高中数学三轮复习（直击痛点）：专题11向量极化恒等式

试卷更新日期：2024-02-05 类型：三轮冲刺

进入出卷网下载

一、选择题

1. $Δ A B C$ 中， $A C = 3 ， B C = 2 A B$ ，则 $\overset{\leftrightarrow}{C A} \cdot \overset{\leftrightarrow}{C B}$ 的取值范围是（）

A、 $[\frac{9}{2} ， 6]$ B、 $(6 ， 9)$ C、 $[9 ， 18]$ D、 $(6 ， 18)$

查看试题解析
2. 已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则 $\vec{P A}$ •（ $\vec{P B}$ + $\vec{P C}$ ）的最小值是（）

A、﹣2 B、﹣ $\frac{3}{2}$ C、﹣ $\frac{4}{3}$ D、﹣1

查看试题解析
3. 在边长为1的正三角形ABC中， $\vec{B D}$ =x $\vec{B A}$ ， $\vec{C E}$ =y $\vec{C A}$ ，x＞0，y＞0，且x+y=1，则 $\vec{C D}$ • $\vec{B E}$ 的最大值为（　　）

A、 $- \frac{5}{8}$ B、 $- \frac{3}{8}$ C、 $- \frac{3}{2}$ D、 $- \frac{3}{4}$

查看试题解析
4. 已知 $Δ A B C$ 是边长为4的等边三角形， $P$ 为平面 $A B C$ 内一点，则 $\overset{⇀}{P A} \cdot (\overset{⇀}{P B} + \overset{⇀}{P C})$ 的最小值是（）

A、 $- 2$ B、 $- \frac{3}{2}$ C、 $- 3$ D、 $- 6$

查看试题解析
5. 已知向量 $\overset{⇀}{O A} = (2 ， 2) ， \overset{⇀}{O B} = (4 ， 1)$ ，在 $x$ 轴上有一点 $P$ ，使 $\overset{⇀}{A P} \cdot \overset{⇀}{B P}$ 有最小值，则 $P$ 点坐标为（）

A、 $(- 3 ， 0)$ B、 $(3 ， 0)$ C、 $(2 ， 0)$ D、 $(4 ， 0)$

查看试题解析

二、多项选择题

6. 已知 $△ A B C$ 三个内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，且 $∠ C = \frac{π}{3}$ ， $c = 2$ ．（）

A、 $△ A B C$ 面积的最大值为 $\sqrt{3}$ B、 $\vec{A C} \cdot \vec{A B}$ 的最大值为 $2 + \frac{4 \sqrt{3}}{3}$ C、 $\frac{c o s B}{c o s A}$ 的取值范围为 $(- 2 ， + \infty)$ D、 $b c o s A + a c o s B = \sqrt{2}$

查看试题解析
7. 如图，底面 $A B C D$ 为边长是2的正方形，半圆面 $A P D ⊥$ 底面 $A B C D$ .点P为半圆弧 $\overset{⌢}{A D}$ 上（不含A，D点）的一动点.下列说法正确的是（）

A、 $\vec{B P} \cdot \vec{P D}$ 的数量积恒为0 B、三棱锥 $P - B C D$ 体积的最大值为 $\frac{2}{3}$ C、不存在点P，使得 $\vec{A B} \cdot \vec{P B} = 4$ D、点A到平面 $B P D$ 的距离取值范围为 $(0 ， \sqrt{2})$

查看试题解析

三、填空题

8. 如图，在四边形 $A B C D$ 中， $A B = 2$ ， $A C = 2 \sqrt{3}$ ， $A D = \frac{1}{2}$ ， $∠ C A B = \frac{π}{6}$ ， $\vec{A D} \cdot \vec{A B} = - \frac{1}{2}$ ，则 $\vec{A D} \cdot \vec{A C} =$ ；设 $\vec{A C} = m \vec{A B} + n \vec{A D} (m ， n \in R)$ ，则 $m + n =$ ．

查看试题解析
9. 窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个正八边形窗花隔断，图2是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图.如图2，若正八边形 $A B C D E F G H$ 边长为2， $P$ 是正八边形 $A B C D E F G H$ 八条边上的动点，则 $\vec{A P} \cdot \vec{B C}$ 的取值范围是.

查看试题解析
10. 在边长为2的等边 $△ A B C$ 中， $D$ 为 $A C$ 的中点， $M$ 为 $A B$ 边上一动点，则 $\vec{M C} \cdot \vec{M D}$ 的最小值为.

查看试题解析
11. 向量 $\vec{a} = (- 2 ， 1)$ 在向量 $\vec{b}$ 上的投影向量为 $\frac{1}{2} \vec{b}$ ，则 $| \vec{b} |$ 的最大值为．

查看试题解析
12. 已知 $\vec{a}$ ､ $\vec{b}$ 是平面内两个互相垂直的单位向量，若 $\vec{c}$ 满足 $(\vec{a} - \vec{c}) \cdot (\vec{b} - \vec{c}) = 0$ ，则 $| \vec{c} |$ 的最大值为.

查看试题解析
13. 在 $△ A B C$ 中， $A C = 5$ ， $B C = 12$ ， $∠ C = 90 °$ ， $P$ 为 $△ A B C$ 所在平面内的动点，且 $P C = 2$ ，则 $\vec{P A} \cdot \vec{P B}$ 的取值范围是．

查看试题解析
14. 如图，在矩形ABCD中，AB=2BC=2，AC与BD的交点为M，N为边AB上任意一点（包含端点），则 $\vec{M B} \cdot \vec{D N}$ 的最大值为．

查看试题解析
15. 已知平面向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ，且 $| \vec{a} | = | \vec{b} | = 2$ ， $\vec{a} \cdot \vec{b} = 2$ ，向量 $\vec{c}$ 满足 $| \vec{c} - 2 \vec{a} - 2 \vec{b} | = | \vec{a} - \vec{b} |$ ，则 $| \vec{c} - λ \vec{b} | (λ \in R)$ 的最小值为.

查看试题解析
16. 四边形 $A B C D$ 中，点 $E ， F$ 分别是 $A B ， C D$ 的中点， $A B = 2 ， C D = 2 \sqrt{2} ， E F = 1$ ，点 $P$ 满足 $\vec{P A} \cdot \vec{P B} = 0$ ，则 $\vec{P C} \cdot \vec{P D}$ 的最大值为．

查看试题解析
17. 若向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足： $| \vec{a} | = 2$ ， $| \vec{a} + \vec{b} | = 3$ ， $| \vec{a} - \vec{b} | = 3$ ，则 $| \vec{b} | =$ .

查看试题解析
18. 已知 $△ A B C$ 外接圆的圆心为 $O ， P$ 是 $△ A B C$ 边上一动点，若 $C A = 2 ， C B = \sqrt{7} ， A = \frac{π}{3}$ ，则 $\vec{A B} \cdot \vec{O P}$ 的最大值为.

查看试题解析
19. 已知单位向量 $\vec{e_{1}}$ ， $\vec{e_{2}}$ 的夹角为120°，则 $\vec{e_{1}} \cdot \vec{e_{2}}$ = ， | $\vec{e_{1}}$ ﹣ $λ \vec{e_{2}}$ |（λ∈R）的最小值为．

查看试题解析
20. 已知 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 为单位向量，且 $\vec{a}$ • $\vec{b}$ =0，若向量 $\vec{c}$ 满足| $\vec{c}$ ﹣（ $\vec{a} + \vec{b}$ ）|=| $\vec{a} - \vec{b}$ |，则| $\vec{c}$ |的最大值是．

查看试题解析

四、解答题

21. 已知椭圆 $E ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左焦点为 $F (- 1 ， 0)$ ，左、右顶点及上顶点分别记为 $A 、 B 、 C$ ，且 $\vec{C F} \cdot \vec{C B} = 1$ ．

(1)、求椭圆 $E$ 的方程；

(2)、若直线 $l ： y = k x - 2$ 与椭圆 $E$ 交于 $M 、 N$ 两点，求 $△ O M N$ 面积的最大值，以及取得最大值时直线 $l$ 的方程．

查看试题解析
22. 已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的焦距为 $2 \sqrt{3}$ ，离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，椭圆的左右焦点分别为 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ ，直角坐标原点记为 $O$ ．设点 $P (0 ， t)$ ，过点 $P$ 作倾斜角为锐角的直线 $l$ 与椭圆交于不同的两点 $B$ 、 $C$ ．

(1)、设椭圆上有一动点 $T$ ，求 $\vec{P T} \cdot (\vec{T F_{1}} - \vec{T F_{2}})$ 的取值范围；

(2)、设线段 $B C$ 的中点为 $M$ ，当 $t \geq \sqrt{2}$ 时，判别椭圆上是否存在点 $Q$ ，使得非零向量 $\vec{O M}$ 与向量 $\vec{P Q}$ 平行，请说明理由．

查看试题解析
23. 已知 $\vec{a}$ =（sinx，cosx）， $\vec{b}$ =（sinx，k）， $\vec{c}$ =（﹣2cosx，sinx﹣k）．

(1)、当x∈[0， $\frac{π}{4}$ ]时，求| $\vec{b}$ + $\vec{c}$ |的取值范围；

(2)、若g（x）=（ $\vec{a}$ + $\vec{b}$ ）• $\vec{c}$ ，求当k为何值时，g（x）的最小值为﹣ $\frac{3}{2}$ ．

查看试题解析