湖南省张家界市永定区2023-2024学年八年级上学期期末数学试题

试卷更新日期：2024-02-20 类型：期末考试

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一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，满分30分．请将正确答案的字母代号填在下表中．）

1. 下列各数： $\frac{\sqrt{5}}{3}$ ， $\sqrt[3]{4}$ ， $23$ ， $π - 3.14$ ， $\sqrt[3]{- 8}$ ， $- 0.1010010001$ ，其中无理数有（）

A、 $2$ 个 B、 $3$ 个 C、 $4$ 个 D、 $5$ 个

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2. 下列各式中不是分式的是（）

A、 $\frac{x^{2}}{x}$ B、 $\frac{x + 1}{x - 1}$ C、 $\frac{4}{π}$ D、 $1 - \frac{3}{x}$

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3. 若 $x < y$ ，则下列不等式成立的是（）

A、 $x + 1 > y + 1$ B、 $2 x > 2 y$ C、 $- x > - y$ D、 $\frac{x}{3} > \frac{y}{3}$

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4. 下列式子正确的是（）

A、 $\sqrt{4} = \pm 2$ B、 $\sqrt{5} + \sqrt{2} = \sqrt{7}$ C、 $\sqrt{2} \times \sqrt{6} = 2 \sqrt{3}$ D、 $2 \sqrt{5} - \sqrt{5} = 2$

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5. 如果三角形的两边分别为3和5，那么这个三角形的周长可能是

A、15 B、16 C、8 D、7

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6. 计算 ${(- \frac{b}{a})}^{2} \cdot a^{3}$ 的结果为（　　）

A、 $a b^{2}$ B、 $- a b^{2}$ C、 $\frac{b^{2}}{a^{5}}$ D、 $- \frac{b^{2}}{a^{5}}$

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7. 将一副直角三角板如图放置，使两直角边重合，则 $∠ α$ 的度数为（）

A、 $105 °$ B、 $120 °$ C、 $135 °$ D、 $165 °$

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8. 若关于x的方程 $\frac{k}{x - 1} + 3 = \frac{x}{1 - x}$ 有增根，则 $k$ 的值为（）

A、 $- 1$ B、 $- 3$ C、0 D、1

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9. a ， b是两个连续整数，若 $a < \sqrt{17} < b$ ，则 $a b$ 是（）

A、12 B、13 C、20 D、21

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10. 我国宋代数学家杨辉发现了 ${(a + b)}^{n}$ （ $n = 0$ ， 1，2，3，…）展开式系数的规律：
以上系数三角表称为“杨辉三角”，根据上述规律， ${(a + b)}^{8}$ 展开式的系数和是（）

A、64 B、128 C、256 D、612

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二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分）

11. 当x时，分式 $\frac{1}{2 x + 1}$ 无意义.

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12. 斑叶兰被列为国家二级保护植物，它的一粒种子重约0.0000005克.将0.0000005科学记数法表示为.

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13. 计算，并把结果化为只含有正整数指数幂的形式： ${(2 m^{2} n^{- 3})}^{3} {(- m^{} n^{- 2})}^{- 2}$ = ．

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14. 把命题“和为 $180 °$ 的两个角互为补角”写成“如果．．．．．．，那么．．．．．．”的形式是．

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15. 已知不等式组 ${\begin{array}{l} x < 2 \\ x > m \end{array}$ 无解，则m的取值范围是．

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16. 如图所示， $A B = A C$ ， $A D = A E$ ， $∠ B A C = ∠ D A E$ ， $B$ ， $D$ ， $E$ 三点在一条直线上，若 $∠ 1 = 26 °$ ， $∠ 3 = 56 °$ ，则 $∠ 2$ 的度数为.

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17. 对于三个数a ， b ， c ，我们规定 $m a x {a ， b ， c}$ 表示这三个数中最大的数.例如 $m a x {1 ， 2 ， - 3} = 2$ ， $m a x {- 2 ， 4 ， 4} = 4$ 若 $m a x {1 ， x + 1 ， 2 x} = 2 x$ ，则x的取值范围是．

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18. 如图，在 $△ A B C$ 中， $B A = B C$ ， $B D$ 平分 $∠ A B C$ ，交 $A C$ 于点 $D$ ，点 $M$ 、 $N$ 分别为 $B D$ 、 $B C$ 上的动点，若 $B C = 4$ ， $△ A B C$ 的面积为 $6$ ，则 $C M + M N$ 的最小值为．

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三、解答题（共66分）

19. 计算：

(1)、 $\frac{\sqrt{18}}{3} + | \sqrt{2} - 2 | + 202 3^{0} - {(\frac{1}{2})}^{- 1}$ ；

(2)、 $(\sqrt{5} + 3) (\sqrt{5} - 3) - {(\sqrt{3} - 1)}^{2}$ ．

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20. 解不等式组： ${\begin{cases} 3 (x + 1) \geq x - 1 \\ \frac{x + 15}{2} > 3 x \end{cases}$ ，并写出它的所有正整数解．

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21. 如图，∠1＝∠2，AB＝AE ， AC＝AD ．求证：BC＝ED ．

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22. 先化简，再求值： $(1 + \frac{1}{x - 2}) \div \frac{x^{2} - 2 x + 1}{x^{2} - 4}$ ，其中 $x = - 3$ ．

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23. 已知 $x = 2 - \sqrt{3} ， y = 2 + \sqrt{3}$ ．

(1)、求 $x + y$ 和 $x y$ 的值；

(2)、求 $x^{2} + y^{2} - 3 x y$ 的值；

(3)、若 $x$ 的小数部分是 $a$ ， $y$ 的整数部分是 $b$ ，求 $a x - b y$ 的值．

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24. 2022年12月26日常益长高铁全线开通，高铁的开通为张家界市民的出行带来了方便．从张家界到长沙，路程约为 $360 k m$ ，某趟动车的平均速度比普通列车快 $50 %$ ，所需时间比普通列车少1小时，求该趟动车的平均速度．

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25. 阅读材料，并解决问题，我们知道，分子比分母小的分数叫做“真分数”，分子大于或等于分母的分数，叫做“假分数”．类似地，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．
如 $\frac{x - 1}{x + 1}$ ， $\frac{x^{2}}{x + 1}$ 这样的分式就是假分式；再如 $\frac{3}{x + 1}$ ， $\frac{2 x}{x^{2} + 1}$ 这样的分式就是真分式；
假分数 $\frac{7}{4}$ 可以化成 $1 + \frac{3}{4}$ （即 $1 \frac{3}{4}$ ）带分数的形式，类似的，假分式也可以化为带分式（整式与真分式的和或差）的形式．如： $\frac{x + 1}{x - 1} = \frac{x - 1 + 2}{x - 1} = \frac{x - 1}{x - 1} + \frac{2}{x - 1} = 1 + \frac{2}{x - 1}$ ，
再如：
$\frac{3 x^{2} + 4 x - 1}{x + 1} = \frac{3 x (x + 1) + x - 1}{x + 1} = \frac{3 x (x + 1) + x + 1 - 2}{x + 1} = \frac{3 x (x + 1)}{x + 1} + \frac{x + 1}{x + 1} - \frac{2}{x + 1} = 3 x + 1 - \frac{2}{x + 1}$
这样，分式就被拆分成了带分式（即一个整式（ $3 x + 1$ ）与一个分式（ $\frac{2}{x + 1}$ ）的差）的形式．

(1)、判断： $\frac{x + 2}{x + 1}$ 是真分式还是假分式？（填“真分式”或“假分式”）；

(2)、将“假分式” $\frac{x^{2} - 2 x}{x - 1}$ 化成带分式的形式；

(3)、思考：当x取什么整数时，分式 $\frac{5 x^{4} + 9 x^{2} + 6}{x^{2} + 2}$ 的值为整数？

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26. 在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $A C = C B$ ，过点C作直线 $M N$ ， $A M ⊥ M N$ 于点M， $B N ⊥ M N$ 于点N．

(1)、若 $M N$ 在 $△ A B C$ 外（如图1），求证： $M N = A M + B N$ ；

(2)、若 $M N$ 与线段 $A B$ 相交（如图2），且 $A M = 2.6$ ， $B N = 1.1$ ，则 $M N =$ ．

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