ 的最小值；

(3)、当 $a 、 b$ 为何值时， $a^{2} - 2 a b + 2 b^{2} + 4 b + 2024$ 有最小值？最小值是多少？

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23. 如图，点C在线段 $A B$ 上， $A D ∥ B E$ ， $A C = B E$ ， $A D = B C$ ， $C F ⊥ D E$ 于点F ．

(1)、求证： $△ A C D ≌ △ B E C$ ；

(2)、若 $∠ D C E = 100 °$ ，求 $∠ C D E$ 的度数；

(3)、求证： $C F$ 平分 $∠ D C E$ ．

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24. 为支援灾区，某学校献爱心活动小组准备用筹集的资金购买甲、乙两种型号的学习用品共1000件.已知乙型学习用品的单价比甲型学习用品的单价多20元，用180元购买乙型学习用品与用120元购买甲型学习用品的件数相同.

(1)、求甲，乙两种学习用品的单价各是多少元；

(2)、若购买这批学习用品的费用不超过48000元，则最多购买乙型学习用品多少件？

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25. 已知，在等边三角形 $A B C$ 中，点E在 $A B$ 上，点D在 $C B$ 的延长线上，且 $E D = E C$ ．

(1)、【特殊情况，探索结论】如图1，当点E为 $A B$ 的中点时，确定线段 $A E$ 与 $D B$ 的大小关系，请你直接写出结论： $A E$ $D B$ （填“＞”、“＜”或“＝”）．

(2)、【特例启发，解答题目】如图2，当点E为 $A B$ 边上任意一点时，确定线段 $A E$ 与 $D B$ 的大小关系，请你写出结论，并说明理由． $A E$ ▲ $D B$ （填“＞”、“＜”或“＝”）；理由如下，过点E作 $E F ∥ B C$ ，交 $A C$ 于点F ．（请你完成以下解答过程）．

(3)、【拓展结论，设计新题】在等边三角形 $A B C$ 中，点E在直线 $A B$ 上，点D在线段 $C B$ 的延长线上，且 $E D = E C$ ，若 $△ A B C$ 的边长为1， $A E = 2$ ，求 $C D$ 的长（直接写出结果）．

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