新高考四大基础题（三角+数列+立体几何+概率）一天两题--专练6-在线组卷题库

1. 已知 $△ A B C$ 的内角 $A ， B ， C$ 的对边分别为 $a ， b ， c$ ， $A = \frac{2 π}{3}$ ， $b = 10$ ， $c = 6$ ， $△ A B C$ 的内切圆 $I$ 的面积为 $S$ .

(1)、求 $S$ 的值；

(2)、若点 $D$ 在 $A C$ 上，且 $B ， I ， D$ 三点共线，求 $\vec{B D} \cdot \vec{B C}$ 的值.

查看试题解析
2. 已知△ABC的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，且 $a = 4 \sqrt{3}$ ， $4 s i n B = b (1 - c o s A) .$

(1)、求角A的大小：

(2)、若 $s i n C = 2 s i n B$ ，求△ABC的面积．

查看试题解析

3. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n} ， a_{1} = 2 ， S_{n} = a_{n + 1} - 2 .$

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、令 $b_{n} = l o g_{2} a_{n} .$ ① $c_{n} = b_{n} \cdot a_{n}$ ；② $c_{n} = \frac{1}{4 b_{n}^{2} - 1}$ ；③ $c_{n} = (- 1)^{n} (b_{n})^{2} ，$ 从上面三个条件中任选一个，求数列 ${c_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n} .$ 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

查看试题解析
4. 已知 $A B$ 为抛物线 $G ： y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的弦，点 $C$ 在抛物线的准线 $l$ 上.当 $A B$ 过抛物线焦点 $F$ 且长度为 $8$ 时， $A B$ 中点 $M$ 到 $y$ 轴的距离为 $3$ .

(1)、求抛物线 $G$ 的方程；

(2)、若 $∠ A C B$ 为直角，求证：直线 $A B$ 过定点.

查看试题解析

5. 在数列 ${a_{n}}$ ， ${b_{n}}$ 中， $a_{1} = b_{1} = 1$ ， ${b_{n}}$ 为各项均为正数的等比数列，且其前三项和为 $\frac{7}{4}$ ， ${a_{n} b_{n}}$ 为等差数列，且其前三项和为9.

(1)、求 ${a_{n}}$ ， ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、求 ${a_{n}}$ 的前n项和 $T_{n}$ .

查看试题解析
6. 已知数列 ${a_{n}}$ 和 ${b_{n}}$ 满足 $a_{1} = 1$ ， $b_{1} = 2$ ， $a_{n + 1} = 3 a_{n} - (- 1)^{n} b_{n}$ ， $b_{n + 1} = 3 b_{n} - (- 1)^{n} a_{n}$ ．

(1)、求 ${a_{2 n} + b_{2 n}}$ 的通项公式；

(2)、令 $c_{n} = a_{n} + (- 1)^{n} b_{n}$ ，求数列 ${c_{n}}$ 的前 $2 n$ 项和 $T_{2 n}$

查看试题解析

7. 在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，侧面 $A C C_{1} A_{1}$ 是菱形， $∠ A_{1} A C = 60 °$ ， $A A_{1} = 2$ ， $A C ⊥ A_{1} B$ .

(1)、求证： $B A = B C$ ；

(2)、已知 $A B = \sqrt{2}$ ， $A_{1} B = 2$ ，求直线 $A_{1} B$ 与平面 $A_{1} B_{1} C$ 所成角的正弦值.

查看试题解析
8. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是矩形， $P A = P D = \sqrt{3}$ ， $P B = P C = \sqrt{6}$ ， $∠ A P B = ∠ C P D = 9 0^{∘}$ ， $A D = 2$ ，点 $M$ ， $N$ 分别是棱 $B C$ ， $P D$ 的中点．

(1)、求证：平面 $P A B ⊥$ 平面 $P C D$ ；

(2)、求直线 $M N$ 与平面 $P C D$ 所成角的正弦值．

查看试题解析

9. 云计算是信息技术发展的集中体现，近年来，我国云计算市场规模持续增长.从中国信息通信研究院发布的《云计算白皮书（2022年）》可知，我国2017年至2021年云计算市场规模数据统计表如下：
年份
2017年
2018年
2019年
2020年
2021年
年份代码x
1
2
3
4
5
云计算市场规模y/亿元
692
962
1334
2091
3229
经计算得： $\sum_{i = 1} l n y_{i}$ =36.33， $\sum_{i = 1} (x_{i} l n y_{i})$ =112.85.

(1)、根据以上数据，建立y关于x的回归方程 $\hat{y} = e^{^{\hat{b} x + \hat{a}}}$ （ $e$ 为自然对数的底数）.

(2)、云计算为企业降低生产成本､提升产品质量提供了强大助推力.某企业未引入云计算前，单件产品尺寸与标准品尺寸的误差 $ε ~ N (0 ， \frac{4}{m})$ ，其中m为单件产品的成本（单位：元），且 $P (- 1 < ε < 1)$ =0.6827；引入云计算后，单件产品尺寸与标准品尺寸的误差 $ε ~ N (0 ， \frac{1}{m})$ .若保持单件产品的成本不变，则 $P (- 1 < ε < 1)$ 将会变成多少？若保持产品质量不变（即误差的概率分布不变），则单件产品的成本将会下降多少？
附：对于一组数据 $(x_{1} ， y_{1}) ， (x_{2} ， y_{2}) ， \dots ， (x_{n} ， y_{n}) ，$ 其回归直线 $\hat{y} = \hat{β} x + \hat{α}$ 的斜率和截距的最小二乘估计分别为 $\hat{β}$ = $\frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} - n \bar{x} \bar{y}}{\sum_{i = 1}^{n} {x_{i}}^{2} - n {\bar{x}}^{2}}$ ， $\hat{α} = \bar{y} - \hat{β} \bar{x}$ .
若 $X ~ N (μ ， σ^{2})$ ，则 $P (| X - μ | < σ) = 0.6827$ ， $P (X - μ | < 2 σ) = 0.9545$ ， $P (| X - μ | < 3 σ) = 0.9973 .$

查看试题解析
10. 在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且 $\frac{2 \sqrt{3}}{3} s i n A s i n B s i n C = s i n^{2} A - s i n^{2} B + s i n^{2} C$ ．

(1)、求角 $B$ 的大小；

(2)、 $D$ 为 $A C$ 边上一点，且 $B D = 2$ ， $c = 3$ ， $a = 2$ ，求 $A D$ 的长．

查看试题解析

11. 已知函数 $f (x) = t a n x - \frac{1}{3} x^{3} + a x (α \in R ）$

(1)、若 $a = \frac{π^{2}}{16} - 2$ ，求f(x)在（ $- \frac{π}{2}$ ， 0）上的极值；

(2)、若 $f (x) \geq 0$ 在 $x \in [0 ， \frac{π}{2})$ 上恒成立，求实数a的取值范围

查看试题解析
12. 2022年“五一”期间，为推动消费市场复苏，补贴市民，深圳市各区政府发放各类消费券，其中某区政府发放了市内旅游消费券，该消费券包含 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ ， $E$ ， $F$ 六个旅游项目，甲、乙、丙、丁四人每人计划从中任选两个不同的项目参加，且他们的选择互不影响．

(1)、求甲、乙、丙、丁这四个人中至少有一人选择项目 $A$ 的概率；

(2)、记 $X$ 为这四个人中选择项目 $A$ 的人数，求 $X$ 的分布列及数学期望；

(3)、如果将甲、乙、丙、丁四个人改为 $n$ 个人 $(n > 4)$ ，其他要求相同，问：这 $n$ 个人中选择项目 $A$ 的人数最有可能是多少人？

查看试题解析

13. 已知函数 $f (x) = e^{x + 2}$ ， $x \in R ； g (x) = c o s x ，$ $x \in (- \frac{π}{2} ， \frac{π}{2})$ .（ $e$ 为自然对数的底数， $e \approx 2.718$ ）.

(1)、若函数 $h (x) = a f (x) - g (x)$ 在区间 $(- \frac{π}{2} ， \frac{π}{2})$ 上单调递减，求实数a的取值范围；

(2)、是否存在直线l同时与 $y = f (x) ， y = g (x)$ 的图象相切？如果存在，判断l的条数，并证明你的结论；如果不存在，说明理由.

查看试题解析

新高考四大基础题（三角+数列+立体几何+概率）一天两题--专练6

一、第一天

二、第二天

三、第三天

四、第四天

五、第五天

六、第六天

七、第七天

年份	2017年	2018年	2019年	2020年	2021年
年份代码x	1	2	3	4	5
云计算市场规模y/亿元	692	962	1334	2091	3229