【提升卷】2024年北师大版数学八（下）1.1等腰三角形同步练习

试卷更新日期：2024-02-19 类型：同步测试

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一、选择题

1. 如图，AD是等边 $△ A B C$ 的中线， $A E = A D$ ，则 $∠ E D C$ 的度数为（）

A、30° B、20° C、25° D、15°

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2. 如图，在△ABC 中，AB＝AC，∠A＝36°，BD、CE 分别是∠ABC、∠ACB 的平分线，则图中的等腰三角形有（）

A、5 个 B、6 个 C、7 个 D、8 个

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3. 如图的网格中，点A、B在格点上，在网格上找到点C，使 $△ A B C$ 为等腰三角形，这样的点C共有（）

A、8个 B、9个 C、10个 D、11个

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4. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $∠ B = 54 °$ ，以点C为圆心， $C A$ 长为半径作弧交 $A B$ 于点D，分别以点A和点D为圆心，大于 $\frac{1}{2} A D$ 长为半径作弧，两弧相交于点E，作直线 $C E$ ，交 $A B$ 于点F，则 $∠ A C F$ 的度数是（）

A、 $54 °$ B、 $36 °$ C、 $27 °$ D、 $18 °$

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5. 如图， $△ A B C$ 是等边三角形， $A D$ 是 $B C$ 边上的高，点 $E$ 是 $A C$ 边的中点，点 $P$ 是 $A D$ 上的一个动点，当 $P C + P E$ 最小时， $∠ C P E$ 的度数是（）

A、 $3 0^{∘}$ B、 $4 5^{∘}$ C、 $6 0^{∘}$ D、 $9 0^{∘}$

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6. 如图，等边三角形ABC的边长为4，AD是BC边上的中线，F是线段AD上的动点，E是AC边上一点. 若AE=2，当EF＋CF取得最小值时，∠ECF的度数为（）

A、20° B、25° C、30° D、45°

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7. 已知点C在线段 $B E$ 上，分别以 $B C$ 、 $C E$ 为边作等边三角形 $A B C$ 和等边三角形 $D C E$ ， $A E$ 、 $B D$ 相交于点O，连接 $A E$ 与 $C D$ 相交于点N，连接 $B D$ 与 $A C$ 相交于点M，连接 $O C$ 、 $M N$ ，则① $A E = B D$ ；② $△ A C N ≌ △ B C M$ ；③ $∠ B O E = 120 °$ ；④ $△ M N C$ 是等边三角形；⑤ $O C$ 平分 $∠ B O E$ ；⑥ $B O = A O + C O$ ；以上结论正确的个数是（）

A、3个 B、4个 C、5个 D、6个

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8. 用反证法证明“在 $△ A B C$ 中，若 $A B = A C$ ，则 $∠ B < 90 °$ ”时，以下三个步骤正确的排列顺序是（）
步骤如下：
①假设在△ABC中，∠B≥90° .
②因此假设不成立，：∴∠B<90°.
③由AB=AC，得∠B=∠C≥90°，即∠B+∠C≥180°，∴∠A+∠B+∠C> 180°，这与“三角形三个内角的和等于180°”产生矛盾.

A、①③② B、①②③ C、③①② D、③②①

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二、填空题

9. 如图，已知A（4，0），B（4，4），直线y＝kx+4与x轴正半轴交于点C，与y轴交于点D，将线段CD绕着点C顺时针旋转90°，点D落在点E处，连接AE，BE，若△AEB为等腰三角形，则k的值为_ ．

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10. 如图，等边 $△ A B C$ 中，点 $Q$ 是边 $A C$ 的中点， $∠ A C B$ 的平分线交边 $A B$ 于点 $D$ ， $A D = 1$ ，点 $P$ 是线段 $C D$ 上的任意一点，连接 $A P$ 、 $P Q$ ，则 $A P + P Q$ 的最小值为．

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11. 如图，等边三角形的顶点 $A (1 ， 1)$ ， $B (3 ， 1)$ ，则点C的坐标为；若规定把等边 $△ A B C$ “先沿x轴翻折，再向左平移1个单位”为一次变换，则这样连续经过2023次变换后，等边 $△ A B C$ 的顶点C的坐标为．

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12. 如图，已知AG $∥$ CF，AB⊥CF，垂足为 B，AB=BC=3 ，点 P 是射线AG 上的动点（点 P 不与点 A 重合），点 Q是线段 CB上的动点，点 D是线段 AB的中点，连接 PD 并延长交BF于点 E，连接PQ，设AP=2t ，CQ=t，当△PQE 是以 PE为腰的等腰三角形时，t的值为.

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三、综合题

13. 如图，已知在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $A C = 8 ， B C = 16$ ， D是 $A C$ 上的一点， $C D = 3$ ，点P从B点出发沿射线 $B C$ 方向以每秒2个单位的速度向右运动，设点P的运动时间为t ，连接 $A P$ ．

(1)、当 $t = 3$ 秒时，求 $A P$ 的长度；

(2)、当△ABP为等腰三角形时，求t的值；

(3)、过点D作 $D E ⊥ A P$ 于点E ，连接 $P D$ ，在点P的运动过程中，当 $P D$ 平分 $∠ A P C$ 时，直接写出t的值．

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14. $△ A B C$ 是等边三角形，点 $D$ 是 $A C$ 边上动点， $∠ C B D = α (0 ° < α < 30 °)$ ，把 $△ A B D$ 沿 $B D$ 对折，得到 $△ A^{'} B D$ ．

(1)、如图1，若 $α = 15 °$ ，则 $∠ C B A^{'} =$ $°$ ．

(2)、如图2，点 $P$ 在 $B D$ 延长线上，且 $∠ D A P = ∠ D B C = α$ ．
①连接 $C P$ ，试探究 $A P$ ， $B P$ ， $C P$ 之间是否存在一定数量关系，猜想并说明理由．
②连接 $C A^{'}$ ，若 $A^{'}$ ， $C$ ， $P$ 三点共线， $B P = 10$ ， $C P = 1$ ，求 $C A^{'}$ 的长．

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15. 如图， $△ A B C$ 是等边三角形， $A B = \sqrt{3}$ ，点F是 $∠ B A C$ 的平分线上一动点，将线段 $A F$ 绕点A顺时针方向旋转 $60 °$ 得到 $A E$ ，连接 $C F$ 、 $E F$ ．

(1)、尺规作图：在 $A F$ 的上方找点D，使得 $D E ⊥ A F$ 且 $D E = A C$ ；

(2)、在（1）的条件下，连接 $C D 、 D F$ ．
①求证： $A E + C D > A C$ ；
②求证： $△ C D F$ 是等边三角形；
③当 $△ D E F$ 是等腰三角形时，求 $A F$ 的长度？

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【提升卷】2024年北师大版数学八（下）1.1等腰三角形 同步练习

一、选择题

二、填空题

三、综合题

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