高中数学三轮复习（直击痛点）：专题13数列中的奇、偶项问题

试卷更新日期：2024-02-10 类型：三轮冲刺

进入出卷网下载

一、选择题

1. 数列 ${a_{n}}$ 、 ${b_{n}}$ 满足： $a_{1} = 8$ ， $a_{n} - a_{n - 1} = 8 n (n \in N^{*} ， n \geq 2)$ ， $b_{n} = \sqrt{a_{n} + 1} {(\frac{9}{10})}^{n}$ ，则数列 ${b_{n}}$ 的最大项是（）

A、第7项 B、第9项 C、第11项 D、第12项

查看试题解析
2. 数列 ${a_{n}}$ 满足， $a_{1} = 1$ ， $a_{2} = - 1$ ， $a_{n} a_{n + 2} = - 1$ ，设 $b_{n} = a_{n} a_{n + 1}$ ，则数列 ${b_{n}}$ 的前10项和为（）

A、1 B、0 C、5 D、 $- 5$

查看试题解析

二、解答题

3. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} > 0 ， a_{n + 1} = {\begin{array}{l} l o g_{2} a_{n} ， n 为奇数， \\ 2^{a_{n} + 2} ， n 为偶数 . \end{array}$

(1)、判断数列 ${a_{2 n - 1}}$ 是否是等比数列？若是，给出证明；否则，请说明理由；

(2)、若数列 ${a_{n}}$ 的前10项和为361，记 $b_{n} = \frac{1}{(l o g_{2} a_{2 n + 1}) \cdot a_{2 n + 2}}$ ，数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，求证： $T_{n} < \frac{7}{16}$ .

查看试题解析
4. 已知数列 ${a_{n}}$ 的首项 $a_{1} = 1$ ，且满足 $a_{n + 1} + a_{n} = 3 \times 2^{n}$ .

(1)、求证： ${a_{n} - 2^{n}}$ 是等比数列；

(2)、求数列 ${a_{n}}$ 的前项和 $S_{n}$ .

查看试题解析
5. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = \frac{1}{3}$ ， $a_{3} = \frac{5}{27}$ ，且数列 ${3^{n} a_{n}}$ 是等差数列.

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、求数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ .

查看试题解析
6. 设数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，已知 $S_{n} = \frac{1}{2} (3 a_{n} - 1) (n \in N^{*})$ ．

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = {\begin{array}{l} n + a_{n} ， n 为奇数 \\ n \cdot a_{n} ， n 为偶数 \end{array}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $2 n$ 的项和 $T_{2 n}$ ．

查看试题解析
7. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 1 ， a_{n + 1} = 2 a_{n} - 3 (- 1)^{n} (n \in N^{*})$ ，记 $b_{n} = a_{2 n} - 1$ .

(1)、求 $b_{1} ， b_{2}$ 的值；

(2)、证明 $b_{n + 1} = 4 b_{n}$ ，并求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(3)、若不等式 $\sum_{i = 1}^{2 n} i a_{i} > λ$ 对一切正整数 $n$ 恒成立，求实数 $λ$ 的取值范围.

查看试题解析
8. 数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项积为 $T_{n}$ ， $a_{1} = 2$ ，数列 ${\frac{l o g_{2} T_{n}}{n}}$ 是公差为 $\frac{1}{2}$ 的等差数列．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = \frac{(- 1)^{n + 1}}{a_{n}}$ ，若数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，求 $S_{n}$ 的最大值与最小值．

查看试题解析
9. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且满足 $S_{7} = 49 ， 2 a_{4} = a_{3} + 9$ ，数列 ${b_{n}}$ 满足 $b_{1} = 4 ， b_{n + 1} = 3 b_{n} - a_{n}$ .

(1)、证明：数列 ${b_{n} - n}$ 是等比数列，并求 ${a_{n}} ， {b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、已知数列 ${c_{n}}$ 满足 $c_{n} = {\begin{array}{l} b_{n} - n ， n 为奇数， \\ a_{n} ， n 为偶数， \end{array}$ 求数列 ${c_{n}}$ 的前 $2 n$ 项和 $T_{2 n}$ .

查看试题解析
10. 已知数列 ${a_{n}}$ 是等差数列， $b_{n} = {\begin{array}{l} a_{n} + 5 ， n = 2 k - 1 ， k \in N^{*} ， \\ - a_{n} + 10 ， n = 2 k ， k \in N^{*} ， \end{array}$ 记 $T_{n}$ 为数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和，且 $T_{3} = T_{4} = 24$

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若 $T_{n} = T_{m} = 96 (n < m)$ ，求 $n$ ， $m$ .

查看试题解析

三、多项选择题

11. 已知复数 $z_{1} = 1 - 3 i ， z_{2} = {(2 - i)}^{2} ， z_{3} = \frac{8 + 10 i}{1 + i} ，$ 则（）

A、 $z_{1} + z_{2} = 4 + 7 i$ B、z₁，z₂，z₃的实部依次成等比数列 C、 $\sqrt{10} | z_{1} | = 2 | z_{2} |$ D、 $z_{1} ， z_{2} ， z_{3}$ 的虚部依次成等差数列

查看试题解析
12. 已知数列 ${a_{n}} ， b_{n} = a_{n + 1} + (- 1)^{n} a_{n}$ ，则（）

A、当 $a_{n} = n$ 时，数列 ${b_{2 n}}$ 是公差为2的等差数列 B、当 $a_{n} = n$ 时，数列 ${b_{n}}$ 的前16项和为160 C、当 $b_{n} = n$ 时，数列 ${a_{n}}$ 前16项和等于72 D、当 $b_{n} = n$ 时，数列 ${a_{n}}$ 的项数为偶数时，偶数项的和大于奇数项的和

查看试题解析
13. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = \frac{π}{4}$ ，公差为 $\frac{π}{2}$ ， $b_{n} = t a n a_{n}$ ，记 $S_{n}$ 为数列 ${a_{n}}$ 的前n项和，则下列说法正确的是（）

A、 $b_{n} = {(- 1)}^{n}$ B、 $b_{1} + b_{2} + b_{3} + \cdot \cdot \cdot + b_{n} = \frac{1 + {(- 1)}^{n - 1}}{2}$ C、若 $c_{n} = a_{n} b_{n}$ ，则 $c_{1} + c_{2} + c_{3} + \cdot \cdot \cdot + c_{n} = \frac{{(- 1)}^{n - 1} n}{4} π$ D、若 $d_{n} = b_{n} S_{n}$ ，则 $d_{1} + d_{2} + d_{3} + \cdot \cdot \cdot + d_{2 n} = - \frac{2 n^{2} + n}{4} π$

查看试题解析
14. 设等比数列 ${a_{n}}$ 的公比为q，其前n项和为 $S_{n}$ ，前n项积为 $T_{n}$ ，并满足条件 $a_{1} > 1 ， a_{2019} a_{2020} > 1$ ， $\frac{a_{2019} - 1}{a_{2020} - 1} < 0$ ，下列结论正确的是（）

A、 $S_{2019}^{} < S_{2020}^{}$ B、 $a_{2019}^{} a_{2021}^{} - 1 < 0$ C、 $T_{2019}^{}$ 是数列 ${T_{n}}$ 中的最大值 D、数列 ${T_{n}}$ 无最大值

查看试题解析

四、填空题

15. 已知等比数列 ${a_{n}}$ 满足： $a_{1} + a_{2} = 20$ ， $a_{2} + a_{3} = 80$ .数列 ${b_{n}}$ 满足 $b_{n} = l o g_{2} a_{n} (n \in N^{*})$ ，其前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $\frac{b_{n}}{S_{n} + 8} \leq λ$ 恒成立，则 $λ$ 的最小值为.

查看试题解析
16. $A = (a_{1} ， a_{2} ， a_{3} ， \cdot \cdot \cdot ， a_{n})$ ， $a_{i} \in {- 1 ， 0 ， 1} {i = 1 ， 2 ， 3 ， \cdot \cdot \cdot ， n}$ 为一个有序实数组， $f (A)$ 表示把A中每个-1都变为 $- 1$ ， 0，每个0都变为 $- 1$ ， 1，每个1都变为0，1所得到的新的有序实数组，例如： $A = (- 1 ， 0 ， 1)$ ，则 $f (A) = (- 1 ， 0 ， - 1 ， 1 ， 0 ， 1)$ ．定义 $A_{k + 1} = f (A_{k})$ ， $k = 1 ， 2 ， 3 ， \cdot \cdot \cdot$ ，若 $A_{1} = (- 1 ， 1)$ ， $A_{n}$ 中有 $b_{n}$ 项为1，则 ${b_{n}}$ 的前 $2 n$ 项和为．

查看试题解析
17. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 1$ ， $a_{n + 1} = {\begin{array}{l} a_{n} + 1 ， n 为奇数 \\ a_{n} + 2 ， n 为偶数 \end{array}$ ，则 ${a_{n}}$ 的前10项和 $S_{10} =$

查看试题解析