高中数学三轮复习（直击痛点）：专题12用“不动点法”求数列的通项公式

试卷更新日期：2024-02-05 类型：三轮冲刺

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一、选择题

1. 已知数列 ${a_{n}}$ 中，若 $a_{1} = 2 ， a_{n + 1} = 3 a_{n} + 2 (n \geq 1)$ ，则该数列的通项公式 $a_{n} =$ （）

A、 $2^{n + 1} - 2$ B、 $3^{n} - 1$ C、 $2^{n} - 3$ D、 $4^{n} - 2$

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2. 数列 $\{a_{n}\}$ 中，若 $a_{1} = 1 ， a_{n + 1} = 2 a_{n} - 3 (n \geq 1)$ ，则该数列的通项 $a_{n} =$ （）

A、 $2^{n} - 3$ B、 $2^{n} - 1$ C、 $3 - 2^{n}$ D、 $2^{n - 1}$

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二、填空题

3. 在数列｛a_n｝中，若a₁=1 ， a_n+1=2a_n+3 (n≥1)，则该数列的通项a_n= ．

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4. 在数列 ${a_{n}}$ 中，若 $a_{1} = 1$ ， $a_{2} = \frac{1}{2}$ ， $\frac{2}{a_{n + 1}} = \frac{1}{a_{n}} + \frac{1}{a_{n + 2}}$ （n∈N^*），则该数列的通项 $a_{n}$ = ．

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5. 若数列 ${a_{n}}$ 的首项 $a_{1} = 2$ ，且 $a_{n + 1} = 3 a_{n} + 2 (n \in N^{*})$ ．令 $b_{n} = l o g_{3} (a_{n} + 1)$ ，则 $b_{1} + b_{2} + b_{3} + \cdot \cdot \cdot + b_{100} =$ ．

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6. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n} ， a_{1} = 1 ， a_{n + 1} = S_{n}$ ，则 $a_{n}$ =.

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7. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{n} = 2 a_{n - 1} (n \geq 2 ， n \in N^{*})$ ，且 $a_{1} = 1$ ，则 $a_{n} =$ .

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三、解答题

8. 已知数列 ${b_{n}}$ 是首项为1的等差数列，数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{n + 1} - 3 a_{n} - 1 = 0$ ，且 $b_{3} + 1 = a_{2}$ ， $a_{1} = 1$ ．

(1)、证明 ${a_{n} + \frac{1}{2}}$ 是等比数列．

(2)、令 $c_{n} = a_{n} \cdot b_{n}$ ，求数列 ${c_{n}}$ 的前n项和 $T_{n}$ ．

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9. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 2$ ， $a_{n + 1} = 3 a_{n} - 6$ ．

(1)、记 $b_{n} = a_{n} - 3$ ，证明： ${b_{n}}$ 是等比数列，并求 ${b_{n}}$ 的通顶公式 $；$

(2)、求数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ ．

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10. 已知 $S_{n}$ 为数列 ${a_{n}}$ 的前n项和， $a_{1} = 2$ ， $S_{n} = a_{n + 1} - 3 n - 2$ .

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = \frac{2^{n}}{a_{n} a_{n + 1}}$ ，记数列 ${b_{n}}$ 的前n项和为 $T_{n}$ ，若关于m的不等式 $m^{2} - \frac{6}{7} m < T_{n}$ 恒成立，求m的取值范围.

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11. 已知 $S_{n}$ 为数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和，且 $S_{n} + 2 = 2 a_{n}$ ， $n \in N^{*}$ ．

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、令 $b_{n} = \frac{2^{n}}{(a_{n} - 1) (a_{n + 1} - 1)}$ ，设数列 $\{b_{n}\}$ 的前项和为 $T_{n}$ ，若 $T_{n} > \frac{2023}{2024}$ ，求 $n$ 的最小值．

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12. 已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ 满足 $S_{n} = {2 a}_{n} - 1 ， n \in N^{*}$ .

(1)、求 $\{a_{n}\}$ 的通项公式：

(2)、已知数列 $b_{n} = a_{n} ∙ l o g_{2} a_{n}$ ，求 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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13. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ 满足： $S_{n} = \frac{3}{2} a_{n} + n - 3$ .

(1)、求证：数列 ${a_{n} - 1}$ 是等比数列；

(2)、令 $c_{n} = l o g_{3} (a_{1} - 1) + l o g_{3} (a_{2} - 1) + ⋯ + l o g_{3} (a_{n} - 1)$ ，对任意 $n \in N^{*}$ ，是否存在正整数 $m$ ，使 $\frac{1}{c_{1}} + \frac{1}{c_{2}} + ⋯ + \frac{1}{c_{n}} \geq \frac{m}{3}$ 都成立？若存在，求出 $m$ 的值；若不存在，请说明理由.

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14. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $a_{1} = - \frac{9}{4}$ ，且 $4 S_{n + 1} = 3 S_{n} - 9$ ．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设数列 ${b_{n}}$ 满足 $3 b_{n} + n a_{n} = 0 (n \in N^{*})$ ，记数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，若 $T_{n} \leq λ b_{n} + 12$ 对任意 $n \in N^{*}$ 恒成立，求实数 $λ$ 的取值范围．

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15. 已知数列 ${a_{n}^{}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}^{}$ ，满足 $S_{n}^{} = \frac{1}{3} (a_{n}^{} - 1)$ ．

(1)、求数列 ${a_{n}^{}}$ 的通项公式；

(2)、记 $b_{n}^{} = a_{n}^{} \cdot s i n \frac{n π}{2}$ ，求数列 ${b_{n}^{}}$ 的前 $100$ 项的和 $T_{100}^{}$ ．

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16. 记 $S_{n}$ 为数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和，已知 $2 S_{n} = 3 a_{n} - 3 (n \in N^{*})$ ．

(1)、求 $a_{n}$ ；

(2)、若 $b_{n} = \frac{1}{a_{n}} + l o g_{3} a_{2 n - 1}$ ，记 $T_{n}$ 为 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和，且满足 $T_{n} < 150$ ，求 $n$ 的最大值．

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