浙江省宁波市四校联考2023-2024学年九年级上学期12月月考数学试题

试卷更新日期：2024-02-02 类型：月考试卷

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一、选择题（每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）

1. 已知 $\frac{a}{5} = \frac{b}{3}$ ，则 $\frac{a - b}{b}$ 的值是（）

A、 $\frac{3}{2}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{3}{5}$ D、 $\frac{5}{3}$

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2. 已知 $a = 2 ， b = 8$ ，则 $a ， b$ 的比例中项为（）

A、 $\pm 4$ B、4 C、2 D、 $\pm 2$

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3. 在 $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $t a n A = \frac{1}{2}$ ，那么 $c o s B$ 等于（）．

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ D、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$

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4. 两个相似三角形一组对应边上的中线长分别是 $2 c m$ 和 $5 c m$ ，且其中较大三角形的周长是 $10 c m$ ，则较小三角形的周长为（）

A、 $4 c m$ B、 $6 c m$ C、 $20 c m$ D、 $25 c m$

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5. 若 $A (0 ， y_{1}) ， B (2 ， y_{2}) ， C (3 ， y_{3})$ 为二次函数 $y = {(x - 2)}^{2} + m$ 图象上的三点，则 $y_{1} ， y_{2} ， y_{3}$ 的大小关系为（）

A、 $y_{1} < y_{3} < y_{2}$ B、 $y_{2} < y_{3} < y_{1}$ C、 $y_{2} < y_{1} < y_{3}$ D、 $y_{3} < y_{1} < y_{2}$

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6. 如图， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径， $D 、 C$ 是 $⊙ O$ 上的点， $∠ A D C = 110 °$ ，则 $∠ B A C$ 的度数是（）

A、 $20 °$ B、 $25 °$ C、 $30 °$ D、 $35 °$

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7. 如图，在平面直角坐标系中， $⊙ A$ 与 $y$ 轴相切于原点 $O$ ，平行于 $x$ 轴的直线交 $⊙ A$ 于 $M 、 N$ 两点，若点 $M$ 的坐标是 $(- 8 ， - 4)$ ，则点 $N$ 的坐标为（）

A、 $(- 5 ， - 4)$ B、 $(- 4 ， - 4)$ C、 $(- 3 ， - 4)$ D、 $(- 2 ， - 4)$

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8. 如图，以 $A B$ 为直径的 $⊙ O$ 与 $C B$ 相切于点B ，连接 $A C$ 交 $⊙ O$ 于点D ，点E为 $B C$ 边中点，连接 $D E$ 交 $O C$ 于点 $P$ ．若 $⊙ O$ 的半径为4， $D E = 3$ ．则 $\frac{O P}{C P}$ 的值为（）

A、 $\frac{18}{25}$ B、 $\frac{25}{18}$ C、 $\frac{25}{32}$ D、 $\frac{32}{25}$

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9. 如图，在锐角 $△ A B C$ 中， $∠ B A C = 45 °$ ， $B C = 2$ ， $A D ， B E$ 分别是 $B C ， A C$ 边上的高线， $A D$ 与 $B E$ 交于点F ，则 $F D$ 的最大值为（）

A、1 B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\sqrt{2} - 1$ D、 $\frac{\sqrt{2} + 1}{2}$

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10. 规定：若点 $A$ 在某一个函数的图象上，且点 $A$ 的横纵坐标互为相反数，则称点 $A$ 为这个函数的“互反点”．若关于 $x$ 的二次函数 $y = m x^{2} + (n - 2) x - 3 n$ 对于任意的常数 $n$ ，恒有两个“互反点”，则 $m$ 的取值范围为（）

A、 $\frac{1}{2} < m < 1$ B、 $0 < m < \frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{3} < m < \frac{1}{2}$ D、 $0 < m < \frac{1}{3}$

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二、填空题（每小题4分，共24分）

11. 抛物线 $y = 3 x^{2} - 2$ 与 $y$ 轴交点坐标是．

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12. 如图，在 $4 \times 4$ 网格正方形中，每个小正方形的边长为1，顶点为格点若 $△ A B C$ 的顶点均是格点，则 $c o s ∠ B A C$ 的值是．

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13. 直角三角形的两条直角边长分别为6和8，那么这个三角形的内切圆半径为．

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14. 如图，扇形 $A O B$ 中， $∠ A O B = 90 °$ ，点 $C ， D$ 分别在 $O A ， \overset{⌢}{A B}$ 上，连接 $B C ， C D$ ，点 $D ， O$ 关于直线 $B C$ 对称， $\overset{⌢}{A D}$ 的长为 $2 π$ ，则图中阴影部分的面积为．

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15. 如图，在正方形 $A B C D$ 中， $E$ 为 $A B$ 上一点， $F$ 为 $B C$ 延长线上一点，且 $A E = C F$ ，连接 $E F$ 交 $C D$ 于 $H$ ，过 $D$ 作 $D P ⊥ E F$ 于点 $P$ ，连接 $A P$ ．若 $A P \cdot D H = 5 \sqrt{2} ， B E = 2$ ，则 $\frac{A E}{A B} =$ ．

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16. 如图，在 $▱ A B C D$ 中， $E$ 是 $A B$ 边中点，连接 $D E$ 交 $A C$ 于点 $M$ ．作点 $M$ 关于 $A D$ 的对称点 $N$ ，若点 $N$ 恰好在射线 $B M$ 上， $B M = \sqrt{3} D M$ ，则 $t a n ∠ D A E =$ ．

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三、解答题（本大题有6题，共66分）

17.

(1)、 $6 t a n^{2} 30 ° - \sqrt{3} s i n 60 ° - 2 s i n 45 °$

(2)、 $\sqrt{8} - 2 s i n 30 ° + 2 c o s 60 ° + {(\frac{1}{2})}^{- 1}$

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18. 如图，在平面直角坐标系中，过格点 $A 、 B 、 C$ 作一圆弧 $\overset{⌢}{A C}$ ．

(1)、 $\overset{⌢}{A C}$ 所在圆的圆心 $M$ 的坐标为．

(2)、求 $\overset{⌢}{A C}$ 的长（结果保留 $π$ ）

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19. 如图是由边长为1的小正六边形构成的网格图，网格上的点称为格点．已知格点线段 $A B$ ，利用网格图，仅用无刻度的直尺来完成下面几何作图．

(1)、请在图①中作一个格点等腰三角形 $A B C$ ；

(2)、请在图②在线段 $A B$ 上求作点 $P$ ，使得 $A P = \frac{2}{5} B P$ ．（要求：不写作法但保留作图痕迹）

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20. 小林在使用笔记本电脑时，为了散热，他将电脑放在散热架CAD上，忽略散热架和电脑的厚度，侧面示意图如图1所示，已知电脑显示屏OB与底板OA的夹角为135°，OB=OA=25cm ， OE⊥AD于点E，OE=12.5cm.

(1)、求∠OAE的度数；

(2)、若保持显示屏OB与底板OA的135°夹角不变，将电脑平放在桌面上如图2中的 $B^{'} O^{'} A$ 所示，则显示屏顶部 $B'$ 比原来顶部B大约下降了多少？(参考数据：结果精确到0.1cm.参考数据：sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，tan75°≈3.73， $\sqrt{2} \approx 1.41$ ， $\sqrt{3} \approx 1.73$ )

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21. 如图， $△ A B C$ 是直角三角形， $∠ A C B = 90 °$ ，点 $D$ 是 $A C$ 边上一点，以 $A D$ 为直径作 $⊙ O$ 交 $A B$ 边于点 $E$ ，连接 $C E 、 D E$ ，且 $C B = C E$ ．

(1)、求证：直线 $C E$ 是 $⊙ O$ 的切线；

(2)、若 $A D = 15 ， t a n ∠ C E D = \frac{1}{2}$ ，求 $C B$ 的长．

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22. 某商店销售进价为40元/件的某种商品，在第 $x (1 \leq x \leq 50)$ 天的售价与销量的相关信息如下表：
时间 $x$ （天）
$1 \leq x < 30$
$30 \leq x \leq 50$
售价（元/件）
$50 + x$
80
每天销量（件）
$120 - 2 x$
设销售商品的每天利润为 $y$ 元．

(1)、求出 $y$ 与 $x$ 的函数关系式；

(2)、问该商品第几天时，当天销售利润最大，最大利润是多少？

(3)、现该商店决定每销售1件该商品就捐赠 $a$ 元 $(a > 0)$ 给贫困地区，在销售的前30天内该商店当日最大利润为2312元，直接写出 $a$ 的值．

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23. 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 $y = - \frac{3}{4} x^{2} + b x + c$ 与 $x$ 轴交于 $A (- 4 ， 0) ， B (2 ， 0)$ 两点，与 $y$ 轴交于点 $C$ ，点 $D$ 与点 $C$ 关于抛物线的对称轴对称．

(1)、求该抛物线的解析式及 $D$ 点的坐标

(2)、点 $E$ 是抛物线上的动点，若 $S_{△ A D E} = \frac{5}{8} S_{△ A B C}$ ，求点 $E$ 的坐标

(3)、点 $P$ 是 $y$ 轴上一动点，当 $∠ A P D$ 最大时，求点 $P$ 的坐标．

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24. 如图1，矩形 $A B C D$ 中，过 $B$ 作 $B E ⊥ A C$ 于点 $E ， P$ 是 $E B$ 延长线上一点，连接 $P C$ ，过点 $A$ 作 $A G ⊥ P C$ ，分别交 $B C 、 B E$ 于点 $F 、 H$ ．

(1)、若 $B H = 1 ， E H = 2$
①求证 $△ A E H ∽ △ P E C$
②求 $B P$ 的长

(2)、如图2，若 $A F$ 平分 $∠ C A B$ ， $\frac{S_{△ B F H}}{S_{△ B C P}} = \frac{16}{81}$ ， $P C = \frac{18}{5} a$ ， $C G \cdot P G = 2 a^{2} + 6$ 求 $A B$ 的长

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时间 $x$ （天）	$1 \leq x < 30$	$30 \leq x \leq 50$
售价（元/件）	$50 + x$	80
每天销量（件）	$120 - 2 x$