湖南省常德市安乡县2023-2024学年八年级上学期期末数学试题

试卷更新日期：2024-02-20 类型：期末考试

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一、选择题（本题共8个小题，每小题3分，满分24分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意.）

1. 下列数中，无理数的是（）．

A、 $\sqrt{16}$ B、 $\sqrt[3]{- 27}$ C、 $π$ D、3.1415926

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2. 如果 $| a | > | b |$ ，那么下列结论一定正确的是（）．

A、 $a + 1 < b + 1$ B、 $- 2 a > - 2 b$ C、 $\frac{1}{2} a > \frac{1}{2} b$ D、 $a^{2} - 1 > b^{2} - 1$

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3. 下列长度的三条线段不能组成三角形的是（）．

A、 $1 ， 2 ， 3$ B、 $2 ， 3 ， 4$ C、 $3 ， 4 ， 5$ D、 $5 ， 6 ， 7$

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4. 若分式 $\frac{(x + 3) (x - 4)}{x^{2} - 16}$ 的值为零，则 $x$ 的值为（）．

A、4或 $- 4$ B、 $- 3$ C、 $- 3$ 或4 D、4

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5. 下列运算正确的是（）．

A、 $\sqrt{(\sqrt{6} - \sqrt{2}) (\sqrt{6} + \sqrt{2})} = 2$ B、 ${(- 1)}^{3} = - 3$ C、 $x^{8} \div x^{2} = x^{4}$ D、 $\sqrt[3]{8} = 4$

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6. 如图，在 $△ A B C$ 中，分别以点 $B$ 和点 $C$ 为圆心，大于 $\frac{1}{2} B C$ 长为半径画弧，两弧相交于点 $M ， N$ ．作直线 $M N$ ，交 $A C$ 于点 $D$ ，交 $B C$ 于点 $E$ ，连接 $B D$ ．若 $A B = 8 ， A C = 13 ， B C = 4$ ，则 $△ A B D$ 的周长为（）．

A、25 B、21 C、16 D、17

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7. 临近春节，某机械厂要加速生产一批零件，现在平均每天生产零件比原计划平均每天多生产 $400$ 个，现在生产 $7000$ 个零件所需时间与原计划生产 $5000$ 个零件所需时间相同，那么原计划平均每天生产多少个零件？设原计划平均每天可生产 $x$ 个零件，则下面所列方程正确的是（）．

A、 $\frac{5000}{x} = \frac{7000}{x + 400}$ B、 $\frac{7000}{x} = \frac{5000}{x + 400}$ C、 $\frac{5000}{x} = \frac{7000}{x - 400}$ D、 $\frac{5000}{x - 400} = \frac{7000}{x}$

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8. 如图， $A D$ 是 $∠ B A C$ 的角平分线， $∠ A D B = 100 ° ， ∠ D B C = 25 ° ， ∠ C = 53 °$ ，则 $∠ D B A$ 是（）．

A、 $52 °$ B、 $42 °$ C、 $58 °$ D、 $32 °$

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二、填空题（本大题8个小题，每小题3分，满分24分）

9. 比较大小： $- 2 \sqrt{7}$ $- 3 \sqrt{3}$ ．（填“＞”“＜“或“＝”）

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10. 我们之所以能看见物体，是因为我们的眼睛感受到了从物体表面反射回来的可见光，可见光的光波最短约为 $0.00000048 m$ ，这个数用科学记数法表示为 $m$ ．

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11. 关于 $x$ 的不等式组 ${\begin{array}{l} x > m - 1 \\ x < m + 2 \end{array}$ 的整数解只有0和1，则 $m =$ ．

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12. 若一个正数 $x$ 的平方根是 $\sqrt[3]{17 - a}$ 和 $\sqrt[3]{3 a - 1}$ ，则 $\sqrt[3]{a}$ 的值为．

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13. 如图，点 $C$ 是线段 $B D$ 上一点， $∠ A = 50 ° ， ∠ B = 70 ° ， ∠ D = 35 ° ， ∠ D E C =$ ．

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14. 若关于 $x$ 的分式方程 $\frac{2 x}{x - 1} - 3 = \frac{2 m}{x - 1}$ 无解，则 $m =$ ．

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15. 如图，过边长为2的等边 $△ A B C$ 的边 $A B$ 上一点 $P$ ，作 $P E ⊥ A C$ 于点 $E$ ， $Q$ 为 $B C$ 延长线上一点，当 $P A = C Q$ 时，连接 $P Q$ 交 $A C$ 边于点 $D$ ，则 $D E$ 的长为.

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16. 如图，等腰 $△ A B C$ 面积为21，底边 $B C = 6$ ，点 $D ， F$ 分别是 $A C ， B C$ 的中点， $D H ⊥ A C$ 交 $A B$ 于 $H$ ，点 $E$ 是 $D H$ 上一动点，则 $△ C E F$ 的周长的最小值为．

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三、解答题（本大题2个小题，每小题5分，满分10分）

17. 计算： $\sqrt{{(- 2)}^{2}} + {(π - 3.14)}^{0} + (\sqrt{5} - \sqrt{2}) (\sqrt{5} + \sqrt{2}) - {(\frac{1}{4})}^{- 1}$

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18. 解方程： $\frac{4 - x}{x - 2} - \frac{2}{2 - x} = 3$

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四、解答题（本大题2个小题，每小题6分，满分12分）

19. 解不等式组 ${\begin{array}{l} 3 x - 4 > 2 (x - 3) \\ 2 (x - 1) \leq x + 1 \end{array}$ ，并将解集在数轴上表示出来．

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20. 先化简，再求值： $(2 - \frac{4}{x - 1}) \cdot \frac{x^{2} - x}{x^{2} - 6 x + 9}$ ，其中 $x = 4$ ．

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五、解答题（本大题2个小题，每小题7分，满分14分）

21. 已知 $a$ 是 $\sqrt{8}$ 的整数部分，且 ${(b - 32)}^{2} + \sqrt{3 - c} = 0$ ，求 $| a^{2} - b + 4 c |$ 的平方根．

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22. 如图，已知 $A C = C E ， ∠ 1 = ∠ 2 = ∠ 3$ ．求证：

(1)、 $∠ B = ∠ D$ ；

(2)、 $A C$ 是 $∠ B A E$ 的平分线．

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六、解答题（本大题2个小题，每小题8分，满分16分）

23. 安乡是中国酱卤之乡，某酱卤专卖店用8000元购进一批酱卤制品，很快售完，专卖店老板又用3500元购进第二批同样的酱卤制品，进货量是第一次的一半，但进价每件比第一批降低了20元．

(1)、这两次购进这种酱卤制品共多少件？

(2)、若第一批酱卤制品的售价是200元/件，老板想让这两批酱卤制品售完后的总利润不低于4000元，则第二批酱卤制品每件至少要售多少元？

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24. 如图1：在 $△ A B C$ 中， $B D$ 平分 $∠ A B C ， A D ⊥ D B$ ，且 $A B = 6 ， A D = 2$ ，

(1)、若 $∠ C A D = ∠ A C B$ ，求 $B C$ 的长；

(2)、如图2，若 $A E ⊥ B C$ 交 $B C$ 于 $E$ ，交 $B D$ 于 $F$ ，且 $△ A B E$ 为等腰三角形，求 $B F$ 的长．

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七、解答题（本大题2个小题，每小题10分，满分20分）

25. 阅读材料：
在解决问题“已知 $a = \frac{1}{2 - \sqrt{3}}$ ，求 $3 a^{2} - 12 a + 4$ 的值”时，小红是这样分析与解答的：
$∵ a = \frac{1}{2 - \sqrt{3}} = \frac{2 + \sqrt{3}}{(2 - \sqrt{3}) (2 + \sqrt{3})} = 2 + \sqrt{3}$ ，
$∴ a - 2 = \sqrt{3}$ $∴ {(a - 2)}^{2} = 3$ ，即 $a^{2} - 4 a + 4 = 3 ∴ a^{2} - 4 a = - 1$ ．
$3 a^{2} - 12 a + 4 = 3 (a^{2} - 4 a) + 4 = - 3 + 4 = 1$ ．请你根据小红的分析过程，解决如下问题：

(1)、化简： $\frac{2}{4 + \sqrt{14}}$

(2)、若 $a = \frac{3}{3 - \sqrt{6}}$ ，求 $2 a^{2} - 12 a + 1$ 的值．

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26. 已知 $△ A B C$ 和 $△ D E F$ 均为等边三角形，点 $D$ 在 $△ A B C$ 的边 $A B$ 上，点 $F$ 在直线 $A C$ 上．

(1)、若点 $C$ 和点 $F$ 重合（如图①），求证： $A E ∥ B C$ ．

(2)、若点 $F$ 在 $A C$ 的延长线上（如图②），（1）中的结论还能成立吗？给出你的结论并证明．

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