湖南省长沙市浏阳市2023-2024学年八年级上学期期末数学试题

试卷更新日期：2024-02-20 类型：期末考试

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一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．请在答题卡中填涂符合题意的选项，本大题共10个小题，每小题3分，共30分）

1. LOGO是标志、徽标或者商标的英文说法，是人们在长期的生活和实践中形成的一种视觉化的信息表达方式．在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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2. 古时候，诗词被视为一种高雅的艺术形式，是文人雅士们表达情感、抒发思想的工具．“白日不到处，青春恰自来．苔花如米小，也学牡丹开．”这是清朝袁枚的一首诗《苔》．若苔花的花粉直径约为 $0.0000084 m$ ，用科学记数法表示 $0.0000084 = 8.4 \times 1 0^{n}$ ，则 $n$ 为（）

A、 $- 5$ B、 $- 6$ C、5 D、6

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3. 要使分式 $\frac{x + 1}{x - 1}$ 有意义，则 $x$ 的取值范围是（）

A、 $x \neq - 1$ B、 $x \neq 1$ C、 $x \neq \pm 1$ D、 $x \neq 0$

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4. 下列计算正确的是（）

A、 $a^{8} \div a^{4} = a^{2}$ B、 $a^{2} + a^{3} = a^{5}$ C、 ${(x^{3})}^{2} = x^{6}$ D、 ${(a \cdot b)}^{2} = a b^{2}$

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5. 计算 ${(x - 1)}^{2} =$ ____．

A、 $x^{2} - 1$ B、 $x^{2} - x + 1$ C、 $x^{2} - 2 x + 1$ D、 $x^{2} + 2 x + 1$

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6. 第19届亚运会于2023年9月23日至10月8日在杭州举行，共产生金牌481枚，银牌480枚，铜牌631枚，奖牌取名“湖山”，以良渚文化中的礼器玉琮为表征，将八边形和圆形奖章融为一体，别具一格，具有很高的辨识度，请问该八边形的内角和是多少度？（）

A、 $720 °$ B、 $900 °$ C、 $1080 °$ D、 $1260 °$

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7. 如图是雨伞在开合过程中某时刻的结构图， $A B 、 A C$ 是伞骨， $D M ， E M$ 是连接弹簧和伞骨的支架，已知点D ， E分别是 $A B ， A C$ 的中点， $A B = A C$ ， $D M = E M$ ．弹簧M在向上滑动的过程中，总有 $△ A D M ≌ △ A E M$ ，其判定依据是（）

A、 $A S A$ B、 $A A S$ C、 $S S S$ D、 $H L$

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8. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $A D ⊥ B C$ ，且 $B C = 4$ ，则BD长为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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9. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $A B$ 的垂直平分线交 $A B$ 于点 $D$ ，交 $A C$ 于点 $E$ ，若 $∠ A = 40 °$ ，则 $∠ B E C =$ （）

A、 $60 °$ B、 $70 °$ C、 $80 °$ D、 $30 °$

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10. 如图，∠1=∠2，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，下列结论错误的是（）

A、PD = PE B、OD = OE C、∠DPO = ∠EPO D、PD = OD

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二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）

11. 在平面直角坐标系中，点 $(2 ， 5)$ 关于 $x$ 轴对称的点的坐标为．

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12. 计算： $202 4^{0} - 2^{- 1} =$ ．

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13. 已知三角形的三边长分别是2、7、 $x$ ，且 $x$ 为奇数，则 $x =$ ．

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14. 化简： $\frac{x y}{3 x^{2} y} =$ ．

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15. 如图，若AB＝AD ，加上一个条件，则有△ABC≌△ADC ．

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16. 由于木质的衣架没有柔性，在挂置衣服的时候不太方便操作．小敏设计了一种衣架，在使用时能轻易收拢，然后套进衣服后松开即可．如图1，衣架杆 $O A = O B = 15 c m$ ．若衣架收拢时， $∠ A O B = 60 °$ ，如图2，则此时A ， B两点间的距离是cm．

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三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题8分，第22、23题每小题9分，第24、25题每小题10分，共72分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）

17. 因式分解：

(1)、 $x y + 3 y$ ；

(2)、 $a x^{2} - 4 a$ ．

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18. 化简，求值： $(1 - \frac{2}{a - 1}) \div \frac{a^{2} - 6 a + 9}{a^{2} - a}$ ，其中 $a = 4$ ．

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19. 解分式方程： $\frac{1}{x} = \frac{5}{x + 3}$ ．

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20. 如图，点 $E$ ， $N$ ， $G$ ， $H$ 在一条直线上， $E H = G N$ ， $E F = M N$ ， $E F ∥ M N$ ．

(1)、求证： $△ E F G ≌ △ N M H$ ；

(2)、若 $E H = 1.1 c m$ ， $N H = 3.3 c m$ ，求 $G H$ 的长度．

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21. 小马和小虎两人共同计算一道整式乘法题： $(3 x + a) (2 x + b)$ ，由于小马抄错了 $b$ 的符号，得到的结果为 $6 x^{2} - 17 x + 12$ ；由于小虎漏抄了第一个多项式中 $x$ 的系数，得到的结果为 $2 x^{2} - 5 x - 12$ ．

(1)、求出 $a$ ， $b$ 的值；

(2)、请你计算出这道整式乘法题的正确结果．

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22. 如图，点 $P$ ， $M$ ， $N$ 分别在等边 $△ A B C$ 的各边上，且 $M P ⊥ A B$ 于点 $P$ ， $M N ⊥ B C$ 于点 $M$ ， $P N ⊥ A C$ 于点 $N$ ．

(1)、求证： $△ P M N$ 是等边三角形；

(2)、若 $A C = 12 c m$ ，求 $C M$ 的长．

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23. “春节”是我国最传统、最热闹的节日．计划由甲、乙两个工厂一起生产一批2024龙年春晚吉祥物形象“龙辰辰”．已知甲工厂每天生产的数量是乙工厂每天生产数量的 $1.5$ 倍，两工厂各生产2400个该吉祥物时，甲工厂比乙工厂少用2天．

(1)、求甲乙两工厂每天各生产多少个吉祥物？

(2)、已知甲乙两工厂生产该吉祥物每天的费用分别是1800元和1000元，计划由两个工厂合作生产15000个这种吉祥物，由于时间的限制，甲乙两工厂同时开始生产，同时结束，那么一共需要支付多少资金？

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24. 将完全平方公式 ${(a \pm b)}^{2} = a^{2} \pm 2 a b + b$ 进行适当的变形，可以解决很多的数学问题，例如：若 $a + b = 3$ ， $a b = 1$ ，求 $a^{2} + b^{2}$ 的值．解： $∵ a + b = 3$ ， $∴ {(a + b)}^{2} = 9$ ，即 $a^{2} + 2 a b + b^{2} = 9$ ．又 $∵ a b = 1$ ， $∴ a^{2} + b^{2} = 7$ ．
根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：

(1)、若 $m + n = 7$ ， $m^{2} + n^{2} = 40$ ，求 $m n$ 的值；

(2)、若 $m - n = 8$ ， $m n = 9$ ，求 $m^{2} + n^{2}$ 的值；

(3)、两个正方形 $A B C D$ 、 $A E F G$ 如图摆放，面积和为 $34$ ， $B G = 8$ ，求图中阴影部分面积．

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25.

(1)、如图1， $△ A B C$ 中， $∠ B A C = 90 °$ ， $A B = A C$ ，直线 $l$ 经过点 $A$ ，分别过点 $B$ ， $C$ 作直线 $l$ 的垂线，垂足分别为 $D$ ， $E$ ，求证： $△ C A E ≌ △ A B D$ ．

(2)、在（1）的条件下，猜想：线段 $A B$ ， $B D$ ， $A D$ 之间的数量关系，并证明你的结论；

(3)、如图2，在平面直角坐标系中， $A (3 ， 0)$ ，点 $P (0 ， y_{P})$ 是 $y$ 轴正半轴上的一个动点，以 $A P$ 为直角边作等腰直角 $△ A P D$ ，点 $B (x_{B} ， y_{B})$ 在第二象限内，且 $∠ A P B = 90 °$ ，在点 $P$ 的运动过程中， $y_{P} - y_{B}$ 的值是否会发生变化？若不变，求出这个值；若变化，请说明理由．

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