新高考四大基础题（三角+数列+立体几何+概率）一天两题--专练3-在线组卷题库

1. 如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $E ， F$ 分别是棱 $A B ， B_{1} C_{1}$ 的中点， $∠ A C B = \frac{π}{2}$ .

(1)、证明： $E F ⊥ B C$ ；

(2)、若 $A C = 2 ， B C = 4$ ，平面 $A_{1} E F$ 与平面 $A B C$ 所成的锐二面角的角余弦值为 $\frac{1}{3}$ ，求直线 $E F$ 与平面 $A B C$ 所成角的正弦值.

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2. 如图，在几何体 $A B C D E F$ 中，四边形 $A B C D$ 为矩形， $A F ∥ D E$ ， $A F ⊥ E F$ ， $A F = 2 D E = 2 E F = 2$ ， $A D = \sqrt{2}$ .

(1)、证明： $A D ⊥ C F$ ；

(2)、若面 $A D E F ⊥$ 面 $A B C D$ ，且直线BE与平面 $A B F$ 所成角的正弦值为 $\frac{1}{3}$ ，求此时矩形 $A B C D$ 的面积.

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3. 原定于2022年9月在杭州举行的亚运会延期至2023年的9月，据调查此次亚运会已签约145家赞助企业，亚运会赞助成为一项跨度时间较长的营销方式，为了解其中在浙江地区的50家赞助企业每天销售额与每天线上销售时间之间的相关关系，某平台对50家赞助企业进行跟踪调查，其中每天线上销售时间不少于8小时的企业有30家，销售额不足50万元的企业有25家，统计后得到如下 $2 \times 2$ 列联表：

销售额不少于50万元
销售额不足50万元
合计
线上销售时间不少于8小时
17
30
线上销售时间不足8小时
合计
50
附：
$α$
$0.1$
$0.05$
$0.01$
$0.005$
$0.001$
$χ_{α}$
$2.706$
$3.841$
$6.635$
$7.879$
$10.828$
参考公式： $χ^{2} = \frac{n (a d - b c)^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ .

(1)、请完成上面的 $2 \times 2$ 列联表，并依据 $α = 0.05$ 的独立性检验，能否认为赞助企业每天的销售额与每天线上销售时间有关；

(2)、（i）按销售额进行分层随机抽样，在线上销售时间不足8小时的赞助企业中抽取5家，求销售额不少于50万元和销售额不足50万元的企业数；
（ii）从销售额不少于50万元的企业抽取2家时，设抽到每天线上销售时间不足8小时的企业数是 $X$ ，求 $X$ 的分布列及期望值.

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4. 已知正项数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ， $4 S_{n} = a_{n}^{2} + 2 a_{n}$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = \frac{3 \cdot 2^{a_{n}}}{(2^{a_{n}} - 1) (2^{a_{n + 1}} - 1)}$ ，数列 ${b_{n}}$ 的前n项和为 $T_{n}$ ，证明： $T_{n} < \frac{1}{3}$ .

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5. 设等比数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，已知 $S_{6} = 9 S_{3} ， S_{2} = 3$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 通项公式；

(2)、记 $b_{n} = \frac{1}{l o g_{2} a_{n + 1} \cdot l o g_{2} a_{n + 2}} ， n \in N^{*}$ ，证明： $b_{1} + b_{2} + ⋯ + b_{n} < 1$ .

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6. 在① $a c o s C + c c o s A = \frac{5}{4} b c o s B$ ， ② $5 s i n (\frac{π}{2} + B) + 5 s i n (- B) = 1$ ， ③ $B \in (0 ， \frac{π}{2})$ ， $c o s 2 B = c o s B - \frac{13}{25}$ ．这三个条件中任进一个，补充在下面问题中并作答．
已知 $△ A B C$ 中，内角 $A ， B ， C$ 所对的边分别为 $a ， b ， c$ ，且____．

(1)、求 $t a n 2 B$ 的值；

(2)、若 $t a n A = - \frac{12}{5} ， c = \frac{11}{4}$ ，求 $△ A B C$ 的周长与面积．

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7. 已知 $△ A B C$ 的内角 $A ， B ， C$ 的对边分别为 $a ， b ， c$ ，且 $c o s^{2} B - c o s^{2} C = s i n A \cdot (s i n A - s i n B)$ .

(1)、求角 $C$ 的大小；

(2)、若 $C D ⊥ A B$ 于 $D ， C D = \sqrt{3}$ ，求 $△ A B C$ 的面积的最小值.

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8. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知椭圆C： $\frac{x^{2}}{4} + y^{2} = 1 ， B (1 ， 0)$ .

(1)、设 $P$ 是椭圆 $C$ 上的一个动点，求 $\vec{P O} \cdot \vec{P B}$ 的取值范围；

(2)、设与坐标轴不垂直的直线 $l$ 交椭圆 $C$ 于 $M ， N$ 两点，试问：是否存在满足条件的直线 $l$ ，使得 $△ M B N$ 是以 $B$ 为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出直线 $l$ 的方程，若不存在，请说明理由.

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9. 等差数列 ${a_{n}} (n \in N^{*})$ 中， $a_{1} ， a_{2} ， a_{3}$ 分别是如表所示第一、二、三行中的某一个数，且其中的任意两个数不在表格的同一列.

第一列
第二列
第三列
第一行
5
8
2
第二行
4
3
12
第三行
16
6
9

(1)、请选择一个可能的 ${a_{1} ， a_{2} ， a_{3}}$ 组合，并求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式.

(2)、记（1）中您选择的 ${a_{n}}$ 的前n项和为Sn，判断是否存在正整数k，使得 $a_{1} ， a_{k} ， {S_{k}}_{+ 2}$ 成等比数列?若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由.

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10. 某高档小区有一个池塘，其形状为直角 $△ A B C$ ， $∠ C = 90 °$ ， $A B = 2$ 百米， $B C = 1$ 百米，现准备养一批观赏鱼供小区居民观赏．

(1)、若在 $△ A B C$ 内部取一点P，建造APC连廊供居民观赏，如图①，使得点P是等腰三角形PBC的顶点，且 $∠ C P B = \frac{2 π}{3}$ ，求连廊 $A P + P C$ 的长；

(2)、若分别在AB，BC，CA上取点D，E，F，建造 $△ D E F$ 连廊供居民观赏，如图②，使得 $△ D E F$ 为正三角形，求 $△ D E F$ 连廊长的最小值．

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11. 已知函数 $f (x) = a x^{2} - e^{x - 1}$ ．

(1)、当 $a = \frac{1}{2}$ 时，证明： $f (x)$ 在 $R$ 上为减函数．

(2)、当 $x \in [0 ， \frac{π}{2}]$ 时， $f (x) \leq a \cos x$ ，求实数 $a$ 的取值范围．

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12. 由中央电视台综合频道（CCTV-1）和唯众传媒联合制作的《开讲啦》是中国首档青年电视公开课．每期节目由一位知名人士讲述自己的故事，分享他们对于生活和生命的感悟，给予中国青年现实的讨论和心灵的滋养，讨论青年们的人生问题，同时也在讨论青春中国的社会问题，受到了青年观众的喜爱．为了了解观众对节目的喜爱程度，电视台随机调查了A，B两个地区的100名观众，得到如下所示的2×2列联表．

非常喜欢
喜欢
合计
A
30
15
B
x
y
合计
已知在被调查的100名观众中随机抽取1名，该观众来自B地区且喜爱程度为“非常喜欢”的概率为0.35．
附： $K^{2} = \frac{n (a d - b c)^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ， $n = a + b + c + d$ ，
$P (K^{2} \geq k_{0})$
0.05
0.010
0.001
$k_{0}$
3.841
6.635
10.828

(1)、现从100名观众中根据喜爱程度用分层抽样的方法抽取20名进行问卷调查，则应抽取喜爱程度为“非常喜欢”的A，B地区的人数各是多少？

(2)、完成上述表格，并根据表格判断是否有95%的把握认为观众的喜爱程度与所在地区有关系．

(3)、若以抽样调查的频率为概率，从A地区随机抽取3人，设抽到喜爱程度为“非常喜欢”的观众的人数为X，求X的分布列和期望．

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13. 图1是直角梯形ABCD， $A B / / C D$ ， ∠D＝90°，四边形ABCE是边长为2的菱形，并且∠BCE＝60°，以BE为折痕将△BCE折起，使点C到达 $C_{1}$ 的位置，且 $A C_{1} = \sqrt{6}$ ．

(1)、求证：平面 $B C_{1} E ⊥$ 平面ABED．

(2)、在棱 $D C_{1}$ 上是否存在点P，使得点P到平面 $A B C_{1}$ 的距离为 $\frac{\sqrt{15}}{5}$ ？若存在，求出直线EP与平面 $A B C_{1}$ 所成角的正弦值；若不存在，请说明理由．

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14. 已知椭圆 $E ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的右焦点为F，P，Q分别为右顶点和上顶点，O为坐标原点， $\frac{| F P |}{| O F |} + \frac{| F P |}{| O P |} = 3 e$ （e为椭圆的离心率）， $△ O P Q$ 的面积为 $\sqrt{3}$ ．

(1)、求E的方程；

(2)、设四边形 $A B C D$ 是椭圆E的内接四边形，直线 $A B$ 与 $C D$ 的倾斜角互补，且交于点 $(3 ， 0)$ ，求证：直线 $A C$ 与 $B D$ 交于定点．

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新高考四大基础题（三角+数列+立体几何+概率）一天两题--专练3

一、第1天

二、第2天

三、第3天

四、第4天

五、第5天

六、第6天

七、第7天

	销售额不少于50万元	销售额不足50万元	合计
线上销售时间不少于8小时	17		30
线上销售时间不足8小时
合计			50

$α$	$0.1$	$0.05$	$0.01$	$0.005$	$0.001$
$χ_{α}$	$2.706$	$3.841$	$6.635$	$7.879$	$10.828$

	第一列	第二列	第三列
第一行	5	8	2
第二行	4	3	12
第三行	16	6	9

	非常喜欢	喜欢	合计
A	30	15
B	x	y
合计

$P (K^{2} \geq k_{0})$	0.05	0.010	0.001
$k_{0}$	3.841	6.635	10.828