备战2024年中考数学细点逐一突破真题训练第3章角、相交线与平行线

试卷更新日期：2024-02-08 类型：一轮复习

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一、直线，射线，线段

1. 下列现象：
（1）用两个钉子就可以把木条固定在墙上；
（2）从A地到B地架设电线，总是尽可能沿着线段AB架设；
（3）植树时，只要确定两颗树的位置，就能确定同一行树所在的直线；
（4）把弯曲的公路改直，就能缩短路程.
其中能用“两点之间，线段最短”来解释的现象有（）

A、（1）（2） B、（2）（3） C、（3）（4） D、（2）（4）

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2. 下列现象：①用两根钉子就可以把一根木条固定在墙上；②把弯曲的公路改直，就能够缩短路程；③体育课上测量某个同学的跳远成绩；④工人砌墙时，先在两端立桩拉线，然后沿着线砌墙．其中，可以用“两点确定一条直线”来解释的现象是（）

A、①② B、②③ C、①④ D、③④

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3. 在同一平面内有四条直线，每两条直线都相交，则这四条直线的交点共有（）

A、6个 B、1个或4个 C、6个或4个 D、1个或4个或6个

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4. 如图，已知线段AB ，点C在AB上，点P在AB外．

(1)、根据要求画出图形：画直线PA ，画射线PB ，连接PC；

(2)、写出图中的所有线段．

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5. 已知线段a，b(如图)，用直尺和圆规求作：

(1)、2a；

(2)、2a-b．

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二、角、余角、补角

6. 在时刻3：30，挂钟的时针与分针之间的夹角是（）

A、85° B、75° C、70° D、90°

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7. 如果从甲船看乙船，乙船在甲船的南偏东 $37 °$ 方向，那么从乙船看甲船，甲船在乙船的（）

A、北偏东 $53 °$ B、北偏西 $37 °$ C、北偏东 $37 °$ D、北偏西 $53 °$

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8. 已知∠α=36°14′25″，则∠α的余角的度数是．

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9. 下列四个图中，能用 $∠ 1 ， ∠ A O B ， ∠ O$ 三种方法表示同一个角的是（）

A、 B、 C、 D、

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10. 学习千万条，思考第一条．请你用本学期所学知识探究以下问题：

(1)、已知点 $O$ 为直线 $A B$ 上一点，将直角三角板MON的直角顶点放在点 $O$ 处，并在 $∠ M O N$ 内部作射线 $O C$ ．
①如图1，三角板的一边 $O N$ 与射线 $O B$ 重合，且 $∠ A O C = 150 °$ ，若以点 $O$ 为观察中心，射线 $O M$ 表示正北方向，求射线 $O C$ 表示的方向；
②如图2，将三角板放置到如图位置，使 $O C$ 恰好平分 $∠ M O B$ ，且 $∠ B O N = 2 ∠ N O C$ ，求 $∠ A O M$ 的度数．

(2)、已知点 $A 、 O 、 B$ 不在同一条直线上， $∠ A O B = α ， ∠ B O C = β$ ，且满足 $O M$ 平分 $∠ A O B$ ， $O N$ 平分 $∠ B O C$ ，用含 $α ， β$ 的式子表示 $∠ M O N$ 的大小．

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三、相交线与角平分线

11. 如图，已知O为直线AB上一点，将直角三角板MON的直角顶点放在点O处，若OC是 $∠ M O B$ 的平分线，则下列结论正确的是（）

A、 $∠ A O M = 3 ∠ N O C$ B、 $∠ A O M = 2 ∠ N O C$ C、 $2 ∠ A O M = 3 ∠ N O C$ D、 $3 ∠ A O M = 5 ∠ N O C$

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12. 如图，OC是 $∠ A O D$ 的平分线，OE是 $∠ B O D$ 的平分线， $∠ A O B = 130 °$ ．

(1)、求 $∠ C O E$ 的度数．

(2)、如果 $∠ C O D = 20 °$ ，求 $∠ B O E$ 的度数．

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13. 如图，以直线 $A B$ 上一点 $O$ 为端点作射线 $O C$ ，使 $∠ B O C = 70 °$ ，将一个直角三角板的直角顶点放在点 $O$ 处．（注： $∠ D O E = 90 °$ ）

(1)、如图1，若直角三角板 $D O E$ 的一边 $O D$ 落在射线 $O B$ 上，则 $∠ C O E =$ ；

(2)、如图2，若 $O C$ 恰好平分 $∠ B O E$ ，求 $∠ C O D$ 的度数；

(3)、如图3，若 $O D$ 始终在 $∠ B O C$ 的内部，猜想 $∠ B O D$ 和 $∠ C O E$ 满足怎样的数量关系？并说明理由．

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14. 如图，若∠BOD=2∠AOB，OC是∠AOD的平分线，则
① $∠ C O B = \frac{1}{3} ∠ A O B ；$ ② $∠ D O C = 2 ∠ B O C ；$ ③ $∠ C O B = \frac{1}{2} ∠ A O B ；$ ④ $∠ C O D = 3 ∠ B O C .$
正确的是（）

A、①② B、③④ C、②③ D、①④

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四、平行线判定

15. 如图，如果∠1=∠2，那么AB∥CD，其依据是（）

A、两直线平行，内错角相等 B、内错角相等，两直线平行 C、两直线平行，同位角相等 D、同位角相等，两直线平行

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16. 下列命题中是真命题的是（）

A、同位角相等 B、过直线外一点有且仅有一条直线与已知直线平行 C、垂直于同一直线的两直线平行 D、三角形一边的中线平分三角形的周长

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17. 一副三角板按如图所示放置，将含30°角的三角板固定，含45°角的三角板绕A点旋转，保持∠1为锐角，旋转过程中有下列结论：①∠1＝∠3；②若∠2＝45°，则AC∥DE．③若∠4＝∠B，则AC∥DE；④若∠1＝15°，则BC∥DE．其中正确的有．（填序号）

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18. 已知P是直线AB外一点，过点P作直线AB的平行线，这样的平行线（）

A、有无数条 B、有且只有一条 C、不存在 D、不存在或只有一条

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19. 复杂的数学问题我们常会把它分解为基本问题来研究，化繁为简，化整为零这是一种常见的数学解题思想．

(1)、如图1，直线l₁ ， l₂被直线l₃所截，在这个基本图形中，形成了对同旁内角．

(2)、如图2，平面内三条直线l₁ ， l₂ ， l₃两两相交，交点分别为A、B、C，图中一共有对同旁内角．

(3)、在同一平面内四条直线两两相交，最多可以形成对同旁内角．

(4)、在同-平面内n条直线两两相交，最多可以形成对同旁内角．

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20. 木条a、b、c如图用螺丝固定在木板上，且∠ABM=50°，∠DEM=70°，将木条a、b、c看作是在同一平面内的三条直线AC、DF、MN若使直线AC、DF达到平行的位置关系，则下列描述错误的是（）

A、木条b、c固定不动，木条a绕点B顺时针旋转20° B、木条b、c固定不动，木条a绕点B逆时针旋转160° C、木条a、c固定不动，木条b绕点E逆时针旋转20° D、木条a、c固定不动，木条b绕点E顺时针旋转110°

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21. 如图，下列说法正确的是（）

A、 $∠ A$ 与 $∠ C$ 是对顶角 B、 $∠ E D C$ 与 $∠ A B C$ 是内错角 C、 $∠ A B F$ 与 $∠ A D C$ 是同位角 D、 $∠ A$ 与 $∠ A B C$ 是同旁内角

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22. 老师布置了一项作业，对一个真命题进行证明，下面是小云给出的证明过程：
证明：如图， $∵ b ⊥ a$ ，
      $∴ ∠ 1 = 90 °$ ．
      $∵ c ⊥ a$ ，
      $∴ ∠ 2 = 90 °$ ，
      $∴ ∠ 1 = ∠ 2$ ，
      $∴ b / / c$ ．
已知该证明过程是正确的，则证明的真命题是（）

A、在同一平面内，若 $b ⊥ a$ ，且 $c ⊥ a$ ，则 $b / / c$ B、在同一平面内，若 $b / / c$ ，且 $b ⊥ a$ ，则 $c ⊥ a$ C、两直线平行，同位角不相等 D、两直线平行，同位角相等

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五、平行线内求角度

23. 如图，∠AOB的一边OA为一面平面镜，∠AOB=37°36'，在OB上有一点E，从点E射出一束光线，经OA上一点D反射，反射光线DC恰好与OB平行，则∠DEB的度数是（）

A、75°36' B、75°12' C、74°36' D、74°12'

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24. 如图，已知AB∥EF．若∠C=90°，则∠α，∠β，∠γ之间的关系是（）

A、∠β=∠α+∠γ B、∠α+∠β+∠γ=180° C、∠α+∠β-∠γ=90° D、∠β+∠γ-∠α=90°

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25. 将一副三角尺和一张对边平行的纸条按如图所示的方式摆放，两块三角尺的一条直角边重合，含30°角的三角尺的斜边与纸条的一边重合，含45°角的三角尺的一个顶点在纸条的另一边上，则∠1的度数是

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26. 如图，AB∥DE，∠E=65°，则∠B+∠C=（）

A、135° B、115° C、36° D、65°

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27. 如图，若AB∥CD，则α，β，γ之间的关系为

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28. 如图1所示，AB，BC被直线AC所截，D是线段AC上的点，过点D作DE∥ AB，连结AE，∠B=∠E=70°。

(1)、请说明AE∥BC的理由。

(2)、将线段AE沿着直线AC平移得到线段PQ，连结DQ。
①如图2所示，当DE⊥DQ时，求∠Q的度数．
②在整个运动过程中，当∠Q=2∠EDQ时，求∠Q的度数．

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29. 如图 $1$ ， $∠ E F H = 90 °$ ，点 $A$ ， $C$ 分别在射线 $F E$ 和 $F H$ 上， $A B / / C D$ ．

(1)、若 $∠ F A B = 150 °$ ，则 $∠ H C D =$ ．

(2)、嘉嘉同学发现：无论 $∠ F A B$ 如何变化， $∠ F A B - ∠ H C D$ 的值始终为定值，并给出了一种证明该发现的辅助线作法如图 $2$ ，过点 $A$ 作 $A M / / F H$ ，交 $C D$ 于点 $M$ ，请你根据嘉嘉同学提供的辅助线，先确定该定值再说明理由．

(3)、如图 $3$ ，把“ $∠ E F H = 90 °$ ”改为“ $∠ E F H = 120 °$ ”，其他条件保持不变，直接写出 $∠ F A B$ 与 $∠ H C D$ 的数量关系．

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30. 如图1，点A是直线 $H D$ 上一点，C是直线 $G E$ 上一点，B是直线 $H D 、 G E$ 之间的一点， $∠ H A B + ∠ B C G = ∠ A B C$ ．

(1)、求证： $A D ∥ C E$ ；

(2)、如图2，作 $∠ B C F = ∠ B C G$ ， $C F$ 与 $∠ B A H$ 的角平分线交于点F．若 $α + β = 40 °$ ，求 $∠ B + ∠ F$ 的度数；

(3)、如图3， $C R$ 平分 $∠ B C G$ ， $B N$ 平分 $∠ A B C$ ， $B M ∥ C R$ ，已知 $∠ B A H = 50 °$ ，则 $∠ N B M =$ （直接写出结果）．

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六、命题

31. 下列五个命题：
①如果两个数的绝对值相等，那么这两个数的平方相等；②内错角相等；③在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行；④两个无理数的和一定是无理数；⑤坐标平面内的点与有序数对是一一对应的.其中真命题的个数是（）

A、2个 B、3个 C、4个 D、5个

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32. 要得知作业纸上两相交直线 $A B$ 、 $C D$ 所夹锐角的大小，发现其交点不在作业纸内，无法直接测量．两同学提供了如下间接测量方案 $($ 如图 $1$ 和图 $2)$ ：
对于方案Ⅰ、Ⅱ，说法正确的是（）
方案Ⅰ： $①$ 作一直线 $G H$ ，交 $A B$ 、 $C D$ 于点 $E$ ， $F$ ；
      $②$ 利用尺规作 $∠ H E N = ∠ C F G$ ；
      $③$ 测量 $∠ A E M$ 的大小即可．
方案Ⅱ： $①$ 作一直线 $G H$ ，交 $A B$ 、 $C D$ 于点 $E$ ， $F$ ；
      $②$ 测量 $∠ A E H$ 和 $∠ C F G$ 的大小；
      $③$ 计算 $180 ° - ∠ A E H - ∠ C F G$ 即可．

A、Ⅰ可行、Ⅱ不可行 B、Ⅰ不可行、Ⅱ可行 C、Ⅰ、Ⅱ都可行 D、Ⅰ、Ⅱ都不可行

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33. 定理：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．

已知：如图，直线 $m$ ， $n$ 被直线 $l$ 所截， $∠ 1 = ∠ 2$ ．

对 $m / / n$ 说明理由．

方法 $1$ ：

如图， $∵ ∠ 1 = ∠ 2 = 62 ° ($ 量角器测量所得 $)$ ，

$∠ 1 = ∠ 3 = 62 ° ($ 对顶角相等 $)$ ，

$∴ ∠ 2 = ∠ 3 ($ 角的度数相等 $)$ ．

$∴ m / / n ($ 同位角相等，两直线平行 $)$ ．

方法 $2$ ：

如图， $∵ ∠ 1 = ∠ 2 ($ 已知 $)$ ，

$∠ 1 = ∠ 3 ($ 对顶角相等 $)$ ，

$∴ ∠ 2 = ∠ 3 ($ 等量代换 $)$ ，

$∴ m / / n ($ 同位角相等，两直线平行 $)$ ．

下列说法正确的是（）

A、方法

1

只要测量够

100

组内错角进行验证，就能说明该定理的正确性 B、方法

1

用特殊到一般的数学方法说明了该定理的正确性 C、方法

2

用严谨的推理说明了该定理的正确性 D、方法

2

还需说明其他位置的内错角，对该定理的说明才完整

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