【培优卷】2024年北师大版数学八（下）1.4角平分线同步练习

试卷更新日期：2024-02-19 类型：同步测试

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一、选择题

1. 如图，在等腰△ $A B C$ 中， $A B = A C = 5$ ， $B C = 6$ ，O是△ $A B C$ 外一点，O到三边的垂线段分别为 $O D$ ， $O E$ ， $O F$ ，且 $O D ： O E ： O F = 1 ： 4 ： 4$ ，则 $A O$ 的长度为（）

A、5 B、6 C、 $\frac{40}{7}$ D、 $\frac{80}{17}$

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2. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $∠ B A C = 36 °$ ， $A D$ 、 $C E$ 是 $△ A B C$ 的两条角平分线， $B D = 3$ ， $P$ 是 $A D$ 上的一个动点，则线段 $B P + E P$ 最小值的是（）

A、3 B、4 C、5 D、6

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3. 由四个全等的直角三角形和一个小正方形EFGH组成的大正方形ABCD如图所示．连结CF，并延长交AB于点N．若AB＝3 $\sqrt{5}$ ， EF＝3，则FN的长为（）

A、2 B、 $\sqrt{5}$ C、 $2 \sqrt{2}$ D、3

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4. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，AB＝5，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC ， AB于点M ， N ，再分别以M ， N为圆心，大于 $\frac{1}{2} M N$ 的长为半径画弧，两弧在∠CAB的内部相交于点P ，画射线AP与BC交于点D ， DE⊥AB ，垂足为E ．则下列结论错误的是（　　）

A、∠CAD＝∠BAD B、CD＝DE C、 $B D = \frac{5}{2}$ D、 $A D = \frac{2 \sqrt{5}}{3}$

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5. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B$ 的垂直平分线与 $∠ A C B$ 的外角平分线交于点D ， $D E ⊥ A C$ 于点E ， $D F ⊥ B C$ 交 $B C$ 的延长线于点F ，则下列结论：① $△ A D E ≌ △ B D F$ ；② $∠ D C F = 90 ° - \frac{1}{2} ∠ B D A$ ；③ $∠ B A C = ∠ C D B$ ；④若 $A E = 10$ ， $C E = 4$ ，则 $B C = 6$ ，其中一定成立的有（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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6. 如图，在△ABC中， $∠ A = α$ ， $∠ A B C$ 的平分线与 $∠ A C D$ 的平分线交于点 $A_{1}$ ，得 $∠ A_{1}$ ， $∠ A_{1} B C$ 的平分线与 $∠ A_{1} C D$ 的平分线交于点 $A_{2}$ ，得 $∠ A_{2}$ ， …， $∠ A_{2022} B C$ 的平分线与 $∠ A_{2022} C D$ 的平分线交于点 $A_{2023}$ ，得 $∠ A_{2023}$ ，则 $∠ A_{2023} =$ （）

A、 $\frac{α}{2022}$ B、 $\frac{α}{2023}$ C、 $\frac{α}{2^{2022}}$ D、 $\frac{α}{2^{2023}}$

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7. 如图，点E在CA延长线上，DE，AB交于点F，且∠BDE=∠AEF，∠B=∠C，∠EFA比∠FDC的余角小10°，P为线段DC上一动点，Q为PC上一点，且满足∠FQP=∠QFP，FM为∠EFP的平分线．下列结论：①CE $∥$ BD；②AB $∥$ CD；③FQ平分∠AFP；④∠B+∠E=140°；⑤∠QFM=20°．其中结论正确的序号是（）

A、①②③④⑤ B、①②③④ C、②③④ D、①⑤

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8. 如图，点P为定角∠AOB平分线上的一个定点，且∠MPN与∠AOB互补.若∠MPN在绕点P旋转的过程中，其两边分别与OA、OB相交于M、N两点，则以下结论：①PM=PN；②OM+ON的值不变；③MN的长不变；④四边形PMON的面积不变，其中，正确结论的是（）

A、①②③ B、①②④ C、①③④ D、②③④

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二、填空题

9. 如图，在四边形 $A B C D$ 中，对角线 $B D$ 平分 $∠ A B C$ ， $∠ B C D = 140 ° ， ∠ A C D = 40 °$ ，则 $∠ A D B =$ ．

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10. 如图，AP，BP分别平分△ABC内角∠CAB和外角∠CBD，连接CP，若∠ACP＝130°，则∠APB＝．

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11. 小聪在研究题目“如图，在等腰三角形ABC中， $A B = A C$ ， $∠ B A C = 50 °$ ， $∠ B A C$ 的平分线与AB的垂直平分线OD交于点O，点C沿直线EF折叠后与点O重合，你能得出那些结论？”时，发现了下面三个结论：① $∠ O E F = 50 °$ ；②图中没有60°的角；③D、O、C三点共线．请你直接写出其中正确的结论序号：

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12. 如图，已知AB∥CD，CE、BE的交点为E，现作如下操作：
第一次操作，分别作∠ABE和∠DCE的平分线，交点为E₁ ，

第二次操作，分别作∠ABE₁和∠DCE₁的平分线，交点为E₂ ，

第三次操作，分别作∠ABE₂和∠DCE₂的平分线，交点为E₃ ， …，

第n次操作，分别作∠ABE_n_﹣1和∠DCE_n_﹣1的平分线，交点为E_n ．

若∠E_n＝1度，那∠BEC等于度。

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三、作图题

13. 如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°．

(1)、尺规作图：在斜边AB上找一点D ，使AD＝AC ，作∠BAC的平分线，交BC于点E ，连结DE；（不写作法，保留作图痕迹）

(2)、在（1）的条件下，求证：△BDE是直角三角形．
证明：∵AE平分∠BAC ，
∴　 ▲ 　＝　 ▲ 　，
在△ACE和△ADE中，
${\begin{cases} () = () \\ ∠ () = ∠ () \\ A E = A E \end{cases}$ ，
∴△ACE≌△ADE ，
∵∠ACB＝90°，
∴　 ▲ 　＝∠ACB＝90°，
∴∠BDE＝90°，△BDE是直角三角形．

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四、解答题

14. 已知 $△ A B C$ 和 $△ A D E$ 都是等边三角形，分别连接 $B D ， C E$ ．

(1)、如图1，若 $B D ⊥ A D$ ．
①求 $∠ C E D$ 的度数；

②延长 $E D$ 交 $B C$ 于点F ，求证： $B F = C F$ ；

(2)、如图2，若点D在边 $A C$ 上，延长 $B D$ 交 $C E$ 于点G ，连接 $A G$ ．求证： $G A$ 平分 $∠ B G E$ ．

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15. 综合与实践
如图，在△ABC中，AB＝10，BC＝6，AC＝8.

(1)、猜想：请判断△ABC的形状并说明理由.

(2)、探究：如果点P从点A出发，以每秒4个单位长度的速度沿折线A-C-B-A方向运动，运动到点A停止，设运动时间为t（ $t > 0$ ）秒.

①若点P在AC上，且满足PA＝PB，求此时t的值.
②若点P恰好在△BAC的平分线上，求t的值.

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【培优卷】2024年北师大版数学八（下）1.4角平分线 同步练习

一、选择题

二、填空题

三、作图题

四、解答题

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