高中数学三轮复习（直击痛点）：专题10平面向量“奔驰定理”

试卷更新日期：2024-02-04 类型：三轮冲刺

进入出卷网下载

一、选择题

1. 2020年10月27日，在距离长江口南支航道0.7海里的风机塔上，东海航海保障中心上海航标处顺利完成临港海上风电场AIS（船舶自动识别系统）基站的新建工作，中国首个海上风机塔AIS基站宣告建成.已知风机的每个转子叶片的长度为20米，每两个叶片之间的夹角相同，风机塔（杆）的长度为60米，叶片随风转动，假设叶片与风机塔在同一平面内，如下图所示，则 $| \vec{O A} + \vec{O B} + \vec{O M} |$ 的最小值为（）

A、40 B、 $20 \sqrt{7}$ C、 $20 \sqrt{10}$ D、80

查看试题解析
2. 在直角三角形 $A B C$ 中， $A = 90 °$ 、 $△ A B C$ 的重心、外心、垂心、内心分別为 $G_{1}$ ， $G_{2}$ ， $G_{3}$ ， $G_{4}$ ，若 $\vec{A G_{i}} = λ_{i} \vec{A B} + μ_{i} \vec{A C}$ （其中 $i = 1 ， 2 ， 3 ， 4$ ），当 $λ_{i} + μ_{i}$ 取最大值时， $i =$ （）

A、1 B、2 C、3 D、4

查看试题解析
3. 在一个边长为2的等边三角形 $A B C$ 中，若点P是平面 $A B C$ (包括边界)中的任意一点，则 $\vec{P A} \cdot \vec{P C}$ 的最小值是（）

A、 $- \frac{5}{2}$ B、 $- \frac{4}{3}$ C、 $- 1$ D、 $- \frac{3}{4}$

查看试题解析
4. 十七世纪法国数学家皮埃尔•德•费马提出的一个著名的几何问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与这个三角形的三个顶点的距离之和最小”.它的答案是：当三角形的三个角均小于 $\frac{2 π}{3}$ 时，即该点与三角形的三个顶点的连线两两成角 $\frac{2 π}{3}$ ；当三角形有一内角大于或等于 $\frac{2 π}{3}$ 时，所求点为三角形最大内角的顶点，在费马问题中，所求点称为费马点.已知在 $△ A B C$ 中， $C = \frac{2 π}{3} ， A C = 1 ， B C = 2$ ， $C M$ 是 $△ A B C$ 的角平分线，交 $A B$ 于 $M$ ，满足若 $P$ 为 $△ A M C$ 的费马点，则 $\vec{P A} \cdot \vec{P M} + \vec{P M} ·$ $\vec{P C} + \vec{P A} \cdot \vec{P C} =$ （）

A、 $- \frac{3}{5}$ B、 $- \frac{2}{5}$ C、 $- \frac{2}{3}$ D、 $- \frac{1}{3}$

查看试题解析
5. 在一个边长为2的等边三角形 $A B C$ 中，若点P是平面 $A B C$ (包括边界)中的任意一点，则 $\vec{P A} \cdot \vec{P C}$ 的最小值是（）

A、 $- \frac{5}{2}$ B、 $- \frac{4}{3}$ C、-1 D、 $- \frac{3}{4}$

查看试题解析
6. 十七世纪法国数学家皮埃尔·德·费马提出的一个著名的几何问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与这个三角形的三个顶点的距离之和最小”.它的答案是：当三角形的三个角均小于 $12 0^{∘}$ 时，所求的点为三角形的正等角中心，即该点与三角形的三个顶点的连线两两成角 $12 0^{∘}$ ；当三角形有一内角大于或等于120°时，所求点为三角形最大内角的顶点.在费马问题中所求的点称为费马点，已知在 $△ A B C$ 中，已知 $C = \frac{2}{3} π$ ， $A C = 1$ ， $B C = 2$ ，且点 $M$ 在 $A B$ 线段上，且满足 $C M = B M$ ，若点 $P$ 为 $△ A M C$ 的费马点，则 $\vec{P A} \cdot \vec{P M} + \vec{P M} \cdot \vec{P C} + \vec{P A} \cdot \vec{P C} =$ （）

A、 $- 1$ B、 $- \frac{4}{5}$ C、 $- \frac{3}{5}$ D、 $- \frac{2}{5}$

查看试题解析
7. 已知点O是 $△ A B C$ 的内心， $A B = 4 ， A C = 3$ ， $\vec{C B} = λ \vec{C A} + μ \vec{C O}$ ，则 $λ + μ =$ （）

A、 $\frac{4}{3}$ B、 $\frac{5}{3}$ C、2 D、 $\frac{7}{3}$

查看试题解析
8. 设M为 $△ A B C$ 内一点，且 $\vec{A M} = \frac{1}{4} \vec{A B} + \frac{1}{5} \vec{A C}$ ，则 $△ A B M$ 与 $△ A B C$ 的面积之比为（　　）

A、 $\frac{1}{5}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $\frac{4}{9}$ D、 $\frac{5}{9}$

查看试题解析
9. 平面上有 $△ A B C$ 及其内一点O，构成如图所示图形，若将 $△ O A B$ ， $△ O B C$ ， $△ O C A$ 的面积分别记作 $S_{c}$ ， $S_{a}$ ， $S_{b}$ ，则有关系式 $S_{a} \cdot \vec{O A} + S_{b} \cdot \vec{O B} + S_{c} \cdot \vec{O C} = \vec{0}$ ．因图形和奔驰车的 $l o g o$ 很相似，常把上述结论称为“奔驰定理”．已知 $△ A B C$ 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若满足 $a \cdot \vec{O A} + b \cdot \vec{O B} + c \cdot \vec{O C} = \vec{0}$ ，则O为 $△ A B C$ 的（）

A、外心 B、内心 C、重心 D、垂心

查看试题解析
10. 如图，在等腰直角三角形ABC中，∠C是直角，P是三角形内部一点，且∠CAP=∠BCP=∠ABP=α，则tanα的值等于（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$

查看试题解析
11. 已知O是三角形ABC内部一点，满足 $\vec{O A}$ +2 $\vec{O B}$ +m $\vec{O C}$ = $\vec{0}$ ， $\frac{S_{△ A O B}}{S_{△ A B C}}$ = $\frac{4}{7}$ ，则实数m=（）

A、2 B、3 C、4 D、5

查看试题解析
12. 已知△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，三角形的重心为G.a $\vec{G A}$ +b $\vec{G B}$ +c $\vec{G C}$ = $\vec{0}$ ，则∠A=（　　）

A、30° B、60° C、90° D、120°

查看试题解析

二、多项选择题

13. “奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车(Mercedesbenz)的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.奔驰定理：已知 $O$ 是 $△ A B C$ 内一点， $△ B O C$ 、 $△ A O C$ 、 $△ A O B$ 的面积分别为 $S_{A}$ 、 $S_{B}$ 、 $S_{C}$ ，则 $S_{A} \cdot \vec{O A} + S_{B} \cdot \vec{O B} + S_{C} \cdot \vec{O C} = \vec{0}$ .设 $O$ 是锐角 $△ A B C$ 内的一点， $∠ B A C$ 、 $∠ A B C$ 、 $∠ A C B$ 分别是 $△ A B C$ 的三个内角，以下命题正确的有（）

A、若 $\vec{O A} + 2 \vec{O B} + 3 \vec{O C} = \vec{0}$ ，则 $S_{A} ： S_{B} ： S_{C} = 1 ： 2 ： 3$ B、 $| \vec{O A} | = | \vec{O B} | = 2$ ， $∠ A O B = \frac{5 π}{6}$ ， $2 \vec{O A} + 3 \vec{O B} + 4 \vec{O C} = \vec{0}$ ，则 $S_{△ A B C} = \frac{9}{2}$ C、若 $O$ 为 $△ A B C$ 的内心， $3 \vec{O A} + 4 \vec{O B} + 5 \vec{O C} = \vec{0}$ ，则 $∠ C = \frac{π}{2}$ D、若 $O$ 为 $△ A B C$ 的重心，则 $\vec{O A} + \vec{O B} + \vec{O C} = \vec{0}$

查看试题解析
14. 奔驰定理：已知 $O$ 是 $△ A B C$ 内的一点， $△ B O C$ ， $△ A O C$ ， $△ A O B$ 的面积分别为 $S_{A} ， S_{B} ， S_{C}$ ，则 $S_{A} \cdot \vec{O A} + S_{B} \cdot \vec{O B} + S_{C} \cdot \vec{O C} = \vec{0}$ ．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车( $M e r c e d e s$ $b e n z$ )的 $l o g o$ 很相似，故形象地称其为“奔驰定理”．若 $O$ 是锐角 $△ A B C$ 内的一点， $A ， B ， C$ 是 $△ A B C$ 的三个内角，且点 $O$ 满足 $\vec{O A} \cdot \vec{O B} = \vec{O B} \cdot \vec{O C} = \vec{O C} \cdot \vec{O A}$ ，则（）

A、 $O$ 为 $△ A B C$ 的垂心 B、 $∠ A O B = π - C$ C、 $| \vec{O A} | ： | \vec{O B} | ： | \vec{O C} | = \sin A ： \sin B ： \sin C$ D、 $\tan A \cdot \vec{O A} + \tan B \cdot \vec{O B} + \tan C \cdot \vec{O C} = \vec{0}$

查看试题解析

三、填空题

15. 已知O是 $△ A B C$ 所在平面内一点， $2 \vec{O A} - \vec{O B} + 3 \vec{O C} = \vec{0}$ ，则 $△ A O C$ 与 $△ A B C$ 的面积比 $\frac{S_{△ A O C}}{S_{△ A B C}} =$ ．

查看试题解析
16. 已知 $△ A B C$ 的外接圆圆心为O， $H$ 为 $△ A B C$ 的重心且 $| \vec{A B} | = 4 ， | \vec{A C} | = 6$ 则 $\vec{O A} \cdot (\vec{H B} + \vec{H C}) =$

查看试题解析
17. 如图， $P$ 为 $△ A B C$ 内任意一点，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ .总有优美等式 $S_{△ P B C} \vec{P A} +$ $S_{△ P A C} \vec{P B} + S_{△ P A B} \vec{P C} = \vec{0}$ 成立，因该图形酷似奔驰汽车车标，故又称为奔驰定理.现有以下命题：

①若 $P$ 是 $△ A B C$ 的重心，则有 $\vec{P A} + \vec{P B} + \vec{P C} = \vec{0}$ ；

②若 $a \vec{P A} + b \vec{P B} + c \vec{P C} = \vec{0}$ 成立，则 $P$ 是 $△ A B C$ 的内心；

③若 $\vec{A P} = \frac{2}{5} \vec{A B} + \frac{1}{5} \vec{A C}$ ，则 $S_{△ A B P} ： S_{△ A B C} = 2 ： 5$ ；

④若 $P$ 是 $△ A B C$ 的外心， $A = \frac{π}{4}$ ， $\vec{P A} = m \vec{P B} + n \vec{P C}$ ，则 $m + n \in [- \sqrt{2} ， 1)$ .

则正确的命题有.

查看试题解析

四、解答题

18. 如图， $△ A B C$ 的内角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 的对边分别为 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ， $△ A B C$ 外一点 $D (D$ 与 $△ A B C$ 在同一平面内 $)$ 满足 $∠ B A C = ∠ D A C$ ， $A B = C D = 2$ ， $s i n ∠ A C B + c o s ∠ A C B = \frac{\sqrt{2} c + a}{b}$ ．

(1)、求 $B$ ；

(2)、若 $△ A B C$ 的面积为 $2$ ，求线段 $A D$ 的长．

查看试题解析