吉林省松原市宁江区2023-2024学年九年级上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2024-02-05 类型：期末考试

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一、单项选择题（每小题2分，共12分）

1. 下列图形分别是可回收物、厨余垃圾、有害垃圾及其它垃圾的标志，其中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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2. 用配方法解方程 $x^{2} - 2 x - 5 = 0$ 时，原方程应变形为（）

A、 ${(x + 1)}^{2} = 6$ B、 ${(x - 2)}^{2} = 9$ C、 ${(x + 2)}^{2} = 9$ D、 ${(x - 1)}^{2} = 6$

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3. 下列事件中属于随机事件的是（）

A、今天是星期一，明天是星期二 B、从一个装满红球的袋子里摸出了一个白球 C、掷一枚质地均匀的硬币正面朝上 D、抛出的篮球会下落

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4. 若A（ $- \frac{13}{4}$ ， $y_{1}$ ），B（ $- \frac{5}{4}$ ， $y_{2}$ ），C（ $\frac{1}{4}$ ， $y_{3}$ ）为二次函数 $y ＝ x^{2} + 4 x - 5$ 的图象上的三点，则 $y_{1} ， y_{2} ， y_{3}$ 的大小关系是（）

A、 $y_{1} ＜ y_{2} ＜ y_{3}$ B、 $y_{2} ＜ y_{1} ＜ y_{3}$ C、 $y_{3} ＜ y_{1} ＜ y_{2}$ D、 $y_{1} ＜ y_{3} ＜ y_{2}$

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5. 如图，点P是反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k \neq 0)$ 的图象上任意一点，过点P作 $P M ⊥ x$ 轴，垂足为M ，若 $△ P O M$ 的面积等于3，则k的值等于（　　）

A、 $- 6$ B、6 C、 $- 3$ D、3

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6. 如图，AB是⊙O的直径，点C，D，E在⊙O上，若∠AED＝20°，则∠BCD的度数为(　　)

A、100° B、110° C、115° D、120°

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二、填空题（每小题3分，共24分）

7. 已知 $x = 1$ 是方程 $x^{2} + b x - 2 = 0$ 的一个根，则方程的另一个根是．

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8. 关于“圆的定义”，在我国古代就有记载，战国时期数学家墨子撰写的《墨经》一书中，就有“圆，一中同长也”的记载，这句话里的“中”字的意思可以理解为．

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9. 如图，假设可以随意在图中取点，那么这个点取在阴影部分的概率是．

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10. 如图，学校将一面积为110m²的矩形空地一边增加4m，另一边增加5m后，建成了一个正方形训练场，则此训练场的面积为m² ．

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11. 如图，将 $△ A B C$ 绕点 $B$ 逆时针旋转 $100 °$ ，得到 $△ E B D$ ，若点 $A$ 恰好在 $E D$ 的延长线上，则 $∠ C A D$ 的度数为．

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12. 如图，圆锥的底面半径为1 cm，母线AB的长为3 cm，则这个圆锥侧面展开图扇形的圆心角为度．

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13. 如图，直线 $y = - x + 4$ 与双曲线 $y = \frac{k}{x}$ 交于 $A ， B$ 两点，若 $△ A O B$ 的面积为4，则k的值为．

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14. 在平面直角坐标系中，抛物线y=ax²+bx+c（a ， b ， c是常数，a＞0）的部分图象如图所示，直线x=1是它的对称轴．若一元二次方程ax²+bx+c=0的一个根x₁的取值范围是2＜x₁＜3，则它的另一个根x₂的取值范围是．

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三、解答题（每小题5分，共20分）

15. 解方程： ${(x + 2)}^{2} = 3 (x + 2)$

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16. 小晗家客厅里装有一种三位单极开关，分别控制着A（楼梯）、B（客厅）、C（走廊）三盏电灯，在正常情况下，小晗按下任意一个开关均可打开对应的一盏电灯，既可三盏、两盏齐开，也可分别单盏开．因刚搬进新房不久，不熟悉情况．

(1)、若小晗任意按下一个开关，正好楼梯灯亮的概率是多少？

(2)、若任意按下其中的两个开关，则正好客厅灯和走廊灯同时亮的概率是多少？请用树状图或列表加以说明．

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17. 抛物线y＝ax²＋bx＋c过(－3，0)，(1，0)两点，与y轴的交点为(0，4)，求抛物线的解析式．

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18. 已知：如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ B A C = 120 °$ ，以 $B C$ 为边向形外作等边三角形 $B C D$ ，把 $△ A B D$ 绕着点D按顺时针方向旋转 $60 °$ 后得到 $△ E C D$ ，且A、C、E三点共线，若 $A B = 3$ ， $A C = 2$ ，求 $∠ B A D$ 的度数与 $A D$ 的长．

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四、解答题（每小题7分，共28分）

19. 如图，方格纸中的每个小方格是边长为1个单位的正方形．

(1)、画出 $R t △ A B C$ 向右平移5个单位长度后的 $R t △ A_{1} B_{1} C_{1}$ ；

(2)、再将 $R t △ A_{1} B_{1} C_{1}$ 绕点 $C_{1}$ 顺时针旋转 $90 °$ ，画出旋转后的 $R t △ A_{2} B_{2} C_{1}$ ．

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20. 下面是小元设计的“过圆上一点作圆的切线”的尺规作图过程．
已知：如图，⊙O及⊙O上一点P．
求作：过点P的⊙O的切线．
作法：如图，作射线OP；
① 在直线OP外任取一点A，以A为圆心，AP为半径作⊙A，与射线OP交于另一点B；
②连接并延长BA与⊙A交于点C；
③作直线PC；
则直线PC即为所求．根据小元设计的尺规作图过程，

(1)、使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）

(2)、完成下面的证明：
证明：∵ BC是⊙A的直径，
∴ ∠BPC=90°（）（填推理依据）．
∴ OP⊥PC．
又∵ OP是⊙O的半径，
∴ PC是⊙O的切线（）（填推理依据）．

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21. 关于x的一元二次方程x²﹣x﹣（m+1）=0有两个不相等的实数根.

(1)、求m的取值范围；

(2)、若m为符合条件的最小整数，求此方程的根.

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22. 已知抛物线 $y = a x^{2} - 4 a x + 4 a + 1 （ a \neq 0)$ 与y轴交于点A，点A与点B关于抛物线的对称轴对称.直线 $l$ 经过点B且与 $x$ 轴垂直.

(1)、求抛物线的顶点C的坐标和直线 $l$ 的表达式.

(2)、抛物线与直线 $l$ 交于点P，当OP≤5时，求 $a$ 的取值范围.

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五、解答题（每小题8分，共16分）

23. 如图 $y = a x + 6$ 的图像交x轴于点 $A (- 3 ， 0)$ ，交反比例函数 $y = \frac{k}{x} (> 0)$ 的图像于点B（1，m）．

(1)、求反比例函数的表达式；

(2)、点D为反比例函数图象第一象限上B点下方一个动点，过点D作 $D C ⊥ y$ 轴交线段AB于点C ，连接AD ，求 $△ A C D$ 的面积的最大值．

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24. 扬州市为打造“绿色城市”降低空气中pm₂_.5的浓度，积极投入资金进行园林绿化工程，已知2014年投资1000万元，预计2016年投资1210万元．若这两年内平均每年投资增长的百分率相同．

(1)、求平均每年投资增长的百分率；

(2)、经过评估，空气中pm₂_.5的浓度连续两年较上年下降10%，则两年后pm₂_.5的浓度比最初下降了百分之几？

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六、解答题（每小题10分，共20分）

25.

(1)、【性质探究】如图1，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ B A C = 90 °$ ， AB＝AC ，点D在斜边BC上，将△ABD绕点A逆时针旋转90°得到△ACE．
①直线BD与CE的位置关系为；
②若点F为BE的中点，连接AF ，请探究线段AF与CD的数量关系，并给予证明．

(2)、【拓展应用】
如图2，已知点E是正方形ABCD的边BC上任意一点，以AE为边作正方形AEFG ，连接BG，点H为BG的中点，连接AH ．若AB＝4，BE＝3，求AH的长．

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26. 【生活情境】
为美化校园环境，某学校根据地形情况，要对景观带中一个长 $A D = 4 m$ ，宽 $A B = 1 m$ 的长方形水池 $A B C D$ 进行加长改造（如图①，改造后的水池 $A B N M$ 仍为长方形，以下简称水池1），同时，再建造一个周长为 $12 m$ 的矩形水池 $E F G H$ （如图②，以下简称水池2）．
【建立模型】
如果设水池 $A B C D$ 的边 $A D$ 加长长度 $D M$ 为 $x (m) (x > 0)$ ，加长后水池1的总面积为 $y_{1} (m^{2})$ ，则 $y_{1}$ 关于 $x$ 的函数解析式为： $y_{1} = x + 4 (x > 0)$ ；设水池2的边 $E F$ 的长为 $x (m) (0 < x < 6)$ ，面积为 $y_{2} (m^{2})$ ，则 $y_{2}$ 关于 $x$ 的函数解析式为： $y_{2} = - x^{2} + 6 x (0 < x < 6)$ ，上述两个函数在同一平面直角坐标系中的图像如图③．
【问题解决】

(1)、若水池2的面积随 $E F$ 长度的增加而减小，则 $E F$ 长度的取值范围是（可省略单位），水池2面积的最大值是 $m^{2}$ ；

(2)、在图③字母标注的点中，表示两个水池面积相等的点是，此时的 $x (m)$ 值是；

(3)、当水池1的面积大于水池2的面积时， $x (m)$ 的取值范围是；

(4)、在 $1 < x < 4$ 范围内，求两个水池面积差的最大值和此时 $x$ 的值；

(5)、假设水池 $A B C D$ 的边 $A D$ 的长度为 $b (m)$ ，其他条件不变（这个加长改造后的新水池简称水池3），则水池3的总面积 $y_{3} (m^{2})$ 关于 $x (m) (x > 0)$ 的函数解析式为： $y_{3} = x + b (x > 0)$ ．若水池3与水池2的面积相等时， $x (m)$ 有唯一值，求 $b$ 的值．

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