湖南省邵阳市邵阳县2023-2024学年八年级上学期期末数学试题

试卷更新日期：2024-02-20 类型：期末考试

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一、选择题（本大题共有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的）

1. 9的平方根是（）

A、3 B、 $- 3$ C、 $\pm 3$ D、 $\pm \sqrt{3}$

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2. 已知： $a = {(\frac{1}{2})}^{- 3}$ ， $b = (- 3)^{2}$ ， $c = (π - 2023)^{0}$ ，则a ， b ， c大小关系是（）

A、 $c < a < b$ B、 $b < a < c$ C、 $c < b < a$ D、 $a < c < b$

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3. 下列二次根式是最简二次根式的是（）

A、 $\sqrt{12}$ B、 $\sqrt{7}$ C、 $\sqrt{\frac{1}{2}}$ D、 $\sqrt{8}$

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4. 不等式 $6 - 2 x \geq 3 x - 4$ 的正整数解有（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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5. 在下列命题中，是真命题的是（）

A、相等的角是对顶角 B、若 $a < b$ ，则 $a c < b c$ C、两个锐角的和是钝角 D、有两个角相等的三角形是等腰三角形

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6. 北京市高级别自动驾驶示范区今年将启动 $3.0$ 阶段建设，某区计划修建一条自动驾驶车道，在实际施工中，由于增加了施工人员，每天可以比原计划多修建50米，现在完成2500米与原计划完成2000米所用时间相同，设原计划每天修建车道x米，根据题意可得方程（）

A、 $\frac{2000}{x - 50} = \frac{2500}{x}$ B、 $\frac{2000}{x} = \frac{2500}{x - 50}$ C、 $\frac{2000}{x} = \frac{2500}{x + 50}$ D、 $\frac{2000}{x + 50} = \frac{2500}{x}$

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7. 已知 $∠ A O B$ ，求作射线 $O P$ 平分 $∠ A O B$ ，作法；
① 以O为圆心，适当长为半径作弧，交 $O A$ 于点M ，交 $O B$ 于点N ．
② 分别以M ， N为圆心．大于 $\frac{1}{2} M N$ 的长为半径作弧，两弧在 $∠ A O B$ 的内部交于P ．
③作射线 $O P$ ．射线 $O P$ 即为所求．请问作图依据是（）

A、 $A S A$ B、 $S A S$ C、 $S S S$ D、 $A A S$

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8. 已知关于x的不等式（a﹣1）x＞2的解集为 $x < \frac{2}{a - 1}$ ，则a的取值范围是（）

A、a＜1 B、a＞1 C、a＜0 D、a＞0

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9. 不等式组 ${\begin{array}{l} x + 2 > 0 \\ 5 - x \leq 2 \end{array}$ 的解集在数轴上表示正确的是（）

A、 B、 C、 D、

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10. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A B C = 60 °$ ， $A D$ 平分 $∠ B A C$ 交 $B C$ 于点D ， $C E$ 平分 $∠ A C B$ 交 $A B$ 于点E ， $A D$ ， $C E$ 交于点F ．则下列说法正确的有（）
① $∠ A F C = 120 °$ ；② $△ A E F ≌ △ C D F$ ；③若 $A B = 2 A E$ ，则 $C E ⊥ A B$ ；④ $C D + A E = A C$ ．

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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二、填空题（本大题共有8个小题，每小题3分，共24分）

11. 计算： $\sqrt{3}$ × $\sqrt{5}$ ＝.

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12. 某校组织八年级学生参观植物园时，了解到世界上最小的花粉是勿忘草的花粉，它的直径仅为 $0.000004$ 米，用科学记数法可表示为米．

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13. 已知：一个正数的两个平方根分别是5和 $a - 1$ ，则a的值是．

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14. 如图，已知 $A B = D E$ ， $∠ B = ∠ E$ ，请再添加一个条件，使得 $△ A B C ≌ △ D E F$ ．这个条件可以是：．（只填一个条件即可）

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15. 若分式 $\frac{1}{2 x - 1}$ 有意义，则 $x$ 的取值范围是．

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16. 如图所示，在 $△ A B C$ 中， $A C$ 的垂直平分线分别交 $A C$ 、 $B C$ 于E、D两点，且 $A B = 5$ ， $B C = 7$ ，则 $△ A B D$ 的周长是．

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17. 已知不等式组 ${\begin{array}{l} x - 2 > 0 \\ x < a \end{array}$ 的解集中共有3个整数，则 $a$ 的取值范围是：．

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18. 疫情期间，有一批患者要入住邵阳市中心医院的某栋大楼，若每间住4人，则有38人无法入住；若每间住5人，则最后一间没住满．若设房间数为x间，则可列不等式组为：．

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三、解答题（本大题共有8个小题，第19-25题每小题8分，第26题10分，共66分．解答应写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程）

19. 如图，点D ， E在 $△ A B C$ 的边 $B C$ 上， $∠ B = ∠ C$ ， $∠ A D B = ∠ A E C$ ，求证： $△ A B D ≌ △ A C E$ ．

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20. 按要求解答下列各题．

(1)、计算： $(\sqrt{2} + \sqrt{3}) (\sqrt{3} - \sqrt{2})$ ．

(2)、解分式方程： $\frac{6}{x + 2} + \frac{12}{x^{2} - 4} = 0$ ．

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21. 解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．
${\begin{array}{l} 4 x + 1 \leq 2 x + 3 \\ 2 x > \frac{3 x - 2}{2} \end{array}$

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22. 化简求值：先化简 $\frac{a + 2}{a - 1} \div \frac{a^{2} - 4}{2 a - 2} - \frac{3}{a - 2}$ ，再从 $- 2$ ， $- 1$ ， 1，3中选一个你喜欢的数作为a的值代入计算．

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23. 今年元旦节，某商场购进甲、乙两种纪念品，若购进甲种纪念品 $1$ 件、乙种纪念品 $2$ 件，则共需 $150$ 元，若购进甲种纪念品 $3$ 件、乙种纪念品 $1$ 件，则共需 $225$ 元．

(1)、甲、乙两种纪念品每件各需要多少元？

(2)、商场决定购进甲、乙两种纪念品共 $20$ 件，若购进两种纪念品的总资金不超过 $1000$ 元，则最多购进甲种纪念品多少件？

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24. 如图， $D E ⊥ A B$ 于 $E$ ， $D F ⊥ A C$ 于 $F$ ， $A D$ 平分 $∠ E A F$ ，若 $A F = 20$ ， $B E = 6$ ，求 $A B$ 的长．

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25. 阅读下列解题过程
例：若代数式 $\sqrt{(a - 1)^{2}} + \sqrt{(a - 3)^{2}}$ 的值是2，求a的取值范围
解：原式 $= | a - 1 | + | a - 3 |$ ，
当 $a < 1$ 时，原式 $= (1 - a) + (3 - a) = 4 - 2 a = 2$ ，解得 $a = 1$ （舍去）；
当 $1 \leq a \leq 3$ 时，原式 $= (a - 1) + (3 - a) = 2 = 2$ ，符合条件；
当 $a > 3$ 时，原式 $= (a - 1) + (a - 3) = 2 a - 4 = 2$ ，解得 $a = 3$ （舍去）．
$∴ a$ 的取值范围是 $1 \leq a \leq 3$ ．
上述解题过程主要运用了分类讨论的方法，请你根据上述理解，解答下列问题：

(1)、当 $2 \leq a \leq 4$ 时，化简： $\sqrt{(a - 2)^{2}} + \sqrt{(a - 4)^{2}} =$ ．

(2)、若 $\sqrt{(a + 1)^{2}} + \sqrt{(a - 5)^{2}} = 10$ ，求a的取值范围．

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26. 如图1，点A、C、E在同一条直线上，在 $△ A C B$ 和 $△ E C D$ 中， $C A = C B$ ， $C D = C E$ ， $∠ A C B = ∠ D C E = α$ ， $A D$ 、 $B E$ 相交于点M ．

(1)、求证： $△ A D C ≌ △ B E C$ ；

(2)、用含 $α$ 的式子表示 $∠ A M B$ 的度数；

(3)、如图2，当 $α = 60 °$ 时，取 $A D$ ， $B E$ 的中点分别为点P、Q ，连接 $C P$ ， $C Q$ ， $P Q$ ，判断 $△ C P Q$ 的形状，并加以证明．

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