四川省成都市都江堰市2023-2024学年九年级上学期期末数学试题

试卷更新日期：2024-02-05 类型：期末考试

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一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上）

1. 在实数3，2， $- 1$ ， 0中，最小的数是（）

A、3 B、2 C、 $- 1$ D、0

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2. 如图是几个完全相同的小正方体搭成的几何体，其俯视图为（）

A、 B、 C、 D、

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3. 乘着大运会的“东风”，运动生活成为成都这座公园城市的新标签、成都市民的生活新方式．据四川新闻网报道，成都打造社区运动角示范项目有 $200$ 余处，天府绿道健身新空间有 $400$ 余个，公共体育场馆免费或低收费服务，市民健身年均超 $460$ 万人次，体育公共服务质量满意度测评全国第一． $460$ 万用科学记数法表示为（）

A、 $4.6 \times 1 0^{6}$ B、 $4.6 \times 1 0^{7}$ C、 $460 \times 1 0^{4}$ D、 $0.46 \times 1 0^{6}$

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4. 某校举办“强国复兴有我，争做新时代美德少年”演讲比赛．比赛中，九位评委给某个选手打分，如果去掉一个最高分和一个最低分，则下列数据一定不发生变化的是（）

A、方差 B、平均数 C、众数 D、中位数

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5. 下列运算正确的是（）

A、 $x^{3} \cdot x^{5} = x^{15}$ B、 $x^{3} + x^{3} = 2 x^{6}$ C、 ${(x - y)}^{2} = x^{2} - y^{2}$ D、 $x^{7} \div x^{5} = x^{2}$

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6. 如图，在菱形 $A B C D$ 中，对角线 $A C$ 与 $B D$ 相交于点 $O$ ， $∠ A B C = 120 ° ， B D = 4$ ，则对角线 $A C$ 的长为（）

A、 $4 \sqrt{3}$ B、 $2 \sqrt{3}$ C、4 D、8

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7. 已知点 $(- 4 ， y_{1}) ， (1 ， y_{2}) ， (3 ， y_{3})$ 在反比例函数 $y = - \frac{2}{x}$ 的图像上，则 $y_{1} ， y_{2} ， y_{3}$ 的大小关系为（）

A、 $y_{1} > y_{2} > y_{3}$ B、 $y_{1} > y_{3} > y_{2}$ C、 $y_{3} > y_{2} > y_{1}$ D、 $y_{2} > y_{1} > y_{3}$

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8. 如图， $R t △ A B C$ 与 $R t △ E F G$ 是关于 $y$ 轴上一点的位似图形，若 $B (- 4 ， 4)$ ， $F (2 ， 1)$ 则位似中心的坐标为（）

A、 $(0 ， 1)$ B、 $(0 ， 2)$ C、 $(0 ， 3)$ D、 $(0 ， \frac{3}{2})$

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二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上）

9. 若 $x^{2} + a x + b = (x + 2) (x + 3)$ ，则 $a + b =$ ．

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10. 早在 $1000$ 多年前的宋朝，手影就已经作为民间一种有趣的游戏而存在．诗人释惠明在《手影戏》中写到：“三尺生绡作戏台，全凭十指送诙谐．有时明月灯窗下，一笑还从掌握来”．手影戏全凭手影艺人的十指借光弄影，表演各色人物、花草虫鱼、飞禽走兽甚至是寓言故事．如图，手影戏中的手影属于（填“平行投影”或“中心投影”）．

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11. 如图，已知 $∠ B A D = ∠ C A E$ ，添加一个条件，使得 $△ A B C ∽ △ A D E$ ．

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12. 关于 $x$ 的方程 $\frac{1 + m}{x - 1} = 2$ 的解是 $x = 2$ ，则 $m =$ ．

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13. 如图， $R t △ A B C$ 中， $∠ A B C = 90 ° ， B C = \frac{1}{2} A B$ ．以点 $C$ 为圆心， $C B$ 长为半径作弧，交 $A C$ 于点 $D$ ，以点 $A$ 为圆心， $A D$ 长为半径作弧，交 $A B$ 于点 $P$ ．若 $A B = 4$ ，则 $B P =$ ．

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三、解答题（本大题共5个小题，共48分，解答过程写在答题卡上）

14.

(1)、计算： ${(\frac{1}{3})}^{- 2} + | \sqrt{2} - 3 | - \sqrt{18} + {(π - 2024)}^{0}$ ；

(2)、解不等式组： ${\begin{array}{l} \frac{x}{2} - 1 < \frac{2 x + 1}{3} \\ 3 x - 5 \leq 3 - x \end{array}$

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15. 若关于 $x$ 的一元二次方程 $(k - 2) x^{2} + 3 x - 2 = 0$ 有两个不相等的实数根，求 $k$ 的取值范围．

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16. 为进一步贯彻《中共中央国务院关于加强消少年体有增强消少年体质的意见》精神，保证学生每天一小时的体育锻炼时间，某校开展了“阳光体育活动”．现决定开设篮球、足球、乒乓球、排球、羽毛球这五项球类活动．为了解同学们对五项球类活动的喜爱情况，学校随机调查了部分学生（每个学生必须选且只能选择这五项活动中的一项），并绘制成如下的统计图．回答下列问题：

(1)、本次参加调查的学生有 ▲ 人．补全条形统计图；

(2)、若该校有 $600$ 名学生，那么参加羽毛球活动的学生约有人；

(3)、九年级一班有甲，乙，丙，丁4名同学参加学校排球队，现从这四名同学中随机抽取2名同学到市上参加比赛，请用树状图或列表法求恰好抽到甲，乙两位同学的概率．

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17. 如图，点 $D ， E ， F$ 分别在 $△ A B C$ 三边上，且 $D E ∥ B C$ ， $E F ∥ A B ， B D = 3 A D ， B C = 8$ ．

(1)、求 $C F$ 的长；

(2)、若 $△ A D E$ 的面积为4，求四边形 $B D E F$ 的面积．

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18. 如图1，反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 与一次函数 $y = x + b$ 的图象交于 $A ， B$ 两点，已知 $B (2 ， 3)$ ．

(1)、求反比例函数和一次函数的表达式；

(2)、一次函数 $y = x + b$ 的图象与 $x$ 轴交于点 $C$ ，点 $D$ （未在图中画出）是反比例函数图象上的一个动点，若 $S_{△ O C D} = 3$ ，求点 $D$ 的坐标：

(3)、若点 $M$ 是坐标轴上一点，点 $N$ 是平面内一点，是否存在点 $M ， N$ ，使得四边形 $A B M N$ 是矩形？若存在，请求出所有符合条件的点 $M$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

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四、填空题（本大题共5个小题，系小题4分，共20分，答案写在答题卡上）

19. 已知点 $A ， B ， C$ 在数轴上的位置如图所示，点 $A$ 表示的数是 $- 2$ ，点 $B$ 是 $A C$ 的中点，线段 $A B = \sqrt{3} + 1$ ，则点 $C$ 表示的数是．

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20. 如图，正方形 $A B C D$ 的对角线 $A C ， B D$ 交于点 $O ， R t △ E O F$ 中， $∠ E O F = 90 °$ ，将 $R t △ E O F$ 绕点 $O$ 旋转（边 $E F$ 在正方形 $A B C D$ 外面），现随机向正方形内抛掷一枚小针，则针尖落在 $R t △ E O F$ 与正方形 $A B C D$ 重叠部分的概率为．

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21. 已知实数 $a$ ， $b$ 满足 $3 a^{2} + 4 a - 2 = 0$ ， $3 b^{2} + 4 b - 2 = 0$ ，则 $\frac{a}{b} + \frac{b}{a} =$ ．

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22. 在矩形 $A B C D$ 中，点 $E ， F$ 分别在边 $A D ， B C$ 上，将矩形 $A B C D$ 沿直线 $E F$ 折叠，使点 $B$ 恰好与点 $D$ 重合，点 $A$ 落在点 $A^{'}$ 处，点 $G$ 为线段 $E F$ 上一动点，过点 $G$ 作 $G M ⊥ A D ， G N ⊥ F D$ ，垂足分别为点 $M ， N$ ，以 $G M ， G N$ 为邻边构造平行四边形 $G M H N$ ，若平行四边形 $G M H N$ 的周长为 $4 \sqrt{10} ， A E = 3$ ，则 $E F =$ ．

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23. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ，点 $E$ 在边 $C A$ 的延长线上，点 $F$ 在边 $B C$ 上（不与点 $B ， C$ 重合），连接 $E F$ ，以点 $F$ 为顶点作 $∠ E F H = ∠ E A B ， ∠ E F H$ 的边 $F H$ 交边 $A B$ 于点 $H$ ，若 $B C = 2 A C ， B F = \frac{1}{3} B C$ ，则 $\frac{E F}{F H} =$ ．

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五、解答题（本大题共3个小题，共30分，解答过程写在答题卡上）

24. 2023年8月8日，成都大运会闭幕式在成都露天音乐公园举行．成都露天音乐公园是一座以音乐为主题，集文化艺术、休闲娱乐、旅游观光等功能为一体的大型城市公园，公园的整体景观设计融入了太阳神鸟文化、天府文化、凤凰文化、古蜀音乐文化，同时其具国际化风格．王华在公园的游客中心售卖大运会陶瓷文创纪念品，她以50元/件的价格购进了一款陶瓷蓉宝手办，在销售过程中发现：每天的销售量y（件）与销售价格x（元/件）的关系如图所示 $(50 \leq x \leq 120)$ ，其中 $A B$ 为反比例函数图象的一部分， $B C$ 为一次函数图象的一部分．设销售这款手办的日利润为 $w$ （元）．

(1)、求 $y$ 与 $x$ 之间的函数关系式：

(2)、求 $w$ 与 $x$ 之间的函数关系式，并求出当日利润为600元时，每件手办的售价为多少元？

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25. 阅读下列材料，解决问题：
配方法是数学中一种很重要的恒等变形方法，我们已经学习了用配方法解一元二次方程，并在此基础上得出了一元二次方程的求根公式．其实配方法还有很多重要的应用．例如我们可以用配方法求代数式的最值及取得最值的条件，如下面的例子：
例：求多项式 $2 x^{2} - 8 x + 1$ 的最小值
解： $2 x^{2} - 8 x + 1 = 2 (x^{2} - 4 x) + 1$
$\begin{array}{l} = 2 (x^{2} - 4 x + 4 - 4) + 1 \end{array}$
$= 2 (x - 2)^{2} - 7$
$\begin{array}{l} ∵ (x - 2)^{2} \geq 0 \end{array}$ ，
$∴ 2 (x - 2)^{2} - 7 \geq - 7$
$∴$ 多项式的最小值为−7，此时， $x = 2$ ．
仿照上面的方法，解决下面的问题：

(1)、当 $x =$ 时，多项式 $- x^{2} - 4 x + 3$ 有最值是；

(2)、若代数式 $M = 2 x^{2} - 3 y^{2} - x - 1 ， N = x^{2} - 3 y^{2} + x - 4$ ，试比较 $M$ 与 $N$ 的大小关系；

(3)、如图，在 $△ A B C$ 中， $B C = a$ ，高 $A D = b$ ，矩形 $E F G H$ 的四个顶点分别在三角形的三边上，设 $H E = x$ ，矩形 $E F G H$ 的面积为 $S$ ．用含有 $x ， a ， b$ 的代数式表示 $S$ ，并求出当 $x$ 的值为多少时， $S$ 的值最大？并判断此时 $S$ 与 $△ A B C$ 面积的关系．

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26.

(1)、【观察与猜想】
如图1，点 $O$ 是矩形 $A B C D$ 内一点，过点 $O$ 的直线 $E F ⊥ M N$ ，分别交矩形的边为点 $E ， F ， M ， N$ ．若 $A D = 10 ， C D = 7 ， E F = 8$ ，则 $M N =$ ；

(2)、【类比探究】
如图2，在平行四边形 $A B C D$ 中，点 $E ， M$ 分别在边 $A B ， B C$ 上，连接 $D M$ 与 $C E$ 交于点 $O ， ∠ D O E = ∠ B$ ．求证： $C E \cdot A B = D M \cdot B C$ ；

(3)、【拓展延伸】
如图3，在四边形 $A B C D$ 中， $B C = 17 \frac{1}{5} ， A B = 4 ， ∠ B = ∠ A D C = 120 ° ， \frac{C D}{A D} = \frac{4}{5}$ ， $M$ 在边 $B C$ 上，连接 $A C$ 与 $D M$ 交于点 $O$ ，当 $∠ A O D = ∠ B$ 时，求 $\frac{A C}{D M}$ 的值．

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